切线长定理

切线长定理    1、教材分析    (1)知识结构    (2)重点、难点分析    重点:切线长定理及其应用.因切线长定理再次体现了圆的轴对称性,它为证实线段相等、角相等、弧相等、垂直关系等提供了理论依据,它属于工具知识,经常应用,因此它是本节的重点.    难点:与切线长定理有关的证实和计算问题.如120页练习题中第3题,它不仅应用切线长定理,还用到解方程组的知识,是代数与几何的综合题,学生往往不能很好的把知识连贯起来.    2、教法建议    本节内容需要一个课时.    (1)在教学中,组织学生自主观察、猜想、证实,并深刻剖析切线长定理的基本图形;对重要的结论及时总结;    (2)在教学中,以“观察——猜想——证实——剖析——应用——归纳”为主线,开展在教师组织下,以学生为主体,活动式教学.    教学目标    1.理解切线长的概念,把握切线长定理;    2.通过对例题的分析,培养学生分析总结问题的习惯,提高学生综合运用知识解题的能力,培养数形结合的思想.     3.通过对定理的猜想和证实,激发学生的学习爱好,调动学生的学习积极性,树立科学的学习态度.    教学重点:    切线长定理是教学重点    教学难点:     切线长定理的灵活运用是教学难点    教学过程设计:    (一)观察、猜想、证实,形成定理    1、切线长的概念.    如图,P是⊙O外一点,PA,PB是⊙O的两条切线,我们把线段PA,PB叫做点P到⊙O的切线长.    引导学生理解:切线和切线长是两个不同的概念,切线是直线,不能度量;切线长是线段的长,这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点,可以度量.    2、观察    利用电脑变动点P 的位置,观察图形的特征和各量之间的关系.    3、猜想    引导学生直观判定,猜想图中PA是否等于PB. PA=PB.    4、证实猜想,形成定理.    猜想是否正确。需要证实.    组织学生分析证实方法.关键是作出辅助线OA,OB,要证实PA=PB.    想一想:根据图形,你还可以得到什么结论?    ∠OPA=∠OPB(如图)等.    切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.    5、归纳:    把前面所学的切线的5条性质与切线长定理一起归纳切线的性质    6、切线长定理的基本图形研究    如图,PA,PB是⊙O的两条切线,A,B为切点.直线OP交⊙O于点D,E,交AP于C    (1)写出图中所有的垂直关系;    (2)写出图中所有的全等三角形;    (3)写出图中所有的相似三角形;    (4)写出图中所有的等腰三角形.    说明:对基本图形的深刻研究和熟悉是在学习几何中关键,它是灵活应用知识的基础.    (二)应用、归纳、反思    例1、已知:如图,P为⊙O外一点,PA,PB为⊙O的切线,    A和B是切点,BC是直径.    求证:AC∥OP.    分析:从条件想,由P是⊙O外一点,PA、PB为⊙O的切线,A,B是切点可得PA=PB,∠APO=∠BPO,又由条件BC是直径,可得OB=OC,由此联想到与直径有关的定理“垂径定理”和“直径所对的圆周角是直角”等.于是想到可能作辅助线AB.    从结论想,要证AC∥OP,假如连结AB交OP于O,转化为证CA⊥AB,OP ⊥AB,或从OD为△ABC的中位线来考虑.也可考虑通过平行线的判定定理来证,可获得多种证法.    证法一.如图.连结AB.    PA,PB分别切⊙O于A,B    ∴PA=PB∠APO=∠BPO    ∴ OP ⊥AB     又∵BC为⊙O直径    ∴AC⊥AB    ∴AC∥OP (学生板书)    证法二.连结AB,交OP于D    PA,PB分别切⊙O于A、B    ∴PA=PB∠APO=∠BPO     ∴AD=BD     又∵BO=DO    ∴OD是△ABC的中位线    ∴AC∥OP     证法三.连结AB,设OP与AB弧交于点E    PA,PB分别切⊙O于A、B    ∴PA=PB    ∴ OP ⊥AB    ∴ =     ∴∠C=∠POB    ∴AC∥OP    反思:教师引导学生比较以上证法,激发学生的学习爱好,培养学生灵活应用知识的能力.    例2、 圆的外切四边形的两组对边的和相等.    (分析和解题略)    反思:(1)例3事实上是圆外切四边形的一个重要性质,请学生记住结论.(2)圆内接四边形的性质:对角互补.    P120练习:    练习1填空    如图,已知⊙O的半径为3厘米,PO=6厘米,PA,PB分别切⊙O于A,B,则PA=_______,∠APB=________    练习2已知:在△ABC中,BC=14厘米,AC=9厘米,AB=13厘米,它的内切圆分别和BC,AC,AB切于点D,E,F,求AF,AD和CE的长.    分析:设各切线长AF,BD和CE分别为x厘米,y厘米,z厘米.后列出关于x , y,z的方程组,解方程组便可求出结果.    (解略)    反思:解这个题时,除了要用三角形内切圆的概念和切线长定理之外,还要用到解方程组的知识,是一道综合性较强的计算题.通过对本题的研究培养学生的综合应用知识的能力.     (三)小结    1、提出问题学生归纳    (1)这节课学习的具体内容;    (2)学习用的数学思想方法;    (3)应注重哪些概念之间的区别?    2、归纳基本图形的结论    3、学习了用代数方法解决几何问题的思想方法.    (四)作业    教材P131习题7.4A组1.(1),2,3,4.B组1题.    探究活动    图中找错    你能找出(图1)与(图2)的错误所在吗?     在图2中,P1A为⊙O1和⊙O3的切线、P1B为⊙O1和⊙O2的切线、P2C为⊙O2和⊙O3的切线.    提示:在图1中,连结PC、PD,则PC、PD都是圆的直径,从圆上一点只能作一条直径,所以此图是一张错图,点O应在圆上.    在图2中,设P1A=P1B=a,P2B=P2C=b,P3A=P3C=c,则有    a= P1A= P1P3 P3A= P1P3 c①    c= P3C= P2P3 P3A= P2P3 b②    a= P1B= P1P2 P2B= P1P2 b③    将②代人①式得    a = P1P3 (P2P3 b)= P1P3 P2P3 b,    ∴ab= P1P3 P2P3    由③得ab= P1P2得    ∴P1P2= P2P3 P1P3    ∴P1、P 2 、P3应重合,故图2是错误的.