命题及其关系、充分条件高考数学复习教学案
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资料简介
第二节命题及其关系、充分条件与必要条件 ‎[知识能否忆起]‎ 一、命题的概念 在数学中用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题.其中判断为真的语句叫做真命题,判断为假的语句叫做假命题.‎ 二、四种命题及其关系 ‎1.四种命题 命题 表述形式 原命题 若p,则q 逆命题 若q,则p 否命题 若綈p,则綈q 逆否命题 若綈q,则綈p ‎2.四种命题间的逆否关系 ‎3.四种命题的真假关系 ‎(1)两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性;‎ ‎(2)两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系.‎ 三、充分条件与必要条件 ‎1.如果p⇒q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件.‎ ‎2.如果p⇒q,q⇒p,则p是q的充要条件.‎ ‎[小题能否全取]‎ ‎1.(教材习题改编)下列命题是真命题的为(  )‎ A.若=,则x=y     B.若x2=1,则x=1‎ C.若x=y,则= D.若xb‎2”‎的充分条件;‎ ‎②“|a|>|b|”是“a2>b‎2”‎的必要条件;‎ ‎③“a>b”是“a+c>b+c”的充要条件.‎ 解析:①由2>-3⇒/ 22>(-3)2知,该命题为假;②由a2>b2⇒|a|2>|b|2⇒|a|>|b|知,该命题为真;③a>b⇒a+c>b+c,又a+c>b+c⇒a>b,∴“a>b”是“a+c>b+c”的充要条件为真命题.‎ 答案:②③‎ ‎  1.充分条件与必要条件的两个特征 ‎ (1)对称性:若p是q的充分条件,则q是p的必要条件,即“p⇒q”⇔“q⇐p”;‎ ‎ (2)传递性:若p是q的充分(必要)条件,q是r的充分(必要)条件,则p是r的充分(必要)条件.‎ ‎ 注意区分“p是q的充分不必要条件”与“p的一个充分不必要条件是q”‎ 两者的不同,前者是“p⇒q”而后者是“q⇒p”.‎ ‎ 2.从逆否命题,谈等价转换 ‎ 由于互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性,因而,当判断原命题的真假比较困难时,可转化为判断它的逆否命题的真假,这就是常说的“正难则反”.‎ 四种命题的关系及真假判断 典题导入 ‎[例1] 下列命题中正确的是(  )‎ ‎①“若x2+y2≠0,则x,y不全为零”的否命题;‎ ‎②“正多边形都相似”的逆命题;‎ ‎③“若m>0,则x2+x-m=0有实根”的逆否命题;‎ ‎④“若x-3是有理数,则x是无理数”的逆否命题.‎ A.①②③④       B.①③④‎ C.②③④ D.①④‎ ‎[自主解答] ①中否命题为“若x2+y2=0,则x=y=‎0”‎,正确;③中,Δ=1+‎4m,当m>0时,Δ>0,原命题正确,故其逆否命题正确;②中逆命题不正确;④中原命题正确故逆否命题正确.‎ ‎[答案] B 由题悟法 在判断四个命题之间的关系时,首先要分清命题的条件与结论,再比较每个命题的条件与结论之间的关系.要注意四种命题关系的相对性,一旦一个命题定为原命题,也就相应的有了它的“逆命题”“否命题”“逆否命题”;判定命题为真命题时要进行推理,判定命题为假命题时只需举出反例即可.对涉及数学概念的命题的判定要从概念本身入手.‎ 以题试法 ‎1.以下关于命题的说法正确的有________(填写所有正确命题的序号).‎ ‎①“若log‎2a>0,则函数f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定义域内是减函数”是真命题;‎ ‎②命题“若a=0,则ab=‎0”‎的否命题是“若a≠0,则ab≠‎0”‎;‎ ‎③命题“若x,y都是偶数,则x+y也是偶数”的逆命题为真命题;‎ ‎④命题“若a∈M,则b∉M”与命题“若b∈M,则a∉M”等价.‎ 解析:对于①,若log‎2a>0=log21,则a>1,所以函数f(x)=logax 在其定义域内是增函数,故①不正确;对于②,依据一个命题的否命题的定义可知,该说法正确;对于③,原命题的逆命题是“若x+y是偶数,则x、y都是偶数”,是假命题,如1+3=4是偶数,但3和1均为奇数,故③不正确;对于④,不难看出,命题“若a∈M,则b∉M”与命题“若b∈M,则a∉M”是互为逆否命题,因此二者等价,所以④正确.综上可知正确的说法有②④.‎ 答案:②④‎ 充分必要条件的判定 典题导入 ‎[例2] (1)(2012·福州质检)“x”的既不充分也不必要条件.‎ ‎4.已知p:“a=”,q:“直线x+y=0与圆x2+(y-a)2=1相切”,则p是q的(  )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:选A 由直线x+y=0与圆x2+(y-a)2=1相切得,圆心(0,a)到直线x+y=0的距离等于圆的半径,即有=1,a=±.因此,p是q的充分不必要条件.‎ ‎5.(2012·广州模拟)命题:“若x2y,是真命题,这是因为x>|y|≥y,必有x>y;对于B,否命题是:若x≤1,则x2≤1,是假命题.如x=-5,x2=25>1;对于C,其否命题是:若x≠1,则x2+x-2≠0,由于x=-2时,x2+x-2=0,所以是假命题;对于D,若x2>0,则x>0或x1,因此原命题与它的逆否命题都是假命题.‎ ‎8.对于函数y=f(x),x∈R,“y=|f(x)|的图象关于y轴对称”是“y=f(x)是奇函数”的(  )‎ A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:选B 若y=f(x)是奇函数,则f(-x)=-f(x),‎ ‎∴|f(-x)|=|-f(x)|=|f(x)|,‎ ‎∴y=|f(x)|的图象关于y轴对称,但若y=|f(x)|的图象关于y轴对称,如y=f(x)=x2,而它不是奇函数.‎ ‎9.命题“若x>0,则x2>‎0”‎的否命题是________命题.(填“真”或“假”)‎ 解析:其否命题为“若x≤0,则x2≤‎0”‎,它是假命题.‎ 答案:假 ‎10.已知集合A={x|y=lg(4-x)},集合B={x|x1或y>1.‎ 对于x2+y2>2,当x1或y>1.‎ 对于xy>1,当x1或y>1,故选B.‎ ‎3.已知不等式|x-m|

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