抛_物_线
[知识能否忆起]
1．抛物线定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．
2．抛物线的标准方程与几何性质
标准方程
y2＝2px(p＞0)
y2＝－2px(p＞0)
图形
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
对称轴
x轴
顶点坐标
原点O(0,0)
焦点坐标
准线方程
x＝－
x＝
离心率
e＝1
标准方程
x2＝2py(p＞0)
x2＝－2py(p＞0)
图形
范围
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
对称轴
y轴
顶点坐标
原点O(0,0)
焦点坐标
准线方程
y＝－
y＝
离心率
e＝1
[小题能否全取]
1．(教材习题改编)已知抛物线的焦点坐标是(0，－3)，则抛物线的标准方程是( )
A．x2＝－12y B．x2＝12y
C．y2＝－12x D．y2＝12x
解析：选A ∵＝3，∴p＝6，∴x2＝－12y.
2．(教材习题改编)抛物线y＝ax2的准线方程是y＝2，则a的值是( )
A. B．－
C．8 D．－8
解析：选B 抛物线的标准方程为x2＝y.
则a＜0且2＝－，得a＝－.
3．已知倾斜角为60°的直线l通过抛物线x2＝4y的焦点，且与抛物线相交于A，B两点，则弦AB的长为( )
A．4 B．6
C．10 D．16
解析：选D 设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则依题意得焦点F(0，1)，准线方程是y＝－1，直线l：y＝x＋1，由消去x得y2－14y＋1＝0，y1＋y2＝14，|AB|＝|AF|＋|BF|＝(y1＋1)＋(y2＋1)＝(y1＋y2)＋2＝16.
4．(2012·郑州模拟)已知斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax(a＞0)的焦点F，且与y轴相交于点A，若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为________．
解析：依题意得，|OF|＝，又直线l的斜率为2，可知|AO|＝2|OF|＝，△AOF的面积等于·|AO|·|OF|＝＝4，则a2＝64.又a＞0，所以a＝8，该抛物线的方程是y2＝8x.
答案：y2＝8x
5．设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是________．
解析：其准线方程为x＝－2，又由点P到y轴的距离为4，则P点横坐标xP＝4，由定义知|PF|＝xP＋＝6.
答案：6
1.抛物线方程中，字母p的几何意义是抛物线的焦点F到准线的距离，
等于焦点到抛物线顶点的距离，记牢对解题非常有帮助．
2．用抛物线定义解决问题，体现了等价转换思想的应用．
3．由y2＝mx(m≠0)或x2＝my(m≠0)求焦点坐标时，只需将x或y的系数除以4，再确定焦点位置即可．
抛物线的定义及应用
典题导入
[例1] (1)(2011·辽宁高考)已知F是拋物线y2＝x的焦点，A，B是该拋物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为( )
A. B．1
C. D.
(2)(2012·曲阜师大附中质检)在抛物线C：y＝2x2上有一点P，若它到点A(1,3)的距离与它到抛物线C的焦点的距离之和最小，则点P的坐标是( )
A．(－2,1) B．(1,2)
C．(2,1) D．(－1,2)
[自主解答] (1)如图，由抛物线的定义知，|AM|＋|BN|＝|AF|＋|BF|＝3，|CD|＝，所以中点C的横坐标为－＝.
(2)由题知点A在抛物线内部，根据抛物线定义，问题等价于求抛物线上一点P，使得该点到点A与到抛物线的准线的距离之和最小，显然点P是直线x＝1与抛物线的交点，故所求P点的坐标是(1,2)．
[答案] (1)C (2)B
由题悟法
涉及抛物线上的点到焦点(准线)的距离问题，可优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线(焦点)的距离问题求解．
以题试法
1．(2012·安徽高考)过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点．若|AF|＝3，则|BF|＝________.
解析：由题意知，抛物线的焦点F的坐标为(1,0)，又∵|AF|＝3，由抛物线定义知，点A到准线x＝－1的距离为3，∴点A的横坐标为2.
将x＝2代入y2＝4x得y2＝8，由图知，y＝2，
∴A(2,2)，∴直线AF的方程为y＝2(x－1)．
又解得或
由图知，点B的坐标为，
∴|BF|＝－(－1)＝.
答案：
抛物线的标准方程及几何性质
典题导入
[例2] (1)(2012·山东高考)已知双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2.若抛物线C2：x2＝2py (p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为( )
A．x2＝y B．x2＝y
C．x2＝8y D．x2＝16y
(2)(2012·四川高考)已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M(2，y0)．若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|＝( )
A．2 B．2
C．4 D．2
[自主解答] (1)∵双曲线C1：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，∴＝＝2，∴b＝a，
∴双曲线的渐近线方程为x±y＝0，∴抛物线C2：x2＝2py(p＞0)的焦点到双曲线的渐近线的距离为＝2，∴p＝8.∴所求的抛物线方程为x2＝16y.
(2)依题意，设抛物线方程是y2＝2px(p>0)，则有2＋＝3，得p＝2，故抛物线方程是y2＝4x，点M的坐标是(2，±2)，|OM|＝＝2.
[答案] (1)D (2)B
由题悟法
1．求抛物线的方程一般是利用待定系数法，即求p但要注意判断标准方程的形式．
2．研究抛物线的几何性质时，一是注意定义转化应用；二是要结合图形分析，同时注意平面几何性质的应用．
以题试法
2．(2012·南京模拟)已知抛物线x2＝4y的焦点为F，准线与y轴的交点为M，N为抛物线上的一点，且|NF|＝|MN|，则∠NMF＝________.( )
解析：过N作准线的垂线，垂足为H，则|NF|＝|NH|＝|MN|，如图．∴cos ∠MNH＝，
∴∠MNH＝，∴∠NMF＝.
答案：
直线与抛物线的位置关系
典题导入
[例3] (2012·福建高考)如图，等边三角形OAB的边长为8，且其三个顶点均在抛物线E：x2＝2py(p>0)上．
(1)求抛物线E的方程；
(2)设动直线l与抛物线E相切于点P，与直线y＝－1相交于点Q.证明以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点．
[自主解答] (1)依题意，|OB|＝8，∠BOy＝30°.
设B(x，y)，则x＝|OB|sin 30°＝4，y＝|OB|cos 30°＝12.
因为点B(4，12)在x2＝2py上，所以(4)2＝2p×12，解得p＝2.
故抛物线E的方程为x2＝4y.
(2)证明：由(1)知y＝x2，y′＝x.
设P(x0，y0)，则x0≠0，y0＝x，且l的方程为
y－y0＝x0(x－x0)，即y＝x0x－x.
由得
所以Q为.
设M(0，y1)，令·＝0对满足y0＝x(x0≠0)的x0，y0恒成立．
由于＝(x0，y0－y1)，＝，
由·＝0，得－y0－y0y1＋y1＋y＝0，
即(y＋y1－2)＋(1－y1)y0＝0.(*)
由于(*)式对满足y0＝x(x0≠0)的y0恒成立，
所以解得y1＝1.
故以PQ为直径的圆恒过y轴上的定点M(0,1)．
由题悟法
1．设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)，直线Ax＋By＋C＝0，将直线方程与抛物线方程联立，消去x得到关于y的方程my2＋ny＋q＝0.
(1)若m≠0，当Δ＞0时，直线与抛物线有两个公共点；
当Δ＝0时，直线与抛物线只有一个公共点；
当Δ＜0时，直线与抛物线没有公共点．
(2)若m＝0，直线与抛物线只有一个公共点，此时直线与抛物线的对称轴平行．
2．与焦点弦有关的常用结论．(以右图为依据)
(1)y1y2＝－p2，x1x2＝.
(2)|AB|＝x1＋x2＋p＝(θ为AB的倾斜角)．
(3)S△AOB＝(θ为AB的倾斜角)．
(4)＋为定值.
(5)以AB为直径的圆与准线相切．
(6)以AF或BF为直径的圆与y轴相切．
(7)∠CFD＝90°.
以题试法
3．(2012·泉州模拟)如图，点O为坐标原点，直线l经过抛物线C：y2＝4x的焦点F.
(1)若点O到直线l的距离为，求直线l的方程；
(2)设点A是直线l与抛物线C在第一象限的交点．点B是以点F为圆心，|FA|为半径的圆与x轴的交点，试判断AB与抛物线C的位置关系，并给出证明．
解：(1)抛物线的焦点F(1,0)，
当直线l的斜率不存在时，即x＝1不符合题意．
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0.
所以，＝，解得k＝±.
故直线l的方程为：y＝±(x－1)，即x±y－1＝0.
(2)直线AB与抛物线相切，证明如下：
设A(x0，y0)，则y＝4x0.
因为|BF|＝|AF|＝x0＋1，所以B(－x0,0)．
所以直线AB的方程为：y＝(x＋x0)，
整理得：x＝－x0①
把方程①代入y2＝4x得：y0y2－8x0y＋4x0y0＝0，
Δ＝64x－16x0y＝64x－64x＝0，
所以直线AB与抛物线相切．
1．(2012·济南模拟)抛物线的焦点为椭圆＋＝1的下焦点，顶点在椭圆中心，则抛物线方程为( )
A．x2＝－4y B．y2＝－4x
C．x2＝－4y D．y2＝－4x
解析：选A 由椭圆方程知，a2＝9，b2＝4，焦点在y轴上，下焦点坐标为(0，－c)，其中c＝＝.∴抛物线焦点坐标为(0，－)，∴抛物线方程为x2＝－4y.
2．(2012·东北三校联考)若抛物线y2＝2px(p＞0)上一点P到焦点和抛物线的对称轴的距离分别为10和6，则p的值为( )
A．2 B．18
C．2或18 D．4或16
解析：选C 设P(x0，y0)，则
∴36＝2p，即p2－20p＋36＝0，解得p＝2或18.
3．(2013·大同模拟)已知抛物线y2＝2px(p＞0)的准线与曲线x2＋y2－6x－7＝0相切，则
p的值为( )
A．2 B．1
C. D.
解析：选A 注意到抛物线y2＝2px的准线方程是x＝－，曲线x2＋y2－6x－7＝0，即(x－3)2＋y2＝16是圆心为(3,0)，半径为4的圆．于是依题意有＝4.又p＞0，因此有＋3＝4，解得p＝2.
4．(2012·郑州模拟)已知过抛物线y2＝6x焦点的弦长为12，则此弦所在直线的倾斜角是( )
A.或 B.或
C.或 D.
解析：选B 由焦点弦长公式|AB|＝得＝12，
所以sin θ＝，所以θ＝或.
5．(2012·唐山模拟)抛物线y2＝2px的焦点为F，点A、B、C在此抛物线上，点A坐标为(1,2)．若点F恰为△ABC的重心，则直线BC的方程为( )
A．x＋y＝0 B．x－y＝0
C．2x＋y－1＝0 D．2x－y－1＝0
解析：选C ∵点A在抛物线上，∴4＝2p，p＝2，抛物线方程为y2＝4x，焦点F(1,0)
设点B(x1，y1)，点C(x2，y2)，则有y＝4x1，①
y＝4x2，②
由①－②得(y1－y2)(y1＋y2)＝4(x1－x2)
得kBC＝＝.
又∵＝0，∴y1＋y2＝－2，∴kBC＝－2.
又∵＝1，∴x1＋x2＝2，
∴BC中点为(1，－1)，
则BC所在直线方程为y＋1＝－2(x－1)，即2x＋y－1＝0.
6．(2013·湖北模拟)已知直线y＝k(x－m)与抛物线y2＝2px(p＞0)交于A、B两点，且OA⊥OB，OD⊥AB于D.若动点D的坐标满足方程x2＋y2－4x＝0，则m＝( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选D 设点D(a，b)，则由OD⊥AB于D，得则b＝－，a＝－bk；又动点D的坐标满足方程x2＋y2－4x＝0，即a2＋b2－4a＝0，将a＝－bk代入上式，得b2k2＋b2＋4bk＝0，即bk2＋b＋4k＝0，－－＋4k＝0，又k≠0，则(1＋k2)(4－m)＝0，因此m＝4.
7．(2012·乌鲁木齐模拟)过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交y轴于点A，抛物线上有一点B满足,＝,＋, (O为坐标原点)，则△BOF的面积是________．
解析：由题可知F(1,0)，可设过焦点F的直线方程为y＝k(x－1)(可知k存在)，则A(0，－k)，∴B(1，－k)，由点B在抛物线上，得k2＝4，k＝±2，即B(1，±2)，
S△BOF＝·|OF|·|yB|＝×1×2＝1.
答案：1
8．(2012·渭南模拟)已知抛物线C：y＝x2，则过抛物线焦点F且斜率为的直线l被抛物线截得的线段长为________．
解析：由题意得l的方程为y＝x＋1，即x＝2(y－1)．代入抛物线方程得y＝(y－1)2，即y2－3y＋1＝0.设线段端点坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，则线段长度为y1＋y2＋p＝5.
答案：5
9．(2012·广州模拟)已知直线y＝k(x－2)(k＞0)与抛物线y2＝8x相交于A，B两点，F为抛物线的焦点，若|FA|＝2|FB|，则k的值为________．
解析：直线y＝k(x－2)恰好经过抛物线y2＝8x的焦点F(2,0)，由可得ky2－8y－16k＝0，因为|FA|＝2|FB|，所以yA＝－2yB，则yA＋yB＝－2yB＋yB＝，所以yB＝－，yA·yB＝－16，所以－2y＝－16，即yB＝±2，又k＞0，故k＝2.
答案：2
10．已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x10)的准线的距离为.点M(t,1)是C上的定点，A，B是C上的两动点，且线段AB被直线OM平分．
(1)求p，t的值；
(2)求△ABP面积的最大值．
解：(1)由题意知得
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB的中点为Q(m，m)，
设直线AB的斜率为k(k≠0)．
由
得(y1－y2)(y1＋y2)＝x1－x2，
故k·2m＝1，
所以直线AB的方程为y－m＝(x－m)，
即x－2my＋2m2－m＝0.
由
消去x，整理得y2－2my＋2m2－m＝0，
所以Δ＝4m－4m2>0，y1＋y2＝2m，y1·y2＝2m2－m.从而|AB|＝ ·|y1－y2|＝·.
设点P到直线AB的距离为d，则d＝，设△ABP的面积为S，
则S＝|AB|·d＝|1－2(m－m2)|·.
由Δ＝4m－4m2>0，得0
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