2014届高考数学一轮复习教学案_简单的三角恒等变换.doc

第六节简单的三角恒等变换 ‎[知识能否忆起]‎ 半角公式(不要求记忆)‎ ‎1．用cos α表示sin2，cos2，tan2.‎ sin2＝；cos2＝；tan2＝.‎ ‎2．用cos α表示sin，cos，tan.‎ sin＝± ；cos＝± ；‎ tan＝± .‎ ‎3．用sin α，cos α表示tan.‎ tan＝＝.‎ ‎[小题能否全取]‎ ‎1．(教材习题改编)已知cos α＝，α∈(π，2π)，则cos等于(　　)‎ A.　　　　　　　　　　 B．－ C. D．－ 解析：选B　∵cos α＝，α∈(π，2π)，∴∈，‎ ‎∴cos＝－ ＝－ ＝－.‎ ‎2．已知函数f(x)＝cos2－cos2，则f等于(　　)‎ A. B．－ C. D．－ 解析：选B　f(x)＝cos2－sin2＝－sin 2x，∴f＝－sin＝－.‎ ‎3．已知tan α＝，则等于(　　)‎ A．3 B．6‎ C．12 D. 解析：选A　＝ ‎＝2＋2tan α＝3.‎ ‎4.＝________.‎ 解析：＝＝＝.‎ 答案： ‎5．若＝2 013，则＋tan 2α＝________.‎ 解析：＋tan 2α＝＝ ‎＝＝＝2 013.‎ 答案：2 013‎ ‎　　三角恒等变换的常见形式 三角恒等变换中常见的三种形式：一是化简；二是求值；三是三角恒等式的证明．‎ ‎(1)三角函数的化简常见的方法有切化弦、利用诱导公式、同角三角函数关系式及和、差、倍角公式进行转化求解．‎ ‎(2)三角函数求值分为给值求值(条件求值)与给角求值，对条件求值问题要充分利用条件进行转化求解．‎ ‎(3)三角恒等式的证明，要看左右两侧函数名、角之间的关系，不同名则化同名，不同角则化同角，利用公式求解变形即可．‎ 三角函数式的化简 典题导入 ‎[例1]　化简.‎ ‎[自主解答]　原式＝ ‎＝＝ ‎＝cos 2x.‎ 由题悟法 三角函数式的化简要遵循“三看”原则 ‎(1)一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；‎ ‎(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”；‎ ‎(3)三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式要通分”等．‎ 以题试法 ‎1．化简·.‎ 解：法一：原式＝· ‎＝· ‎＝· ‎＝·＝.‎ 法二：原式＝· ‎＝· ‎＝·＝.‎ 三角函数式的求值 典题导入 ‎[例2]　(1)(2012·重庆高考)＝(　　)‎ A．－　　　　　　　　 B．－ C. D..‎ ‎(2)已知α、β为锐角，sin α＝，cos＝－，则2α＋β＝________.‎ ‎[自主解答]　(1)原式＝ ‎＝ ‎＝＝sin 30°＝.‎ ‎(2)∵sin α＝，α∈，‎ ‎∴cos α＝，‎ ‎∵cos(α＋β)＝－，α＋β∈(0，π)，‎ ‎∴sin(α＋β)＝，‎ ‎∴sin(2α＋β)＝sin[α＋(α＋β)]＝sin αcos(α＋β)＋cos αsin(α＋β)＝×＋×＝0.‎ 又2α＋β∈.‎ ‎∴2α＋β＝π.‎ ‎[答案]　(1)C　(2)π 由题悟法 三角函数求值有三类 ‎(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．‎ ‎(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．‎ ‎(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．‎ 以题试法 ‎2．(2012·广州一测)已知函数f(x)＝tan.‎ ‎(1)求f的值；‎ ‎(2)设α∈，若f＝2，求cos的值．‎ 解：(1)f＝tan＝＝＝－2－.‎ ‎(2)因为f＝tan＝tan(α＋π)＝tan α＝2，‎ 所以＝2，即sin α＝2cos α.①‎ 又sin2α＋cos2α＝1，②‎ 由①②解得cos2α＝.‎ 因为α∈，所以cos α＝－，sin α＝－.‎ 所以cos＝cos αcos＋sin αsin＝－×＋×＝－.‎ 三角恒等变换的综合应用 典题导入 ‎[例3]　(2011·四川高考)已知函数f(x)＝sin＋cos，x∈R.‎ ‎(1)求f(x)的最小正周期和最小值；‎ ‎(2)已知cos(β－α)＝，cos(β＋α)＝－，0＜α＜β≤，求证：[f(β)]2－2＝0.‎ ‎[自主解答]　(1)∵f(x)＝sin＋cos ‎＝sin＋sin＝2sin，‎ ‎∴T＝2π，f(x)的最小值为－2.‎ ‎(2)证明：由已知得cos βcos α＋sin βsin α＝，‎ cos βcos α－sin βsin α＝－.‎ 两式相加得2cos βcos α＝0.‎ ‎∵0＜α＜β≤，∴β＝.∴[f(β)]2－2＝4sin2－2＝0.‎ 在本例条件不变情况下，求函数f(x)的零点的集合．‎ 解：由(1)知f(x)＝2sin，‎ ‎∴sin＝0，∴x－＝kπ(k∈Z)，‎ ‎∴x＝kπ＋(k∈Z)．‎ 故函数f(x)的零点的集合为.‎ 由题悟法 三角变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式再研究性质，解题时注意观察角、名、结构等特征，注意利用整体思想解决相关问题．‎ 以题试法 ‎3．已知函数f(x)＝2cos xcos－sin2x＋sin xcos x.‎ ‎(1)求f(x)的最小正周期；‎ ‎(2)当α∈[0，π]时，若f(α)＝1，求α的值．‎ 解：(1)因为f(x)＝2cos xcos－sin2x＋sin xcos x ‎＝cos2 x＋sin xcos x－sin2x＋sin xcos x ‎＝cos 2x＋sin 2x＝2sin，‎ 所以最小正周期T＝π.‎ ‎(2)由f(α)＝1，得2sin＝1，‎ 又α∈[0，π]，所以2α＋∈，‎ 所以2α＋＝或2α＋＝，‎ 故α＝或α＝.‎ ‎1．在△ABC中，tan B＝－2，tan C＝，则A等于(　　)‎ A.　　　　　　　　　　 B. C. D. 解析：选A　tan A＝tan[π－(B＋C)]‎ ‎＝－tan(B＋C)＝－＝－ ‎＝1.故A＝.‎ ‎2.·等于(　　)‎ A．－sin α　　　　　　　　　B．－cos α C．sin α D．cos α 解析：选D　原式＝ ‎＝＝cos α.‎ ‎3．(2013·深圳调研)已知直线l: xtan α－y－3tan β＝0的斜率为2，在y轴上的截距为1，则tan(α＋β)＝(　　)‎ A．－ B. C. D．1‎ 解析：选D　依题意得，tan α＝2，－3tan β＝1，‎ 即tan β＝－，tan(α＋β)＝＝＝1.‎ ‎4．(2012·山东高考)若θ∈，sin 2θ＝，则sin θ＝(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选D　因为θ∈，所以2θ∈，‎ 所以cos 2θ