基本不等式高考复习
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2014届高考数学一轮复习教学案_基本不等式(含解析).doc

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资料简介
第四节基本不等式 ‎[知识能否忆起]‎ 一、基本不等式≤ ‎1.基本不等式成立的条件:a>0,b>0.‎ ‎2.等号成立的条件:当且仅当a=b时取等号.‎ 二、几个重要的不等式 a2+b2≥2ab(a,b∈R);+≥2(a,b同号).‎ ab≤2(a,b∈R);2≤(a,b∈R).‎ 三、算术平均数与几何平均数 设a>0,b>0,则a,b的算术平均数为,几何平均数为,基本不等式可叙述为:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.‎ 四、利用基本不等式求最值问题 已知x>0,y>0,则:‎ ‎(1)如果积xy是定值p,那么当且仅当x=y时,x+y有最小值是2.(简记:积定和最小)‎ ‎(2)如果和x+y是定值p,那么当且仅当x=y时,xy有最大值是.(简记:和定积最大)‎ ‎[小题能否全取]‎ ‎1.(教材习题改编)函数y=x+(x>0)的值域为(  )‎ A.(-∞,-2]∪[2,+∞)   B.(0,+∞)‎ C.[2,+∞) D.(2,+∞)‎ 解析:选C ∵x>0,∴y=x+≥2,当且仅当x=1时取等号.‎ ‎2.已知m>0,n>0,且mn=81,则m+n的最小值为(  )‎ A.18 B.36‎ C.81 D.243‎ 解析:选A ∵m>0,n>0,∴m+n≥2=18.当且仅当m=n=9时,等号成立.‎ ‎3.(教材习题改编)已知00)逆用就是ab≤2(a,b>0)等.还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等.‎ 利用基本不等式求最值 典题导入 ‎[例1] (1)已知x<0,则f(x)=2++x的最大值为________.‎ ‎(2)(2012·浙江高考)若正数x,y满足x+3y=5xy,则3x+4y的最小值是(  )‎ A.            B. C.5 D.6‎ ‎[自主解答] (1)∵x<0,∴-x>0,‎ ‎∴f(x)=2++x=2-.‎ ‎∵-+(-x)≥2=4,当且仅当-x=,即x=-2时等号成立.‎ ‎∴f(x)=2-≤2-4=-2,‎ ‎∴f(x)的最大值为-2.‎ ‎(2)∵x>0,y>0,由x+3y=5xy得=1.‎ ‎∴3x+4y=·(3x+4y)·==+≥+×2=5(当且仅当x=2y时取等号),∴3x+4y的最小值为5.‎ ‎[答案] (1)-2 (2)C 本例(2)条件不变,求xy的最小值.‎ 解:∵x>0,y>0,则5xy=x+3y≥2,‎ ‎∴xy≥,当且仅当x=3y时取等号.‎ ‎∴xy的最小值为.‎ 由题悟法 用基本不等式求函数的最值,关键在于将函数变形为两项和或积的形式,然后用基本不等式求出最值.在求条件最值时,一种方法是消元,转化为函数最值;另一种方法是将要求最值的表达式变形,然后用基本不等式将要求最值的表达式放缩为一个定值,但无论哪种方法在用基本不等式解题时都必须验证等号成立的条件.‎ 以题试法 ‎1.(1)当x>0时,则f(x)=的最大值为________.‎ ‎(2)(2011·天津高考)已知log‎2a+log2b≥1,则‎3a+9b的最小值为________.‎ ‎(3)已知x>0,y>0,xy=x+2y,若xy≥m-2恒成立,则实数m的最大值是________.‎ 解析:(1)∵x>0,∴f(x)==≤=1,‎ 当且仅当x=,即x=1时取等号.‎ ‎(2)由log‎2a+log2b≥1得log2(ab)≥1,‎ 即ab≥2,∴‎3a+9b=‎3a+32b≥2×3(当且仅当‎3a=32b,即a=2b时取等号).‎ 又∵a+2b≥2≥4(当且仅当a=2b时取等号),‎ ‎∴‎3a+9b≥2×32=18.‎ 即当a=2b时,‎3a+9b有最小值18.‎ ‎(3)由x>0,y>0,xy=x+2y≥2,得xy≥8,于是由m-2≤xy恒成立,得m-2≤8,即m≤10.故m的最大值为10.‎ 答案:(1)1 (2)18 (3)10‎ 基本不等式的实际应用 典题导入 ‎[例2] (2012·江苏高考)如图,建立平面直角坐标系xOy,x轴在地平面上,y轴垂直于地平面,单位长度为‎1千米,某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程y=kx-(1+k2)x2(k>0)表示的曲线上,其中k与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标.‎ ‎(1)求炮的最大射程;‎ ‎(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小),其飞行高度为3.2千米,试问它的横坐标a不超过多少时,炮弹可以击中它?请说明理由.‎ ‎[自主解答] (1)令y=0,得kx-(1+k2)x2=0,由实际意义和题设条件知x>0,k>0,‎ 故x==≤=10,当且仅当k=1时取等号.‎ 所以炮的最大射程为‎10千米.‎ ‎(2)因为a>0,所以炮弹可击中目标⇔存在k>0,使3.2=ka-(1+k2)a2成立 ‎⇔关于k的方程a2k2-20ak+a2+64=0有正根 ‎⇔判别式Δ=(-‎20a)2-‎4a2(a2+64)≥0‎ ‎⇔a≤6.‎ 所以当a不超过‎6千米时,可击中目标.‎ 由题悟法 利用基本不等式求解实际应用题的方法 ‎(1)问题的背景是人们关心的社会热点问题,如“物价、销售、税收、原材料”等,题目往往较长,解题时需认真阅读,从中提炼出有用信息,建立数学模型,转化为数学问题求解.‎ ‎(2)当运用基本不等式求最值时,若等号成立的自变量不在定义域内时,就不能使用基本不等式求解,此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解.以题试法 ‎2.(2012·福州质检)某种商品原来每件售价为25元,年销售8万件.‎ ‎(1)据市场调查,若价格每提高1元,销售量将相应减少2 000件,要使销售的总收入不低于原收入,该商品每件定价最多为多少元?‎ ‎(2)为了扩大该商品的影响力,提高年销售量.公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革,并提高定价到x元.公司拟投入(x2-600)万元作为技改费用,投入50万元作为固定宣传费用,投入x万元作为浮动宣传费用.试问:当该商品明年的销售量a至少应达到多少万件时,才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和?并求出此时每件商品的定价.‎ 解:(1)设每件定价为t元,‎ 依题意,有t≥25×8,‎ 整理得t2-65t+1 000≤0,解得25≤t≤40.‎ 因此要使销售的总收入不低于原收入,每件定价最多为40元.‎ ‎(2)依题意,x>25时,‎ 不等式ax≥25×8+50+(x2-600)+x有解,‎ 等价于x>25时,a≥+x+有解.‎ ‎∵+x≥2 =10(当且仅当x=30时,等号成立),∴a≥10.2.‎ 因此当该商品明年的销售量a至少应达到10.2万件时,才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和,此时该商品的每件定价为30元.‎ ‎1.已知f(x)=x+-2(x<0),则f(x)有 (  )‎ A.最大值为0       B.最小值为0‎ C.最大值为-4 D.最小值为-4‎ 解析:选C ∵x<0,∴f(x)=- -2≤-2-2=-4,当且仅当-x=,即x=-1时取等号.‎ ‎2.(2013·太原模拟)设a、b∈R,已知命题p:a2+b2≤2ab;命题q:2≤,则p是q成立的(  )‎ A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:选B 命题p:(a-b)2≤0⇔a=b;命题q:(a-b)2≥0.显然,由p可得q成立,但由q不能推出p成立,故p是q的充分不必要条件.‎ ‎3.函数y=(x>1)的最小值是(  )‎ A.2+2 B.2-2‎ C.2 D.2‎ 解析:选A ∵x>1,∴x-1>0.‎ ‎∴y=== ‎==x-1++2‎ ‎≥2 +2=2+2.‎ 当且仅当x-1=,即x=1+时,取等号.‎ ‎4.(2012·陕西高考)小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a

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