第四节基本不等式
[知识能否忆起]
一、基本不等式≤
1．基本不等式成立的条件：a>0，b>0.
2．等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．
二、几个重要的不等式
a2＋b2≥2ab(a，b∈R)；＋≥2(a，b同号)．
ab≤2(a，b∈R)；2≤(a，b∈R)．
三、算术平均数与几何平均数
设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
四、利用基本不等式求最值问题
已知x>0，y>0，则：
(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2.(简记：积定和最小)
(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是.(简记：和定积最大)
[小题能否全取]
1．(教材习题改编)函数y＝x＋(x＞0)的值域为( )
A．(－∞，－2]∪[2，＋∞) B．(0，＋∞)
C．[2，＋∞) D．(2，＋∞)
解析：选C ∵x＞0，∴y＝x＋≥2，当且仅当x＝1时取等号．
2．已知m>0，n>0，且mn＝81，则m＋n的最小值为( )
A．18 B．36
C．81 D．243
解析：选A ∵m>0，n>0，∴m＋n≥2＝18.当且仅当m＝n＝9时，等号成立．
3．(教材习题改编)已知00)逆用就是ab≤2(a，b>0)等．还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等．
利用基本不等式求最值
典题导入
[例1] (1)已知x＜0，则f(x)＝2＋＋x的最大值为________．
(2)(2012·浙江高考)若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是( )
A. B.
C．5 D．6
[自主解答] (1)∵x＜0，∴－x＞0，
∴f(x)＝2＋＋x＝2－.
∵－＋(－x)≥2＝4，当且仅当－x＝，即x＝－2时等号成立．
∴f(x)＝2－≤2－4＝－2，
∴f(x)的最大值为－2.
(2)∵x＞0，y＞0，由x＋3y＝5xy得＝1.
∴3x＋4y＝·(3x＋4y)·＝＝＋≥＋×2＝5(当且仅当x＝2y时取等号)，∴3x＋4y的最小值为5.
[答案] (1)－2 (2)C
本例(2)条件不变，求xy的最小值．
解：∵x＞0，y＞0，则5xy＝x＋3y≥2，
∴xy≥，当且仅当x＝3y时取等号．
∴xy的最小值为.
由题悟法
用基本不等式求函数的最值，关键在于将函数变形为两项和或积的形式，然后用基本不等式求出最值．在求条件最值时，一种方法是消元，转化为函数最值；另一种方法是将要求最值的表达式变形，然后用基本不等式将要求最值的表达式放缩为一个定值，但无论哪种方法在用基本不等式解题时都必须验证等号成立的条件．
以题试法
1．(1)当x＞0时，则f(x)＝的最大值为________．
(2)(2011·天津高考)已知log2a＋log2b≥1，则3a＋9b的最小值为________．
(3)已知x＞0，y＞0，xy＝x＋2y，若xy≥m－2恒成立，则实数m的最大值是________．
解析：(1)∵x＞0，∴f(x)＝＝≤＝1，
当且仅当x＝，即x＝1时取等号．
(2)由log2a＋log2b≥1得log2(ab)≥1，
即ab≥2，∴3a＋9b＝3a＋32b≥2×3(当且仅当3a＝32b，即a＝2b时取等号)．
又∵a＋2b≥2≥4(当且仅当a＝2b时取等号)，
∴3a＋9b≥2×32＝18.
即当a＝2b时，3a＋9b有最小值18.
(3)由x＞0，y＞0，xy＝x＋2y≥2，得xy≥8，于是由m－2≤xy恒成立，得m－2≤8，即m≤10.故m的最大值为10.
答案：(1)1 (2)18 (3)10
基本不等式的实际应用
典题导入
[例2] (2012·江苏高考)如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米，某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y＝kx－(1＋k2)x2(k＞0)表示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．
(1)求炮的最大射程；
(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．
[自主解答] (1)令y＝0，得kx－(1＋k2)x2＝0，由实际意义和题设条件知x＞0，k＞0，
故x＝＝≤＝10，当且仅当k＝1时取等号．
所以炮的最大射程为10千米．
(2)因为a＞0，所以炮弹可击中目标⇔存在k＞0，使3.2＝ka－(1＋k2)a2成立
⇔关于k的方程a2k2－20ak＋a2＋64＝0有正根
⇔判别式Δ＝(－20a)2－4a2(a2＋64)≥0
⇔a≤6.
所以当a不超过6千米时，可击中目标．
由题悟法
利用基本不等式求解实际应用题的方法
(1)问题的背景是人们关心的社会热点问题，如“物价、销售、税收、原材料”等，题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解．
(2)当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解.以题试法
2．(2012·福州质检)某种商品原来每件售价为25元，年销售8万件．
(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？
(2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元．公司拟投入(x2－600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入x万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时每件商品的定价．
解：(1)设每件定价为t元，
依题意，有t≥25×8，
整理得t2－65t＋1 000≤0，解得25≤t≤40.
因此要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元．
(2)依题意，x＞25时，
不等式ax≥25×8＋50＋(x2－600)＋x有解，
等价于x＞25时，a≥＋x＋有解．
∵＋x≥2 ＝10(当且仅当x＝30时，等号成立)，∴a≥10.2.
因此当该商品明年的销售量a至少应达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元．
1．已知f(x)＝x＋－2(x＜0)，则f(x)有 ( )
A．最大值为0 B．最小值为0
C．最大值为－4 D．最小值为－4
解析：选C ∵x＜0，∴f(x)＝－ －2≤－2－2＝－4，当且仅当－x＝，即x＝－1时取等号．
2．(2013·太原模拟)设a、b∈R，已知命题p：a2＋b2≤2ab；命题q：2≤，则p是q成立的( )
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选B 命题p：(a－b)2≤0⇔a＝b；命题q：(a－b)2≥0.显然，由p可得q成立，但由q不能推出p成立，故p是q的充分不必要条件．
3．函数y＝(x>1)的最小值是( )
A．2＋2 B．2－2
C．2 D．2
解析：选A ∵x>1，∴x－1>0.
∴y＝＝＝
＝＝x－1＋＋2
≥2 ＋2＝2＋2.
当且仅当x－1＝，即x＝1＋时，取等号．
4．(2012·陕西高考)小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a
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