2014届高考一轮复习教学案_直线与圆、圆与圆的位置关系.doc

直线与圆、圆与圆的位置关系 ‎[知识能否忆起]‎ 一、直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d，圆的半径为r)‎ 相离 相切 相交 图形 量化 方程观点 Δ＜0‎ Δ＝0‎ Δ＞0‎ 几何观点 d＞r d＝r d＜r 二、圆与圆的位置关系(⊙O1、⊙O2半径r1、r2，d＝|O1O2|)‎ 相离 外切 相交 内切 内含 图形 量化 d＞r1＋r2‎ d＝r1＋r2‎ ‎|r1－r2|＜d ＜r1＋r2‎ d＝|r1－r2|‎ d＜|r1－r2|‎ ‎[小题能否全取]‎ ‎1．(教材习题改编)圆(x－1)2＋(y＋2)2＝6与直线2x＋y－5＝0的位置关系是(　　)‎ A．相切　　　　　　　　　 B．相交但直线不过圆心 C．相交过圆心 D．相离 解析：选B　由题意知圆心(1，－2)到直线2x＋y－5＝0的距离d＝，0＜d＜，故该直线与圆相交但不过圆心．‎ ‎2．(2012·银川质检)由直线y＝x＋1上的一点向圆x2＋y2－6x＋8＝0引切线，则切线长的最小值为(　　)‎ A. B．2 C．3 D. 解析：选A　由题意知，圆心到直线上的点的距离最小时，切线长最小．圆x2＋y2－6x＋8＝0可化为(x－3)2＋y2＝1，则圆心(3,0)到直线y＝x＋1的距离为＝2，切线长的最小值为＝.‎ ‎3．直线x－y＋1＝0与圆x2＋y2＝r2相交于A，B两点，且AB的长为2，则圆的半径为 ‎(　　)‎ A. B. C．1 D．2‎ 解析：选B　圆心(0,0)到直线x－y＋1＝0的距离d＝.则r2＝2＋d2＝，r＝.‎ ‎4．(教材习题改编)若圆x2＋y2＝1与直线y＝kx＋2没有公共点，则实数k的取值范围是________．‎ 解析：由题意知 ＞1，解得－＜k＜.‎ 答案：(－， )‎ ‎5．已知两圆C1：x2＋y2－2x＋10y－24＝0，C2：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0，则两圆公共弦所在的直线方程是____________．‎ 解析：两圆相减即得x－2y＋4＝0.‎ 答案：x－2y＋4＝0‎ ‎1.求圆的弦长问题，注意应用圆的几何性质解题，即用圆心与弦中点连线与弦垂直的性质，可用勾股定理或斜率之积为－1列方程来简化运算．‎ ‎2．对于圆的切线问题，要注意切线斜率不存在的情况．‎ 直线与圆的位置关系的判断 典题导入 ‎[例1]　(2012·陕西高考)　已知圆C：x2＋y2－4x＝0，l是过点P(3,0)的直线，则(　　)‎ A．l与C相交　　　　　　 B．l与C相切 C．l与C相离 D．以上三个选项均有可能 ‎[自主解答]　将点P(3,0)的坐标代入圆的方程，得 ‎32＋02－4×3＝9－12＝－30，y0>0，则切线方程为x0x＋y0y＝1.分别令x＝0，y＝0得A，B，则|AB|＝ ＝≥＝2.当且仅当x0＝y0时，等号成立．‎ ‎5．(2013·兰州模拟)若圆x2＋y2＝r2(r＞0)上仅有4个点到直线x－y－2＝0的距离为1，则实数r的取值范围为(　　)‎ A．(＋1，＋∞) B．(－1, ＋1)‎ C．(0, －1) D．(0, ＋1)‎ 解析：选A　计算得圆心到直线l的距离为＝ ＞1，如图．直线l：x－y－2＝0与圆相交，l1，l2与l平行，且与直线l的距离为1，故可以看出，圆的半径应该大于圆心到直线l2的距离 ＋1.‎ ‎6．(2013·临沂模拟)已知点P(x，y)是直线kx＋y＋4＝0(k＞0)上一动点，PA，PB是圆C：x2＋y2－2y＝0的两条切线，A，B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为(　　)‎ A. B. C．2 D．2‎ 解析：选D　圆心C(0,1)到l的距离d＝，‎ 所以四边形面积的最小值为2×＝2，‎ 解得k2＝4，即k＝±2.‎ 又k＞0，即k＝2.‎ ‎7．(2012·朝阳高三期末)设直线x－my－1＝0与圆(x－1)2＋(y－2)2＝4相交于A、B两点，且弦AB的长为2，则实数m的值是________．‎ 解析：由题意得，圆心(1,2)到直线x－my－1＝0的距离d＝＝1，即＝1，解得m＝±.‎ 答案：± ‎8．(2012·东北三校联考)若a，b，c是直角三角形ABC三边的长(c为斜边)，则圆C：x2＋y2＝4被直线l：ax＋by＋c＝0所截得的弦长为________．‎ 解析：由题意可知圆C：x2＋y2＝4被直线l：ax＋by＋c＝0所截得的弦长为2 ，由于a2＋b2＝c2，所以所求弦长为2.‎ 答案：2 ‎9．(2012·江西高考)过直线x＋y－2＝0上点P作圆x2＋y2＝1的两条切线，若两条切线的夹角是60°，则点P的坐标是________．‎ 解析：∵点P在直线x＋y－2＝0上，∴可设点P(x0，－x0＋2)，且其中一个切点为M.∵两条切线的夹角为60°，∴∠OPM＝30°.故在Rt△OPM中，有OP＝2OM＝2.由两点间的距离公式得OP＝ ＝2，解得x0＝.故点P的坐标是( ， )．‎ 答案：( ， )‎ ‎10．(2012·福州调研)已知⊙M：x2＋(y－2)2＝1，Q是x轴上的动点，QA，QB分别切⊙M于A，B两点．‎ ‎(1)若|AB|＝，求|MQ|及直线MQ的方程；‎ ‎(2)求证：直线AB恒过定点．‎ 解：(1)设直线MQ交AB于点P，则|AP|＝，又|AM|＝1，AP⊥MQ，AM⊥AQ，得|MP|＝ ＝，‎ 又∵|MQ|＝，∴|MQ|＝3.‎ 设Q(x,0)，而点M(0,2)，由＝3，得x＝±，‎ 则Q点的坐标为(，0)或(－，0)．‎ 从而直线MQ的方程为2x＋y－2＝0或2x－y＋2＝0.‎ ‎(2)证明：设点Q(q,0)，由几何性质，可知A，B两点在以QM为直径的圆上，此圆的方程为x(x－q)＋y(y－2)＝0，而线段AB是此圆与已知圆的公共弦，相减可得AB的方程为qx－2y＋3＝0，所以直线AB恒过定点.‎ ‎11．已知以点C(t∈R，t≠0)为圆心的圆与x轴交于点O、A，与y轴交于点O、B，其中O为原点．‎ ‎(1)求证：△AOB的面积为定值；‎ ‎(2)设直线2x＋y－4＝0与圆C交于点M、N，若|OM|＝|ON|，求圆C的方程．‎ 解：(1)证明：由题设知，圆C的方程为 ‎(x－t)2＋2＝t2＋，‎ 化简得x2－2tx＋y2－y＝0，‎ 当y＝0时，x＝0或2t，则A(2t,0)；‎ 当x＝0时，y＝0或，则B，‎ 所以S△AOB＝|OA|·|OB|‎ ‎＝|2t|·＝4为定值．‎ ‎(2)∵|OM|＝|ON|，则原点O在MN的中垂线上，设MN的中点为H，则CH⊥MN，‎ ‎∴C、H、O三点共线，则直线OC的斜率 k＝＝＝，∴t＝2或t＝－2.‎ ‎∴圆心为C(2,1)或C(－2，－1)，‎ ‎∴圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5或(x＋2)2＋(y＋1)2＝5，‎ 由于当圆方程为(x＋2)2＋(y＋1)2＝5时，直线2x＋y－4＝0到圆心的距离d＞r，此时不满足直线与圆相交，故舍去，∴圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.‎ ‎12．在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2＋y2－12x＋32＝0的圆心为Q，过点P(0,2)，且斜率为k的直线与圆Q相交于不同的两点A、B.‎ ‎(1)求k的取值范围；‎ ‎(2)是否存在常数k，使得向量＋与共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由．‎ 解：(1)圆的方程可写成(x－6)2＋y2＝4，所以圆心为Q(6,0)．过P(0,2)且斜率为k的直线方程为y＝kx＋2，代入圆的方程得x2＋(kx＋2)2－12x＋32＝0，‎ 整理得(1＋k2)x2＋4(k－3)x＋36＝0.①‎ 直线与圆交于两个不同的点A、B等价于Δ＝[4(k－3)]2－4×36(1＋k2)＝42(－8k2－6k)>0，解得－