24.1.1 圆的有关概念
姓名_________ 班别__________ 7周四(2013.10.17)
学习目标：
1、知识目标：让学生在探索过程中认识圆，理解圆的本质属性。
2、能力目标：使学生了解弦，弧，半圆，优弧，劣弧，同心圆，等圆，等弧等与圆有关
的概念，理解概念之间的区别和联系。让学生在动手实践中探索并初步了解点和圆的
位置关系。
3、情感目标：养成学生之间的合作的习惯。
重点难点：重点：圆的有关概念 难点：理解定义圆所应该具备的两个条件
学习过程：
一、自主学习
（一）作圆，标明圆心、半径，体会圆的形成过程。
思考：画圆的关键是什么？____________________
什么叫做圆？
(二)和圆有关的概念：
1、圆的定义○1：在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转 ，另一个端点所
形成的图形叫做 ．固定的端点 O 叫做 ，线段 OA 叫做 ．以点 O 为圆心
的圆，记作“ ”，读作“ ”
决定圆的位置， 决定圆的大小。
圆的定义○2：到 的距离等于 的点的集合．
2、弦：连接圆上任意两点的 叫做弦
直径：经过圆心的 叫做直径
3、弧： 任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧
半圆：圆的任意一条 的两个端点把圆分成两条弧，每一条 都叫做半圆.
优弧： 半圆的弧叫做优弧。用 个点表示，如图中 叫做优弧
劣弧： 半圆的弧叫做劣弧。用 个点表示，如图中 叫做劣弧
等圆：能够 的两个圆叫做等圆
等弧：能够 的弧叫做等弧
二、概念巩固：
图，AB 是⊙O 的弦（非直径），C、D 是 AB 上的两点，并且 AC=BD
求证：OC=OD
C
B
A
o
编号：2401
A
o2、如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，D 是 AC 的中点，若 OD=4，求 BC。
D
B
C
A
O
三、练习固定
(一)判断：
1 直径是弦，弦是直径。 （ ）
2 半圆是弧，弧是半圆。 （ ）
3 周长相等的两个圆是等圆。 （ ）、
4 长度相等的两条弧是等弧。 （ ）
5 同一条弦所对的两条弧是等弧。（ ）
(二)如图,CD 是⊙O 的直径,∠EOD=84°,AE 交⊙O 于点 B,且 AB=OC,求∠A 的度数.
四、归纳与反思：
五、 作业布置
1、如图, AB 是⊙O 的直径,点 C 在⊙O 上, CD⊥AB, 垂足为 D, 已知 CD=4, OD=3, 求 AB 的长.
B
DO
C
A
2. 如图, AB 是⊙O 的直径, 点 C 在⊙O 上, ∠A=350, 求∠B 的度数.
B
A
C
D
O
M
24.1.2 垂直于弦的直径(1)
姓名______ 班别_______ 7 周四(2013.10.17)
【学习目标】
理解垂径定理并灵活运用垂径定理及圆的概念解决一些实际问题．
【重点难点】重点：垂径定理及其运用．难点：探索垂径定理及利用垂径定理解决问题．
【学习过程】
【问题探究】
请同学按下面要求完成下题：
如图，AB 是⊙O 的一条弦，作直径 CD，使 CD⊥AB，垂足为 M．
（1）如图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？
圆是 对称图形，其对称轴是任意一条过 的直线．
（2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？
相等的线段：
相等的弧：
2、探究结果：垂径定理
几何表述：∵ ， ∴______________ ；_____________；_____________
文字表述：垂直于 的直径平分弦，并且平分弦所对的两条 ．
3、判断下列 3 个图是否是表示垂径定理的图形。
4、总结:对垂径定理条件的理解是： ， 。
【例题讲解】
例 1 如图，已知在⊙O 中，弦 AB 的长为 16，⊙O 的半径是 10，求圆心 O 到 AB 的距离。
编号：2402
O
A
B
P
B
A
O
M
图 5
图 6
B
（第16题）
A
C
D
图 4 A
B
A
C
D
O
M
图 3
例 2 如图 2，AB 是两个以 O 为圆心的同心圆中大圆的弦径，
AB 交小圆交于 C、D 两点，求证：AC=BD
【练习巩固】如图 3，如果弦 HL=6，则 HK=__________KL=__________
变式 1： 如图 4，已知 CD=8，则圆心 O 到 CD 的距离是 3，则弦长 AB 是 。
变式 2： 如图 5，已知⊙O 的半径为 5，圆心 O 到 AB 的距离是 3，则弦长 AB 是 。
变式 3： 如图 6，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧）其跨度为 AB=24 米，
拱的半径为 13 米，则拱高 CD 为 ；
【归纳反思】
1、运用垂径定理求弦长、半径、弦心距时构造的关键图形是
由 、 、 构成是直角三角形。
2、关键三角形：圆的半径用 R 表示，弦心距用 d 表示，弦长用 a 表示，
这三者之间有怎样的关系式？
【作业布置】1、⊙O 的半径为 5，弦 AB 的长为 6，则 AB 的弦心距长为 .
2、已知⊙O中，弦 AB的长是 8cm，圆心 O到 AB的距离为 3cm，则⊙O的直径是_____cm．
3、⊙O 的半径是 5，P 是圆内一点，且 OP＝3，过点 P 最短弦的长为________、最长弦的
长为 .
4、如图，在⊙O 中，CD 是直径，AB 是弦，AB⊥CD 于 M，OM=3，DM=2，求弦 AB
的长．
【选做】⊙O 的直径是 50cm，弦 AB∥CD，且 AB=40cm，CD=48cm，则 AB与 CD之间的距离。24.1.2 垂直于弦的直径(2)
姓名_________ 班别__________ 7 周五(2013.10.18)
【学习目标】
理解垂径定理及逆定理，并灵活运用垂径定理及圆的概念解决一些实际问题．
【重点难点】重点：垂径定理及其运用．难点：构造直角三角形，运用方程思想．
【学习过程】
【问题探究】
一、垂径定理逆定理
在⊙O 中，AB 为直径，AB 与 CD 相交于点 E，CE=DE=2
请问：AB 与 CD 有何位置关系？_________________
几何表述：∵直径 AB 平分弦 CD ∴____________ ；______________； ______________
文字表述：平分弦（ ）的直径垂直于 ，并且平分弦所对的两条 ．
二、练习
1．如图 1，⊙O 的直径为 26，AB=BM=12，则 OM=________________
2．如图 2，AB 为⊙O 的直径，且 M 是 CD 的中点，CD＝8，OM＝3，则 AM＝ .
B
A
O
M
图 1 图 2
【例题讲解】
例 2 如图，弓形的弦长 AB 为 4cm，弓形的高 CD 为 2cm，求弓形所在的圆的半径。
编号：2403
D
C
A
B
O
C
E
D
O
F
【练习巩固】
1．如图 1，已知⊙O 的半径为 5，弦 AB=8，P 是弦 AB 上任意一点，则 OP的取值范围是_______．
2．如图 2，⊙O 的直径 AB 垂直于弦 CD，垂足为 E，若∠COD=120°，OE=3 厘米，则 OD=___cm．
3．如图 3，AB 是半圆的直径，O 是圆心，C 是半圆上一点，D 是 AC 的中点，OE 交弦 AC 于 D，
若 AC=8cm，DE=2cm，则 OD 的长为________cm．
B
A
P
O
B
A
C
E
D
O
(1) (2) (3)
4．如图 4，同心圆中，大圆的弦 AB 交小圆于 C、D，已知 AB=4，CD=2，AB的弦心距等于 1，
那么两个同心圆的半径之比为（ ）A．3：2 B． 5 ：2 C． 5 ： 2 D．5：4
B
A
C
D
O
B
A
C
E
D
O
(4) (5)
5．如图 5，AB 是⊙O 的直径，CD 为弦，CD⊥AB 于 E，则下列结论中错误的是（ ）
A．∠COE=∠DOE B．CE=DE C．AE=BE D． ⌒
BD = ⌒
BC
6 下列命题中错误的命题有（ ）（1）弦的垂直平分线经过圆心；（2）平分弦的直径垂直于弦；
（3）梯形的对角线互相平分；（4）圆的对称轴是直径．
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
8．如图，一条公路的转弯处是一段圆弦（即图中 CD，点 O 是 CD 的圆心，其中 CD=300m，E
为 ⌒
CED 上一点，且 OE⊥CD，垂足为 F，EF=45m，求这段弯路的半径．
【选做】工程上常用钢珠来测量零件上小孔的直径，假设钢珠的直径是
12 毫米，测得钢珠顶端离零件表面的距离为 9 毫米，如图所示，则这
个小孔的直径 AB 是多少毫米？
B
'
B
A
A
'
O
O
B
A
C
E
D
F
24.1.3 弧、弦、圆心角关系
姓名_________ 班别__________ 八周一(2012.10.21)
【学习目标】1、知道圆的旋转不变性。结合图形了解圆心角的概念，学会辨别圆心角。
2、探索发现圆心角、弦、弧之间的相等关系，初步学会运用关系解决问题。
【重点难点】重点：圆心角、弦、弧之间的相等关系。
【学前准备】如图所示，∠AOB 的顶点在圆心，像这样____________的角叫做圆心角．
【自主探究】
1、如图所示的⊙O 中，将圆心角∠AOB 绕圆心 O 旋转到∠A′OB′的位置，
你能发现哪些等量关系？为什么？
因此，在同一个圆中，相等的圆心角所对的_____相等，
所对的_____相等．
2、在等圆中，相等的圆心角是否也有所对的弧相等，所对的弦相等吗？
3、得出关系定理：_________________________________________________________。
同样，还可以得到：推论：
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角______，所对的弦也____．
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角______，所对的弧也____.
小组合作探究：
例 1、如图，在⊙O 中，
︵
AB＝
︵
AC，∠ACB＝60°
求证：∠AOB＝∠BOC＝∠AOC
例 2、 如图，在⊙O 中，AB、CD 是两条弦，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为 E、F．
（1）如果∠AOB=∠COD，那么 OE 与 OF 的大小有什么关系？为什么？
（2）如果 OE=OF，那么弧 AB 与弧 CD 的大小有什么关系？AB 与 CD
的大小有什么关系？为什么？∠AOB 与∠COD 呢？
编号：2404
O
B
A
C
O
B
A
C
E
D
O
B
A
C
E
D
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F
巩固提高： 教材 P83 练习 1、2
当堂达标检测
1、如果两个圆心角相等，那么（ ）
A．这两个圆心角所对的弦相等; B．这两个圆心角所对的弧相等
C．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等; D．以上说法都不对
2、在同圆中，圆心角∠AOB=2∠COD，则两条弧 AB 与 CD 关系是（ ）
A．
︵
AB=2
︵
CD B．
︵
AB>
︵
CD C．
︵
AB AB
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