直线的倾斜角与斜率、直线的方程
[知识能否忆起]
一、直线的倾斜角与斜率
1．直线的倾斜角
(1)定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做这条直线的倾斜角．当直线与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.
(2)倾斜角的范围为[0，π)_．
2．直线的斜率
(1)定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan_α，倾斜角是90°的直线没有斜率．
(2)过两点的直线的斜率公式：
经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝＝.
二、直线方程的形式及适用条件
名称
几何条件
方 程
局限性
点斜式
过点(x0，y0)，斜率为k
y－y0＝k(x－x0)
不含垂直于x轴的直线
斜截式
斜率为k，纵截距为b
y＝kx＋b
不含垂直于x轴的直线
两点式
过两点(x1，y1)，(x2，y2)，(x1≠x2，y1≠y2)
＝
不包括垂直于坐标轴的直线
截距式
在x轴、y轴上的截距分别为a，b(a，b≠0)
＋＝1
不包括垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式
Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)
[小题能否全取]
1．(教材习题改编)直线x＋y＋m＝0(m∈k)的倾斜角为( )
A．30° B．60°
C．150° D．120°
解析：选C 由k＝tan α＝－，α∈[0，π)得α＝150°.
2．(教材习题改编)已知直线l过点P(－2,5)，且斜率为－，则直线l的方程为( )
A．3x＋4y－14＝0 B．3x－4y＋14＝0
C．4x＋3y－14＝0 D．4x－3y＋14＝0
解析：选A 由y－5＝－(x＋2)，得3x＋4y－14＝0.
3．过点M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为( )
A．1 B．4
C．1或3 D．1或4
解析：选A 由1＝，得m＋2＝4－m，m＝1.
4．(2012·长春模拟)若点A(4,3)，B(5，a)，C(6,5)三点共线，则a的值为________．
解析：kAC＝＝1，kAB＝＝a－3.
由于A，B，C三点共线，所以a－3＝1，即a＝4.
答案：4
5．若直线l过点(－1,2)且与直线2x－3y＋4＝0垂直，则直线l的方程为________．
解析：由已知得直线l的斜率为k＝－.
所以l的方程为y－2＝－(x＋1)，
即3x＋2y－1＝0.
答案：3x＋2y－1＝0
1.求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在，每条直线都有倾斜角，但不一定每条直线都存在斜率．
2．由斜率求倾斜角，一是要注意倾斜角的范围；二是要考虑正切函数的单调性．
3．用截距式写方程时，应先判断截距是否为0，若不确定，则需要分类讨论．
直线的倾斜角与斜率
典题导入
[例1] (1)(2012·岳阳模拟)经过两点A(4,2y＋1)，B(2，－3)的直线的倾斜角为，则y＝( )
A．－1 B．－3
C．0 D．2
(2)(2012·苏州模拟)直线xcos θ＋y＋2＝0的倾斜角的范围是________．
[自主解答] (1)tan＝＝＝y＋2，因此y＋2＝－1.y＝－3.
(2)由题知k＝－cos θ，故k∈，结合正切函数的图象，当k∈时，直线倾斜角α∈，当k∈时，直线倾斜角α∈，故直线的倾斜角的范围是∪.
[答案] (1)B (2)∪
由题悟法
1．求倾斜角的取值范围的一般步骤：
(1)求出斜率k＝tan α的取值范围；
(2)利用三角函数的单调性，借助图象或单位圆数形结合，确定倾斜角α的取值范围．
2．求倾斜角时要注意斜率是否存在．
以题试法
1．(2012·哈尔滨模拟)函数y＝asin x－bcos x的一条对称轴为x＝，则直线l：ax－by＋c＝0的倾斜角为( )
A．45° B．60°
C．120° D．135°
解析：选D 由函数y＝f(x)＝asin x－bcos x的一条对称轴为x＝知，f(0)＝f，即－b＝a，则直线l的斜率为－1，故倾斜角为135°.
2．(2012·金华模拟)已知点A(1,3)，B(－2，－1)．若直线l：y＝k(x－2)＋1与线段AB相交，则k的取值范围是( )
A. B．(－∞，－2]
C．(－∞，－2]∪ D.
解析：选D 由题意知直线l恒过定点P(2,1)，如右图．若l与线段AB相交，则kPA≤k≤kPB.
∵kPA＝－2，kPB＝，
∴－2≤k≤.
直 线 方 程
典题导入
[例2] (1)过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是________________．
(2)(2012·东城模拟)若点P(1,1)为圆(x－3)2＋y2＝9的弦MN的中点，则弦MN所在直线的方程为______________．
[自主解答] (1)设所求直线方程为x－2y＋m＝0，由直线经过点(1, 0)，得1＋m＝0，m＝－1.
则所求直线方程为x－2y－1＝0.
(2)由题意得，×kMN＝－1，所以kMN＝2，故弦MN所在直线的方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.
[答案] (1)x－2y－1＝0 (2)2x－y－1＝0
由题悟法
求直线方程的方法主要有以下两种：
(1)直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程；
(2)待定系数法：先设出直线方程，再根据已知条件求出待定系数，最后代入求出直线方程．
以题试法
3．(2012·龙岩调研)已知△ABC中，A(1，－4)，B(6,6)，C(－2,0)．求：
(1)△ABC中平行于BC边的中位线所在直线的一般式方程和截距式方程；
(2)BC边的中线所在直线的一般式方程，并化为截距式方程．
解：(1)平行于BC边的中位线就是AB，AC中点的连线．
因为线段AB，AC中点坐标分别为，，
所以这条直线的方程为＝，
整理一般式方程为得6x－8y－13＝0，截距式方程为－＝1.
(2)因为BC边上的中点为(2,3)，所以BC边上的中线所在直线的方程为＝
，即一般式方程为7x－y－11＝0，截距式方程为－＝1.
直线方程的综合应用
典题导入
[例3] (2012·开封模拟)过点P(3,0)作一直线，使它夹在两直线l1：2x－y－2＝0与l2：x＋y＋3＝0之间的线段AB恰被点P平分，求此直线的方程．
[自主解答] 法一：设点A(x，y)在l1上，点B(xB，yB)在l2上．
由题意知则点B(6－x，－y)，
解方程组
得则k＝＝8.
故所求的直线方程为y＝8(x－3)，即8x－y－24＝0.
法二：设所求的直线方程为y＝k(x－3)，
点A，B的坐标分别为(xA，yA)，(xB，yB)，
由解得
由解得
∵P(3,0)是线段AB的中点，
∴yA＋yB＝0，即＋＝0，
∴k2－8k＝0，解得k＝0或k＝8.
若k＝0，则xA＝1，xB＝－3，
此时＝≠3，∴k＝0舍去，
故所求的直线方程为y＝8(x－3)，
即8x－y－24＝0.
由题悟法
解决直线方程的综合问题时，除灵活选择方程的形式外，还要注意题目中的隐含条件，若与最值或范围相关的问题可考虑构建目标函数进行转化求最值．
以题试法
4．(2012·东北三校联考)已知直线l过点M(2,1)，且分别与x轴，y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点．
(1)当△AOB面积最小时，求直线l的方程；
(2)当|MA|·|MB|取得最小值时，求直线l的方程．
解：(1)设直线l的方程为y－1＝k(x－2)(k0.
故S＝|OA||OB|＝×(1＋2k)
＝≥(4＋4)＝4，
当且仅当4k＝，即k＝时，取等号．
故S的最小值为4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0.
1．(2012·郑州模拟)已知直线l1的方向向量为a＝(1,3)，直线l2的方向向量为b＝(－1，k)．若直线l2经过点(0,5)且l1⊥l2，则直线l2的方程为( )
A．x＋3y－5＝0 B．x＋3y－15＝0
C．x－3y＋5＝0 D．x－3y＋15＝0
解析：选B ∵kl1＝3，kl2＝－k，l1⊥l2，
∴k＝，l2的方程为y＝－x＋5，即x＋3y－15＝0.
2．(2012·吴忠调研)若过点P(1－a,1＋a)与Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角，则实数a
的取值范围是________．
解析：k＝tan α＝＝.
∵α为钝角，∴＜0，即(a－1)(a＋2)＜0，
故－2＜a＜1.
答案：(－2,1)
3.已知直线l过点P(3,2)，且与x轴，y轴的正半轴分别交于A，B两点如图，求△ABO的面积的最小值及此时直线l的方程．
解：设A(a,0)，B(0，b)，(a＞0，b＞0)，则直线l的方程为＋＝1，
∵l过点P(3,2)，∴＋＝1.
∴1＝＋≥2 ，即ab≥24.
∴S△ABO＝ab≥12.当且仅当＝，即a＝6，b＝4时，
△ABO的面积最小，最小值为12.
此时直线l的方程为＋＝1.
即2x＋3y－12＝0.
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