2014届高考数学一轮复习教学案_两角和与差的正弦、余弦.doc

第五节两角和与差的正弦、余弦和正切公式 ‎[知识能否忆起]‎ ‎1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 ‎(1)C(α－β)：cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β；‎ ‎(2)C(α＋β)：cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β；‎ ‎(3)S(α＋β)：sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β；‎ ‎(4)S(α－β)：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β；‎ ‎(5)T(α＋β)：tan(α＋β)＝；‎ ‎(6)T(α－β)：tan(α－β)＝.‎ ‎2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 ‎(1)S2α：sin 2α＝2sin_αcos_α；‎ ‎(2)C2α：cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；‎ ‎(3)T2α：tan 2α＝.‎ ‎3．常用的公式变形 ‎(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)；‎ ‎(2)cos2α＝，sin2α＝；‎ ‎(3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，‎ ‎1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，‎ sin α±cos α＝sin.‎ ‎[小题能否全取]‎ ‎1．(2011·福建高考)若tan α＝3，则的值等于(　　)‎ A．2　　　　　　　　　　　 B．3‎ C．4 D．6‎ 解析：选D　＝＝2tan α＝2×3＝6.‎ ‎2．sin 68°sin 67°－sin 23°cos 68°的值为(　　)‎ A．－ B. C. D．1‎ 解析：选B　原式＝sin 68°cos 23°－cos 68°sin 23°＝sin(68°－23°)＝sin 45°＝.‎ ‎3．已知sin α＝，则cos(π－2α)等于(　　)‎ A．－ B．－ C. D. 解析：选B　cos(π－2α)＝－cos 2α＝－(1－2sin2α)＝2sin2α－1＝2×－1＝－.‎ ‎4．(教材习题改编)若cos α＝－，α是第三象限角，则sin＝________‎ 解析：由已知条件sin α＝－＝－，‎ sin＝sin α＋cos α＝－.‎ 答案：－ ‎5．若tan＝，则tan α＝________.‎ 解析：tan＝＝，‎ 即5tan α＋5＝2－2tan α.‎ 则7tan α＝－3，故tan α＝－.‎ 答案：－ ‎　　　1.两角和与差的三角函数公式的理解：‎ ‎(1)正弦公式概括为“正余，余正符号同”．“符号同”指的是前面是两角和，则后面中间为“＋”号；前面是两角差，则后面中间为“－”号．‎ ‎(2)余弦公式概括为“余余，正正符号异”．‎ ‎(3)二倍角公式实际就是由两角和公式中令β＝α所得．特别地，对于余弦：cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α，这三个公式各有用处，同等重要，特别是逆用即为“‎ 降幂公式”，在考题中常有体现．‎ ‎2．重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角为：对角的分拆要尽可能化成已知角、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等．在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形．‎ 三角函数公式的应用 典题导入 ‎[例1]　(2011·广东高考)已知函数f(x)＝2sin，x∈R.‎ ‎(1)求f的值；‎ ‎(2)设α，β∈，f＝，f(3β＋2π)＝，求cos(α＋β)的值．‎ ‎[自主解答]　(1)∵f(x)＝2sin，‎ ‎∴f＝2sin＝2sin＝.‎ ‎(2)∵α，β∈，f＝，f(3β＋2π)＝，‎ ‎∴2sin α＝，2sin＝.‎ 即sin α＝，cos β＝.‎ ‎∴cos α＝，sin β＝.‎ ‎∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ‎＝×－×＝.‎ 由题悟法 两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可用α、β的三角函数表示α±β的三角函数，在使用两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的．‎ 以题试法 ‎1．(1)已知sin α＝，α∈，则＝________.‎ ‎(2)(2012·济南模拟)已知α为锐角，cos α＝，则tan＝(　　)‎ A．－3　　　　　　　　 B．－ C．－ D．－7‎ 解析：(1)＝＝cos α－sin α，‎ ‎∵sin α＝，α∈，∴cos α＝－.‎ ‎∴原式＝－.‎ ‎(2)依题意得，sin α＝，故tan α＝2，tan 2α＝＝－，所以tan＝＝－.‎ 答案：(1)－　(2)B 三角函数公式的逆用与变形应用 典题导入 ‎[例2]　(2013·德州一模)已知函数f(x)＝2cos2－sin x.‎ ‎(1)求函数f(x)的最小正周期和值域；‎ ‎(2)若α为第二象限角，且f＝，求的值．‎ ‎[自主解答]　(1)∵f(x)＝2cos2－sin x＝1＋cos x－sin x＝1＋2cos，‎ ‎∴周期T＝2π，f(x)的值域为[－1,3]．‎ ‎(2)∵f＝，∴1＋2cos α＝，即cos α＝－.‎ ‎∵α为第二象限角，∴sin α＝.‎ ‎∴＝ ‎＝＝＝.‎ 由题悟法 运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β)和二倍角的余弦公式的多种变形等．‎ 以题试法 ‎2．(1)(2012·赣州模拟)已知sin＋cos α＝，则sin的值为(　　)‎ A.　　　　　　　　　 B. C. D. ‎(2)若α＋β＝，则(1－tan α)(1－tan β)的值是________．‎ 解析：(1)由条件得sin α＋cos α＝，‎ 即sin α＋cos α＝.‎ ‎∴sin＝.‎ ‎(2)－1＝tan＝tan(α＋β)＝，‎ ‎∴tan αtan β－1＝tan α＋tan β.‎ ‎∴1－tan α－tan β＋tan αtan β＝2，‎ 即(1－tan α)(1－tan β)＝2.‎ 答案：(1)A　(2)2‎ 角 的 变 换 典题导入 ‎[例3]　(1)(2012·温州模拟)若＝3，tan(α－β)＝2，则tan(β－2α)＝________.‎ ‎(2)(2012·江苏高考)设α为锐角，若cos＝，则sin的值为________．‎ ‎[自主解答]　(1)由条件知＝＝3，‎ 则tan α＝2.‎ 故tan(β－2α)＝tan [(β－α)－α]‎ ‎＝＝＝.‎ ‎(2)因为α为锐角，cos＝，‎ 所以sin＝，sin 2＝，‎ cos 2＝，‎ 所以sin＝sin ‎＝×－×＝.‎ ‎[答案]　(1)　(2) 由题悟法 ‎1．当“已知角”有两个时，一般把“所求角”表示为两个“已知角”的和或差的形式；‎ ‎2．当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．‎ ‎3．常见的配角技巧：‎ α＝2·；α＝(α＋β)－β；‎ α＝β－(β－α)；‎ α＝[(α＋β)＋(α－β)]；‎ β＝[(α＋β)－(α－β)]；‎ ＋α＝－；α＝－.‎ 以题试法 ‎3．设tan＝，tan＝，则tan＝(　　)‎ A.　　　　　　　　　 B. C. D. 解析：选C　tan＝tan ‎＝＝.‎ ‎1．(2012·重庆高考)设tan α，tan β是方程x2－3x＋2＝0的两根，则tan (α＋β)的值为(　　)‎ A．－3　　　　　　　　　　 B．－1‎ C．1 D．3‎ 解析：选A　由题意可知tan α＋tan β＝3，tan α·tan β＝2，‎ tan(α＋β)＝＝－3.‎ ‎2．(2012·南昌二模)已知cos＝－，则cos x＋cos的值是(　　)‎ A．－ B．± C．－1 D．±1‎ 解析：选C　cos x＋cos＝cos x＋cos x＋sin x＝cos x＋sin x＝＝cos＝－1.‎ ‎3． (2012·乌鲁木齐诊断性测验)已知α满足sin α＝，那么sinsin的值为(　　)‎ A. B．－ C. D．－ 解析：选A　依题意得，sinsin＝sin·cos＝sin＝cos 2α＝(1－2sin2α)＝.‎ ‎4．已知函数f(x)＝x3＋bx的图象在点A(1，f(1))处的切线的斜率为4，则函数g(x)＝sin 2x＋bcos 2x的最大值和最小正周期为(　　)‎ A．1，π B．2，π C.，2π D.，2π 解析：选B　由题意得f′(x)＝3x2＋b，‎ f′(1)＝3＋b＝4，b＝1.‎ 所以g(x)＝sin 2x＋bcos 2x ‎＝sin 2x＋cos 2x＝2sin，‎ 故函数的最大值为2，最小正周期为π.‎ ‎5． (2012·东北三校联考)设α、β都是锐角，且cos α＝，sin＝，则cos β＝(　　)‎ A. B. C.或 D.或 解析：选A　依题意得sin α＝＝，‎ cos(α＋β)＝±＝±.‎ 又α、β均为锐角，因此0－，‎ 所以cos(α＋β)＝－.‎ cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－×＋×＝.‎ ‎6．已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝，则cos 2α＝(　　)‎ A．－ B．－ C. D. 解析：选A　将sin α＋cos α＝两边平方，可得1＋sin 2α＝，sin 2α＝－，所以(－sin α＋cos α)2＝1－sin 2α＝.因为α是第二象限角，所以sin α＞0，cos α＜0，所以－sin α＋cos α＝－，所以cos 2α＝(－sin α＋cos α)·(cos α＋sin α)＝－.‎ ‎7．(2012·苏锡常镇调研)满足sinsin x＋coscos x＝的锐角x＝________.‎ 解析：由已知可得 coscos x＋sinsin x＝，‎ 即cos＝，‎ 又x是锐角，所以－x＝，即x＝.‎ 答案： ‎8．化简·＝________.‎ 解析：原式＝tan(90°－2α)· ‎＝· ‎＝·＝.‎ 答案： ‎9．(2013·烟台模拟)已知角α，β的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，α，β∈(0，π)，角β的终边与单位圆交点的横坐标是－，角α＋β的终边与单位圆交点的纵坐标是，则cos α＝________.‎ 解析：依题设及三角函数的定义得：‎ cos β＝－，sin(α＋β)＝.‎ 又∵0