平面向量的数量积与平面向量应用举例.doc

平面向量的数量积与平面向量应用举例 ‎[知识能否忆起]‎ 一、两个向量的夹角 ‎1．定义 已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角．‎ ‎2．范围 向量夹角θ的范围是0°≤θ≤180°，a与b同向时，夹角θ＝0°；a与b反向时，夹角θ＝180°.‎ ‎3．向量垂直 如果向量a与b的夹角是90°，则a与b垂直，记作a⊥b.‎ 二、平面向量数量积 ‎1．已知两个非零向量a与b，则数量|a||b|·cos θ叫做a与b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ，其中θ是a与b的夹角．‎ 规定0·a＝0.‎ 当a⊥b时，θ＝90°，这时a·b＝0.‎ ‎2．a·b的几何意义：‎ 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积．‎ 三、向量数量积的性质 ‎1．如果e是单位向量，则a·e＝e·a.‎ ‎2．a⊥b⇔a·b＝0.‎ ‎3．a·a＝|a|2，|a|＝.‎ ‎4．cos θ＝.(θ为a与b的夹角)‎ ‎5．|a·b|≤|a||b|.‎ 四、数量积的运算律 ‎1．交换律：a·b＝b·a.‎ ‎2．分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c.‎ ‎3．对λ∈R，λ(a·b)＝(λa)·b＝a·(λb)．‎ 五、数量积的坐标运算 设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则：‎ ‎1．a·b＝a1b1＋a2b2.‎ ‎2．a⊥b⇔a1b1＋a2b2＝0.‎ ‎3．|a|＝.‎ ‎4．cos θ＝＝.(θ为a与b的夹角)‎ ‎[小题能否全取]‎ ‎1．已知向量a，b和实数λ，下列选项中错误的是(　　)‎ A．|a|＝　　　　　　　 B．|a·b|＝|a|·|b|‎ C．λ(a·b)＝λa·b D．|a·b|≤|a|·|b|‎ 解析：选B　|a·b|＝|a|·|b||cos θ|，只有a与b共线时，才有|a·b|＝|a||b|，可知B是错误的．‎ ‎2．已知|a|＝4，|b|＝3，a与b的夹角为120°，则b在a方向上的投影为(　　)‎ A．2 B. C．－2 D．－ 解析：选D　|b|cos θ＝3cos 120°＝－.‎ ‎3．(2012·重庆高考)设x∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，则|a＋b|＝(　　)‎ A. B. C．2 D．10‎ 解析：选B　∵a⊥b，∴a·b＝0，即x－2＝0，∴x＝2.‎ ‎∴a＝(2,1)，∴a2＝5，b2＝5，|a＋b|＝＝＝＝.‎ ‎4．已知向量a和向量b的夹角为30°，|a|＝2，|b|＝，则向量a和向量b的数量积a·b＝________.‎ 解析：a·b＝2××＝3.‎ 答案：3‎ ‎5．已知|a|＝1，|b|＝6，a·(b－a)＝2，则向量a与b的夹角θ＝________.‎ 解析：∵a·(b－a)＝a·b－a2＝2，∴a·b＝2＋a2＝3.‎ ‎∴cos θ＝＝＝.∴向量a与b的夹角为.‎ 答案： ‎　　1.对两向量夹角的理解 ‎ (1)两向量的夹角是指当两向量的起点相同时，表示两向量的有向线段所形成的角，若起点不同，应通过移动，使其起点相同，再观察夹角．‎ ‎ (2)两向量夹角的范围为[0，π]，特别当两向量共线且同向时，其夹角为0，共线且反向时，其夹角为π.‎ ‎ (3)在利用向量的数量积求两向量的夹角时，一定要注意两向量夹角的范围．‎ ‎ 2．向量运算与数量运算的区别 ‎ (1)若a，b∈R，且a·b＝0，则有a＝0或b＝0，但a·b＝0却不能得出a＝0或b＝0.‎ ‎ (2)若a，b，c∈R，且a≠0，则由ab＝ac可得b＝c，但由a·b＝a·c及a≠0却不能推出b＝c.‎ ‎ (3)若a，b，c∈R，则a(bc)＝(ab)c(结合律)成立，但对于向量a，b，c，而(a·b)·c与a·(b·c)一般是不相等的，向量的数量积是不满足结合律的．‎ ‎ (4)若a，b∈R，则|a·b|＝|a|·|b|，但对于向量a，b，却有|a·b|≤|a||b|，等号当且仅当a∥b时成立．‎ 平面向量数量积的运算 典题导入 ‎[例1]　(1)若向量a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)满足条件(‎8a－b)·c＝30，则x＝(　　)‎ A．6　　　　　　　　　　 B．5‎ C．4 D．3‎ ‎ (2) (2012·浙江高考)在△ABC中，M是BC的中点，AM＝3，BC＝10，则·＝________.‎ ‎[自主解答]　(1)‎8a－b＝8(1,1)－(2,5)＝(6,3)，‎ 所以(‎8a－b)·c＝(6,3)·(3，x)＝30.‎ 即18＋3x＝30，解得x＝4.‎ ‎ (2) 如图所示，∵＝＋，＝＋MC―→＝－，‎ ‎∴·＝(＋)·(－)＝2－2＝||2－||2＝9－25＝－16.‎ ‎[答案]　(1)C　(2)　－16‎ 由题悟法 平面向量数量积问题的类型及求法 ‎(1)已知向量a，b的模及夹角θ，利用公式a·b＝|a||b|·cos θ求解；‎ ‎(2)已知向量a，b的坐标，利用数量积的坐标形式求解．‎ 以题试法 ‎1．(1)(2012·天津高考)在△ABC中，∠A＝90°，AB＝1，AC＝2.设点P，Q满足＝λ，＝(1－λ) ，λ∈R.若·＝－2，则λ＝(　　)‎ A. B. C. D．2‎ 解析：选B　由题意可知＝－＝(1－λ) －，＝－＝λ－，且·＝0，故·＝－(1－λ) 2－λ2＝－2.又||＝1，||＝2，代入上式解得λ＝.‎ ‎(2)(2011·江西高考)已知两个单位向量e1，e2的夹角为，若向量b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，则b1·b2＝________.‎ 解析：b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，‎ 则b1·b2＝(e1－2e2)·(3e1＋4e2)＝3e－2e1·e2－8e.‎ 又因为e1，e2为单位向量，夹角为，‎ 所以b1·b2＝3－2×－8＝3－1－8＝－6.‎ 答案：－6‎ 两平面向量的夹角与垂直 典题导入 ‎[例2]　(1)(2012·福州质检)已知|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为120°，a＋b＋c＝0，则a与c的夹角为(　　)‎ A．150°　　　　　　　 　 B．90°‎ C．60° D．30°‎ ‎(2)(2011·新课标全国卷)已知a与b为两个不共线的单位向量，k为实数，若向量a＋b 与向量ka－b垂直，则k＝________.‎ ‎[自主解答]　(1)∵a·b＝1×2×cos 120°＝－1，c＝－a－b，∴a·c＝a·(－a－b)＝－a·a－a·b＝－1＋1＝0，∴a⊥c.‎ ‎∴a与c的夹角为90°.‎ ‎(2)∵a与b是不共线的单位向量，∴|a|＝|b|＝1.‎ 又ka－b与a＋b垂直，∴(a＋b)·(ka－b)＝0，‎ 即ka2＋ka·b－a·b－b2＝0.‎ ‎∴k－1＋ka·b－a·b＝0.‎ 即k－1＋kcos θ－cos θ＝0(θ为a与b的夹角)．‎ ‎∴(k－1)(1＋cos θ)＝0.又a与b不共线，‎ ‎∴cos θ≠－1.∴k＝1.‎ ‎[答案]　(1)B　(2)1‎ 若本例(1)条件变为非零向量a，b，c满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，试求a与b的夹角．‎ 解：设|a|＝m(m>0)，a，b的夹角为θ，由题设知(a＋b)2＝c2，即‎2m2‎＋‎2m2‎cos θ＝m2，得cos θ＝－.又0°≤θ≤180°，所以θ＝120°，即a，b的夹角为120°.‎ 由题悟法 ‎1．求两非零向量的夹角时要注意：‎ ‎(1)向量的数量积不满足结合律；‎ ‎(2)数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不能共线时两向量的夹角就是钝角．‎ ‎2．当a，b是非坐标形式时，求a与b的夹角，需求得a·b及|a|，|b|或得出它们的关系．‎ 以题试法 ‎2．(1)设向量a＝(x－1,1)，b＝(－x＋1,3)，则a⊥(a－b)的一个充分不必要条件是(　　)‎ A．x＝0或2 B．x＝2‎ C．x＝1 D．x＝±2‎ ‎(2)已知向量a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝a＋λb(λ∈R)，向量d如图所示，则(　　)‎ A．存在λ>0，使得向量c与向量d垂直 B．存在λ>0，使得向量c与向量d夹角为60°‎ C．存在λ0，使得向量c与向量d共线 解析：(1)选B　a＝(x－1,1)，a－b＝(x－1,1)－(－x＋1,3)＝(2x－2，－2)，故a⊥(a－b)⇔2(x－1)2－2＝0⇔x＝0或2，故x＝2是a⊥(a－b)的一个充分不必要条件．‎ ‎(2)选D　由图可知d＝‎4a＋3b＝4，故D正确；对于A，由图知若向量c与向量d垂直，则有λ0，则由图观察得向量c与向量d夹角小于60°；对于C，若λc)．‎ ‎[自主解答]　(1)由题意知，f(x)＝2cos2x－sin 2x＝1＋cos 2x－sin 2x＝1＋2cos，‎ ‎∴f(x)的最小正周期T＝π，‎ ‎∵y＝cos x在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上单调递减，‎ ‎∴令2kπ≤2x＋≤2kπ＋π，得kπ－≤x≤kπ＋.‎ ‎∴f(x)的单调递减区间，k∈Z.‎ ‎(2)∵f(A)＝1＋2cos＝－1，‎ ‎∴cos＝－1.‎ 又1)．‎ ‎∴n＝6或n＝－(舍)．∴b＝(－2,6)．‎ ‎(2)由(1)知，a·b＝10，|a|2＝5.‎ 又∵c与b同向，故可设c＝λb(λ>0)．‎ ‎∵(c－a)·a＝0，‎ ‎∴λb·a－|a|2＝0.∴λ＝＝＝.‎ ‎∴c＝b＝(－1,3)．‎ ‎11．已知|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角是120°.‎ ‎(1)计算：①|a＋b|，②|‎4a－2b|；‎ ‎(2)当k为何值时，(a＋2b)⊥(ka－b)?‎ 解：由已知得，a·b＝4×8×＝－16.‎ ‎(1)①∵|a＋b|2＝a2＋‎2a·b＋b2‎ ‎＝16＋2×(－16)＋64＝48，‎ ‎∴|a＋b|＝4.‎ ‎②∵|‎4a－2b|2＝‎16a2－‎16a·b＋4b2‎ ‎＝16×16－16×(－16)＋4×64＝768，‎ ‎∴|‎4a－2b|＝16.‎ ‎(2)∵(a＋2b)⊥(ka－b)，‎ ‎∴(a＋2b)·(ka－b)＝0，‎ ‎∴ka2＋(2k－1)a·b－2b2＝0，‎ 即16k－16(2k－1)－2×64＝0.‎ ‎∴k＝－7.‎ 即k＝－7时，a＋2b与ka－b垂直．‎ ‎12．设在平面上有两个向量a＝(cos α，sin α)(0°≤α