第一章 直角三角形的边角关系
3.三角函数的有关计算（二）
一、学生知识状况分析
1．本章前两节学生学习了三角函数的定义，在此基础上用定义法求三角函数sinα、cosα、tanα值，并用定义法推导了300，450，600的三角函数值。
2．在计算器的使用上，学生学习了用计算器进行实数加减乘除及平方开方运算，上节 课学习了用计算器求已知角的三角函数值，并对计算器的二次功能有所了解。有上述知识技能作基础为学生进一步学习“已知三角函数值求角度”创造了必要条件。
二、教学任务分析
在三角函数中，非特殊角的求法，全部用定义求是不现实的，这就需要借助科学计算器，那么怎样使用科学计算器解决相应的实际问题，对这一问题的预期，就构成本节课的教学目的与任务。下面从三个方面来具体分析：
（一）知识与技能
1、经历用计算器由三角函数值求相应锐角的过程，进一步体会三角函数的意义。
2、能够利用计算器进行有关三角函数值的计算。
3、能够运用计算器辅助解决含三角函数值以及角度计算的实际问题。
（二）过程与方法
1、借助计算器解决含三角函数值计算的实际问题，提高解题效率，提高用现代工具解决实际问题的能力。
2、发现实际问题中的边角关系，并运用三角函数定义解决有关计算问题，在解决简单的应用题基础上体会三角函数方法独特意义，感受三角函数值随角度变化而连续变化的过程。
（三）情感与态度
1、主动参与数学活动，从中体会解决问题的乐趣。
2、形成实事求是的、严谨的学习态度。
教学难点：利用计算器由三角函数值求相应锐角的大小
教学重点：利用计算器由三角函数值求相应锐角的大小
三、教学过程分析
本节课总共设计了八个教学环节：第一环节 问题引入；第二环节 寻求方法；第三环节 练习巩固；第四环节 解决问题；第五环节 拓展重建；第六环节 自测评价；第七环节 课堂小结；第八环节 布置作业。
第一环节 问题引入
活动内容：（出示问题，感受问题）
随着人民生活水平的提高，私家小轿车越来越多，为了交通安全及方便行人推车过天桥，某市政府要在10 m高的天桥两端修建40m长的斜道。请问这条斜道的倾斜角是多少? (如下图所示)
活动目的：通过上例创设问题情境，激发学习兴趣，学生要解决这个问题必须先求
sinA＝，再求∠A，把这个问题归结为“已知三角函数值求相应锐角的大小”。
实际教学效果：学生的求知欲被激发起来，思维处于活跃状态，每个同学都积极探索解决这个实际问题的办法与途径。
第二环节 寻求方法
活动内容：练习掌握已知三角函数值求角度，要用到、、键的第二功能 “sin-1,cos-1,tan-1”和 键。
例如： ①已知sinA＝0.9816，求锐角A。
②已知cosA＝0.8607，求锐角A。
③已知tanA＝0.1890，求锐角A。
④已知tanA＝56.78，求锐角A。
按键顺序如下表:
按键顺序
显示结果
sinA=0.9816
sin-10.9816=78.99184039
cosA=0.8607
cos-10.8607=30.60473007
tanA=0.1890
tan-10.1890=10.70265749
tanA=56.78
tan-156.78=88.99102049
上表的显示结果是以“度”为单位的。再按 键即可显示以“度、分、秒”为单位的结果。
第一环节的引例中sinA=＝0.25。按键顺序为 ，
显示结果为sin-10.25=14.47751219°，再按 键可显示14°28′39″,所以
∠A=14°28′39″。（以后在用计算器求角度时如果没有特别说明，结果精确到1″即可。）
(教学时，给学生以充分交流的时间和空间，教师要引导学生根据自己使用的计算器，探索具体操作步骤。)
活动目的：前一节课已经学习如何利用科学计算器求已知角的三角函数值，通过本环节学习，使学生掌握如何利用科学计算器由锐角三角函数值求相应的锐角的大小，即已知三角函数值求角度，要用到、、键的第二功能 “sin-1,cos-1,tan-1”和 键。此外，通过这一环节促进学生的可逆性联想。
实际教学效果：学生能够利用科学计算器由已知锐角三角函数值反过来求相应的锐角的大小，并从中体会用科学计算器解决问题的优势，
体会了三角函数值和对应角度的对应关系。
第三环节 练习巩固
活动内容：（由学生独立完成下列练习题）
1.根据下列条件求锐角θ的大小：
(1)tanθ＝2.9888； (2)sinθ＝0.3957；
(3)cosθ＝0.7850； (4)tanθ＝0.8972；
(5)sinθ＝； (6)cosθ＝ 。
2.一辆汽车沿着一山坡行驶了150米，其铅直高度上升了25米，求山坡与水平面所成锐角的大小？
(请同学们完成后，在小组内讨论、交流。教师巡视，对有困难的学生给予及时指导。)
参考答案如下：
1.解：(1)∠θ＝71°30′2″； (2) ∠θ＝23°18′35″；
(3) ∠θ＝38°16′46″； (4) ∠θ＝41°53′54″；
(5) ∠θ＝30°； (6) ∠θ=45°。
2.解：设山坡与水平面所成锐角为α，
根据题意得sinα＝=，
∴∠α＝9°35′39″。
所以山坡与水平面所成锐角为9°35′39″。
活动目的：通过上面的练习，使学生通过亲手操作掌握利用计算器由已知锐角三角函数
值求相应锐角大小的方法，并能进行不同角度单位之间的转换。
实际教学效果：学生能够正确使用计算器解决已知锐角三角函数值求相应锐角的大小的
问题（包括函数值为无理数的情形）。
第四环节 解决问题
活动内容：（引导学生利用计算器求解下面的实际问题）
[例1]如图，工件上有一V形槽,测得它的上口
宽20 mm，深19.2mm，求V形角(∠ACB)的大小？
(结果精确到1°)
[例2]如图，一名患者体内某重要器官后面有一
肿瘤。在接受放射性治疗时，为了最大限度地保证疗
效，并且防止伤害器官，射线必须从侧面照射肿瘤。
已知肿瘤在皮下6.3 cm的A处，射线从肿瘤右侧
9.8cm的B处进入身体，求射线与皮肤的夹角？
注：这两例都是实际应用问题，需要求角度且角度不易测量，这时我们可以根
据直角三角形的边角关系，用计算器计算出角度，使实际问题得到解决。
活动目的：使学生能运用三角函数解决应用题中的计算问题，把现实问题转化为三角函数的计算问题，并使学生从中了解到三角函数能有效地解决医学等领域的现实问题。
实际教学效果：学生能把实际问题转化数学问题，用计算器辅助解决含有三角函数值计算的实际问题，具体解题步骤如下：
[例1] 解：∵tan∠ACD=≈0.5208
∴∠ACD≈27.5°
∴∠ACB＝2∠ACD≈2×27.5°＝55°。
[例2] 解：如图，在Rt△ABC中，
AC＝6.3 cm，BC=9.8 cm，
∴tanB=≈0.6429。
∴∠B≈32°44′13″。
因此，射线与皮肤的夹角约为32°44′13″。
第五环节 拓展重建
活动内容：（归纳解直角三角形的基本知识系统）
1、解直角三角形的基本理论依据：
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c。
(1)边的关系：a2+b2=c2(勾股定理)；
(2)角的关系：∠A+∠B=90°；
(3)边角关系：sinA=，cosA=，tanA= ，sinB＝，cosB＝，tanB= 。
2、由前面的两个例题以及上节的内容我们可以发现，很多实际问题中的数量关系都可归结为直角三角形中元素之间的关系，然后运用直角三角形中元素之间的关系，通过计算，使实际问题都得到解决。
活动目的：通过归纳提炼，把本节的知识纳入解三角形的系统中考虑，更好地掌握知识之间的联系，从而更好地掌握解决问题的方法与策略。
实际教学效果：把实际问题转化为解直角三角形的问题，使问题得到解决。
第六环节 自测评价
活动内容：（由学生独立完成下列练习题）
1.已知sinθ＝0.82904，求锐角θ的大小？
解：∠θ≈56°1″
2.一梯子斜靠在一面墙上。已知梯长4 m，梯子位于地面上的一端离墙壁2.5 m，求梯子与地面所成的锐角？
解：如右图。
∵cosα＝＝0.625
∴∠α≈51°19′4″。
所以梯子与地面所成的锐角约为51°19′4″。
活动目的：
通过学生独立完成，以进一步提高学生由三角函数值求角度的技能，从操作、分析、表达、反思几方面评价学生知识能力目标达成情况。
实际教学效果：通过自测评价矫正学习中的缺失，不断优化解决此类问题的方法，学生的转化意识和解决实际问题的能力得到进一步的提高。
第七环节 课堂小结
活动内容：（师生共同小结）
本节课我们学习了利用计算器由三角函数值求相应的锐角的过程；进一步体会三角函数的意义；并且利用计算器辅助解决含有三角函数值计算的实际问题。
活动目的：让学生一起参与归纳本堂课的知识点以及重点、难点，让学生自己参与学习，自己探寻方法，自己去解决问题，使学生的主体地位得以充分发挥。
实际教学效果：学生掌握了本节课的全部内容，会利用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题，进一步提高了分析问题、解决问题的能力。
第八环节 布置作业
1、必做题：课本P20页 习题1.5 第2、3题
2、选做题：
如图,为某小区的两幢10层住宅楼,由地面向上依次为第1层、第2层、……、第10层，每层的高度为3m，两楼间的距离AC=30m。现需了解在某一时段内，甲楼对乙楼的采光的影响情况。假设某一时刻甲楼楼顶B落在乙楼上的影子长EC=h，太阳光线与水平线的夹角为α。
（1） 用含α的式子表示h；
（2） 当α=30o时，甲楼楼顶B的影子落在乙楼的第几层？从此时算起，若α每时增加10o，多久后，甲楼的影子刚好不影响乙楼的采光？
四、教学反思
1．教学特色
（1）本节课通过创设很多符合学生实际的问题情境
，让学生经历从实际问题中抽象出锐角三角函数模型的过程，发展了学生的应用意识及分析问题解决问题的能力，培养了学生的建模能力及转化思想。
（2）将现代信息技术作为改变教师教学方式及学生的学习方式的重要手段，鼓励学生用计算器完成复杂的计算，进行探索规律的活动，这样既丰富了学生的感性认识，又渗透了数形结合的思想，极大地提高了课堂效率，使多媒体技术真正成为感性认识与理性认识的桥梁。
（3）为了满足不同层次同学们的需要，布置作业时采用必做题与选做题相结合的方法，对成绩一般的同学只需完成必做题即可，而对学有余力的同学则要求必须同时完成必做题和选做题。
2．教学启示
相信学生并为学生提供充分展示自己的机会。课堂上要把激发学生学习热情和获得学习能力放在教学首位，通过运用各种启发、激励的语言，以及组织小组合作学习，帮助学生形成积极主动的求知态度。
3．注意改进的方面
在提问、练习、探索规律之时，应该留给学生充分的独立思考的时间，不要让一些思维活跃的学生的回答代替了其他学生的思考，掩盖了其他学生的疑问。教师应对学生给予适当的指导，包括知识的启发引导、学生交流合作中注意的问题及对困难学生的帮助等，使绝大
多数学生发挥主体作用。
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