一元一次不等式(组)的竞赛题巧解举例.doc

一元一次不等式(组)的竞赛题巧解举例 一元一次不等式(组)是初中数学竞赛试题中经常出现的重点内容。根据不等式的基本性质和一元一次不等式（组）的解的概念，适当地进行变换，可以巧妙解决一些关于不等式（组）的竞赛题。‎ 一、 巧用不等式的性质 例1 要使a5＜a3＜a＜a2＜a4成立，则a的取值范围是（ ）‎ A.0＜a＜1 B. a＞‎1 ‎‎ C.－1＜a＜0 D. a＜－1‎ 分析：由a3＜a到a2＜a4，是在a3＜a的两边都乘以a，且a＜0来实现的；在a3＜a 两边都除以a，得a2＞1，显然有a＜－1。故选D 点评：本题应用不等式的性质，抓住题目给出的一个不等式作为基础进行变形，确定 a的取值范围。‎ 例2 已知6＜＜10，≤≤，，则的取值范围是 。‎ 分析：在≤≤的两边都加上，可得≤≤，再由6＜＜10可得9＜＜30，即9＜＜30‎ 点评：本题应用不等式的基本性质，在≤≤的两边都加上后，直接用关于的不等式表示，再根据6＜＜10求出的取值范围。‎ 二、 由不等式的解集确定不等式中系数的取值范围 例3 若关于的不等式组 的解集为，则的取值范围是 。‎ 分析：由①得 ，解之得。‎ 由②得 。‎ 因为原不等式组的解集为，所以，所以。‎ 点评：本题直接解两个不等式得到且。 若，则其解集为，若，则其解集为，而原不等式的解集为，所以，即。对此理解有困难的学生，可以通过在数轴上表示不等式的解集来帮助理解。‎ 例4 若不等式的解集是，则不等式 ‎ 。‎ 分析：原不等式可化为。‎ 因为，所以 由②得 ，代入①得 ＜0，‎ 所以。‎ 由 得。‎ 把代入得 。‎ 点评：本题先由不等式解集的不等号方向判断＜0，从数值上判断，从而确定的关系及的符号。‎ 不等式系数的符号决定了不等式解集中的不等号的方向，其数值决定了取值范围的边界，因此，反过来可以通过不等式的解集来确定不等式中系数的符号及参数的取值范围。‎ 一、 利用不等式求代数式的最大值 例5 设均为自然数，且，又，则的最大值是 。‎ 分析：均为自然数，且，‎ 所以在这七个数中，后面的一个数比前面的数至少大1，‎ ‎159=，‎ ‎，所以的最大值为19。‎ 当取最大值时，，‎ ‎140≥，‎ ‎，所以的最大值为20。‎ 当、都取最大值时，‎ ‎120=，‎ 所以， 所以的最大值为22。‎ 所以的最大值是19+20+22=61。‎ 点评：本题根据已知条件先分别确定、、的最大值，再求出的最大值。其关键在于利用自然数的特征，用放缩法建立关于、、的不等式。‎ ‎　例6 在满足，的条件下， 能达到的最大值是 。‎ 分析：将转化为只含有一个字母的代数式，再根据条件求解。‎ ‎∵，∴，。‎ ‎∴。‎ ‎∵ ∴，∴。‎ 即 故 能达到的最大值是6。‎ 点评：由字母的取值范围可以确定含字母的代数式的取值范围，从而可以确定代数式的最大值或最小值。‎ 例７　若整数满足不等式组 ‎ 试确定的大小关系 ‎ 分析：利用不等式的性质，原不等式组可化为 ‎，‎ 所以，‎ 即。‎ 所以。‎ 点评：本题根据已知不等式组中各不等式的特点，对各不等式进行变形，使它们都含有，利用不等式的传递性，得到的大小关系。‎