【基础演练】
1. (2012·北海)如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△ABC的顶点都在格点上，将△ABC绕点C顺时针旋转60°，则顶点A所经过的路径长为 ( )
A．10π B.
C.π D．π
解析 如图所示在Rt△ACD中，
AD＝3，DC＝1，
∴AC＝＝，
又∵△ABC绕点C顺时针旋转60°，
∴顶点A所经过的路径长为
l＝＝π.
故选C.
答案 C
2．(2012·嘉兴)已知一个圆锥的底面半径为3 cm，母线长为10 cm，则这个圆锥的侧面积为 ( )
A．15π cm2 B．30π cm2
C．60π cm2 D．3 cm2
解析 圆锥的侧面积＝π×3×10＝30π cm2.
故选B.
答案 B
3. (2012·内江)如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CDB＝30°，CD＝2，则阴影部分图形的面积为 ( )
A．4π B．2π
C．π D.
解析 连结OD，
∵CD⊥AB
∴CE＝DE＝CD＝，
故S△OCE＝S△CDE，
即可得阴影部分的面积等于扇形OBD的面积，
又∵∠CDB＝30°，
∴∠COB＝60°(圆周角定理)，∴OC＝2，
故S扇形OBD＝＝π，
即阴影部分的面积为π.
故选D.
答案 D
4．(2012·衢州)用圆心角为120°，半径为6 cm的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽(如图所示)，则这个纸帽的高是 ( )
A. cm B．3 cm
C．4 cm D．4 cm
解析 l＝＝4π cm，
圆锥的底面半径为＝2 cm，
∴这个圆锥形筒的高为
＝4 cm.
故选C.
答案 C
5．(2012·南充)若一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角为 ( )
A．120° B．180° C．240° D．300°
解析 设母线长为R，底面半径为r，
∴底面周长＝2πr，底面面积＝πr2，侧面面积＝πrR，
∵侧面积是底面积的2倍，
∴2πr2＝πrR，
∴R＝2r，
设圆心角为n，有
＝2πr＝πR，∴n＝180°
故选B.
答案 B
6. (2012·遵义)如图，半径为1 cm，圆心角为90°的扇形OAB中，分别以OA、OB为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为 ( )
A．π cm2 B.π cm2
C. cm2 D. cm2
解析 过点C作CD⊥OB，CE⊥OA，
∵OB＝OA，∠AOB＝90°，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∵OA是直径，
∴∠ACO＝90°，
∴△AOC是等腰直角三角形，
∵CE⊥OA，
∴OE＝AE，OC＝AC，
在Rt△OCE与Rt△ACE中，
∵OC＝AC，OE＝AE
∴Rt△OCE≌Rt△ACE，
∵S扇形OEC＝S扇AEC，
∴与弦OC围成的弓形的面积等于与弦AC所围成的弓形面积，同理可得，与弦OC围成的弓形的面积等于与弦BC所围成的弓形面积，
∴S阴影＝S△AOB
＝×1×1
＝(cm2)
故选C.
答案 C
7．如图AB是⊙O的切线，切点为B，AO交⊙O于点C，过点C作DC⊥OA，交AB于点D.
(1)求证：∠CDO＝∠BDO；
(2)若∠A＝30°，⊙O的半径为4，求阴影部分的面积(结果保留π)．
(1)证明 AB切⊙O于点B，
∴OB⊥AB，即∠B＝90°.
又∴DC⊥OA，∴∠OCD＝90°.
在Rt△COD与Rt△BOD中，OD＝OD，OB＝OC，
∴Rt△COD≌Rt△BOD.
∴∠CDO＝∠BDO.
(2)在Rt△ABO中，∠A＝30°，OB＝4，
∴∠BOC＝60°，
∵Rt△COD≌Rt△BOD，
∴∠BOD＝30°，
∴BD＝OB·tan 30°＝.
∴S四边形OCDB＝2S△OBD＝2××4×＝.
∵∠BOC＝60°，
∴S扇形OBC＝＝.
∴S阴影＝S四边形OCDB－S扇形OBC＝－.
【能力提升】
8. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，两等圆⊙A，⊙B外切，那么图中两个扇形(即阴影部分)的面积之和为 ( )
A.π B.π
C.π D.π
解析 ∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
AC＝8，BC＝6，∴AB＝＝10，
∴S阴影部分＝＝π.
答案 B
9. (2012·宁波)如图，用邻边分别为a，b(a＜b)的矩形硬纸板裁出以a为直径的两个半圆，再裁出与矩形的较长边、两个半圆均相切的两个小圆．把半圆作为圆锥形圣诞帽的侧面，小圆恰好能作为底面，从而做成两个圣诞帽(拼接处材料忽略不计)，则a与b满足的关系式是 ( )
A．b＝a B．b＝a
C．b＝a D．b＝a
解析 本题考查圆的有关性质以及勾股定理的综合应用，难度中等．如图，设小圆的半径为x，则MF＝AN＝x，NE＝－x，NF＝，EF＝＋x，由勾股定理可得＋＝①，再根据小圆周长等于半圆弧长可得2πx＝π·，②，联立①②，消去x，可得b＝a，故选D.
答案 D
10．如下图，把直角三角形ABC的斜边AB放在定直线l上，按顺时针方向在l上转动两次，使它转到△A″B″C″的位置，设BC＝1，AC＝，则顶点A运动到点A″的位置时．
求：(1)点A经过的路线的长度；
(2)点A经过的路线与直线l所围成的面积(计算结果保留π)．
解 (1)在Rt△ABC中，
∵BC＝1，AC＝，
∴AB＝2，∠CBA＝60°，
∴弧AA′长度为＝π，
弧A′A″长度为＝π，
∴点A经过的路线的长是π＋π.
(2) S扇形ABA′＋S△A′BC″＋S扇形A′C″A″＝ ＋＋
＝π＋.
11．(2012·宁波)如图，在△ABC中，BE是它的角平分线，∠C＝90°，D在AB边上，以DB为直径的半圆O经过点E，交BC于点F.
(1)求证：AC是⊙O的切线；
(2)已知sin A＝，⊙O的半径为4，求图中阴影部分的面积．
(1)证明 连接OE.∵OB＝OE，
∴∠OBE＝∠OEB，
∵BE是△ABC角平分线，
∴∠OBE＝∠EBC，∴∠OEB＝∠EBC，
∴OE∥BC.
∵∠C＝90°，∴∠AEO＝∠C＝90°，
∴AC是⊙O的切线．
(2)解 连接OF.
∴sin A＝，∴∠A＝30°.
∵⊙O的半径为4，∴AO＝2OE＝8，
∴AE＝4，∠AOE＝60°，∴AB＝12，
∴BC＝AB＝6，AC＝6，
∴CE＝AC－AE＝2.
∴OB＝OF，∠ABC＝60°，
∴△OBF是正三角形．
∴∠FOB＝60°，CF＝6－4＝2，∴∠EOF＝60°.
∴S梯形OECF＝×(2＋4)×2＝6.
S扇形EOF＝＝π.
∴S阴影部分＝S梯形OECF－S扇形EOF＝6－π.
微信/支付宝扫码支付