【基础演练】
1．(2012·广州)在等腰梯形ABCD中，BC∥AD，AD＝5，DC＝4，DE∥AB，交BC于点E，且EC＝3，则梯形ABCD的周长是 ( )
A．26 B．25 C．21 D．20
解析 由AD∥BC，DE∥AB可得四边形ABED是平行四边形，于是BE＝AD＝5，BC＝BE＋EC＝8.由于四边形ABCD是等腰梯形，∴AB＝DC＝4，所以梯形的周长为4＋4＋5＋8＝21.
答案 C
2．(2012·临沂)如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD相交于点O，下列结论不一定正确的是 ( )
A．AC＝BD B．OB＝OC
C．∠BCD＝∠BDC D．∠ABD＝∠ACD
解析 A项，∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴AC＝BD，∴A项正确；
B项，∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，
在△ABC和△DCB中，，
∴△ABC≌△DCB，∴∠ACB＝∠DBC，
∴OB＝OC，∴B项正确；
C项∵无法确定BC＝BD，
∴∠BCD与∠BDC不一定相等，∴C项错误；
D项∵∠ABC＝∠DCB，∠ACB＝∠DBC，
∴∠ABD＝∠ACD，∴D项正确．
答案 C
3．(2012·漳州)如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC
，∠B＝80°，则∠D的度数是 ( )
A．120° B．110° C．100° D．80°
解析 ∵AD∥BC，∠B＝80°，
∴∠A＝180°－∠B＝180°－80°＝100°，
∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴∠D＝∠A＝100°.
答案 C
4．(2012·丰台区)已知等腰梯形的中位线长是6 cm，腰长为5 cm，则它的周长是
( )
A．11 cm B．16 cm C．17 cm D．22 cm
解析 由已知可得，梯形的两底之和是12 cm，则它的周长是12＋10＝22 cm.
答案 D
5．(2012·乐山)下列命题是假命题的是 ( )
A．平行四边形的对边相等
B．四条边都相等的四边形是菱形
C．矩形的两条对角线互相垂直
D．等腰梯形的两条对角线相等
解析 C项因为矩形的对角线相等但不一定垂直错误，是假命题；A、B、D选项正确，是真命题．
答案 C
6．(2012·烟台)如图，在平面直角坐标系中，等腰梯形ABCD的下底在x轴上，且B点坐标为(4，0)，D点坐标为(0，3)，则AC的长为 ( )
A．4 B．5
C．6 D．不能确定
解析 如图，连接BD，
由题意得，OB＝4，OD＝3，
故可得BD＝5，
又ABCD是等腰梯形，
∴AC＝BD＝5.
答案 B
7．(2012·德州)在四边形ABCD中，AB＝CD，要使四边形ABCD是中心对称图形，只需添加一个条件，这个条件可以是____________．(只要填写一种情况)
解析 ∵AB＝CD，∴当AD＝BC，或AB∥CD，
或∠B＋∠C＝180°，或∠A＋∠D＝180°等时，
四边形ABCD是平行四边形．
故此时是中心对称图形．
答案 AD＝BC或AB∥CD或∠B＋∠C＝180°或∠A＋∠D＝180°等
8．(2012·长沙)如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD＝2，∠B＝60°，则BC的长为________．
解析 如图，作AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E、F.
∵∠B＝60°，AB＝2，∴BE＝1，
∵四边形ABCD为等腰梯形，
∴∠B＝∠C，
在△ABE和△DCF中
∴△ABE≌△DCF，∴BE＝CF＝1，
∵AD∥EF，AE∥DF，
∴四边形AEFD为平行四边形，
∴AD＝EF＝2，∴BC＝BE＋EF＋CF＝4.
答案 4
9．(2012·南充)如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，点E是AD延长线上的一点，且CE＝CD，求证：∠B＝∠E.
证明 ∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴∠B＝∠BCD，∵AD∥BC，∴∠BCD＝∠CDE，
∵CE＝CD，∴∠CDE＝∠E，∴∠B＝∠E.
【能力提升】
10．(2012·内江)四边形ABCD是梯形，BD＝AC且BD⊥AC，若AB＝2，CD＝4，则S梯形ABCD＝________．
解析 如图，过点B作BE∥AC交DC的延长线于点E，过点B作BF⊥DC于点 F，
则AC＝BE，DE＝DC＋CE＝DC＋AB＝6，
又∵BD＝AC且BD⊥AC，
∴△BDE是等腰直角三角形，
∴BF＝DE＝3，
故可得梯形ABCD的面积为
(AB＋CD)×BF＝9.
答案 9
11．如图，直角梯形OABC中，OC∥AB，C(0，3)，B(4，1)，以BC为直径的圆交x轴于D、E两点(点D在点E的右方)求点E、D的坐标．
解 ∵BC是直径，∴∠BDC＝90°，
∴∠1＋∠2＝90°，
又∵∠1＋∠3＝90°，
∴∠2＝∠3，
在△ODC和△ABD中，
∠COD＝∠DAB＝90°，
∠2＝∠3，∴△ODC∽△ABD，
∴＝，
又∵AB＝1，OC＝3，∴＝.∴OD·AD＝3，
又∵OD＋AD＝4，∴AD＝4－OD，
设OD＝x则x(4－x)＝3，解得x1＝1，x2＝3，
即以BC为直径的圆与x轴有两个交点，它们在原点的右侧，与原点的距离分别为1和3，由于点D在点E的右侧，∴OE＝1，OD＝3，所以点D、E的坐标分别为D(3，0)，E(1，0)．
12．(2011·梅州)如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝BC，将△ACD沿对角线翻折后，点D恰好与边AB的中点M重合．
(1)点C是否在以AB为直径的圆上？请说明理由．
(2)当AB＝4时，求此梯形的面积．
解 (1)点C在以AB为直径的圆上．
理由：连接MC、MD，
∵AB∥CD，∴∠1＝∠2，
又∵∠1可由∠3翻折得到，
∴∠1＝∠3，∴∠2＝∠3，∴AD＝DC.
又∵AM＝AD，∴CD＝AM，又∵AM∥CD，
∴四边形AMCD是菱形，∴AM＝MC＝AD，
同理DM＝BM＝BC，又∵AD＝BC，
∴MA＝MD＝MC＝MB，
∴点C在以AB为直径的圆上．
(2)由(1)知AM＝MD＝AD＝AB＝2，
∴△AMD是等边三角形．
过点D作DE⊥AB于E，则AE＝AM＝×2＝1，
由勾股定理得DE＝＝＝.
所以S梯形ABCD＝(AB＋CD)×DE
＝×(2＋4)×＝3.
13．(2012·襄阳)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E为BC的中点，BC＝2AD，EA＝ED＝2，AC与ED相交于点F.
(1)求证：梯形ABCD是等腰梯形；
(2)当AB与AC具有什么位置关系时，四边形AECD是菱形？请说明理由，并求出此时菱形AECD的面积．
(1)证明 ∵AD∥BC，
∴∠DEC＝∠EDA，
∠BEA＝∠EAD，
又∵EA＝ED，
∴∠EAD＝∠EDA，
∴∠DEC＝∠AEB，
又∵EB＝EC，
∴△DEC≌△AEB，
∴AB＝CD，
∴梯形ABCD是等腰梯形．
(2)解 当AB⊥AC时，四边形AECD是菱形．
证明 ∵AD∥BC，BE＝EC＝AD，
∴四边形ABED和四边形AECD均为平行四边形．∴AB＝ED，∵AB⊥AC，
∴AE＝BE＝EC，∴四边形AECD是菱形．
过A作AG⊥BE于点G，
∵AE＝BE＝AB＝2，
∴△ABE是等边三角形，
∴∠AEB＝60°，∴AG＝ ，
∴S菱形AECD＝EC·AG＝2× ＝2
微信/支付宝扫码支付