【基础演练】
1．(2012·湖州)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，CD是AB边上的中线，则CD的长是 ( )
A．20 B．10 C．5 D．52
解析 ∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，CD是AB边上的中线，∴CD＝AB＝5.
答案 C
2．(2012·广州)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12，则点C到AB的距离是 ( )
A. B. C. D.
解析 AB＝ ＝15，设点C到AB的距离为x，∵S△ABC＝×9×12＝×15×x ∴x＝.
答案 A
3．(2012·绵阳)如图，将等腰直角三角形沿虚线剪去顶角后，∠1＋∠2＝ ( )
A．225° B．235°
C．270° D．与虚线的位置有关
解析 ∵∠A＋∠B＝90°，
∠1＋∠2＋∠A＋∠B＝(4－2)·180°，
∴∠1＋∠2＝360°－90°＝270°.
答案 C
4．(2011·肇庆)在直角三角形ABC中，∠C＝90°，BC＝12，AC＝9，则AB＝________．
解析 根据勾股定理，直接得出结果：AB＝＝＝＝15.
答案 15
5．(2012·嘉兴)在直角△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若CD＝4，则点D到斜边AB的距离为________．
解析 如图，过D点作DE⊥AB于点E，则DE即为所求，
∵∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，
∴CD＝DE(角的平分线上的点到角的两边的距离相等)，∵CD＝4，∴DE＝4.
答案 4
6．如右图，∠BAC＝110°，如果MP和NQ分别垂直平分AB和AC，那么∠PAQ＝________．
解析 ∵MP与NQ分别垂直平分AB和AC
∴∠B＝∠BAP，∠QAC＝∠C
∵∠BAC＝110°，∴∠B＋∠C＝70°
又∵∠APQ＝∠B＋∠BAP
∠AQP＝∠C＋∠QAC
∴∠APQ＋∠AQP＝2∠B＋2∠C＝140°
在△APQ中
∠PAQ＝180°－∠APQ－∠AQP
＝180°－140°＝40°
答案 40°
7． (2012·黔东南州)如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝1，AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴的正半轴于M，则点M的坐标为________．
解析 AC＝AM＝ ＝ ，∴AM＝
答案 －1
8．如图，已知直角三角形ABC中，∠C＝90°，CA＝CB，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E点，BE＝3 cm，则CD＝________cm，△DEB的周长为________cm.
解析 在等腰Rt△BDE中
∵BE＝3 cm，∴BD＝3 cm，DE＝3 cm
∴CD＝DE＝3 cm
△DEB周长为DE＋DB＋BE＝6＋3 cm
答案 3 6＋3
9．(2012·无锡)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8 cm，D是AB的中点，现将△BCD沿BA方向平移1 cm，得到△EFG，FG交AC于H，则GH的长等于________cm.
解析 ∵△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8 cm，
D是AB的中点，∴AD＝BD＝CD＝AB＝4 cm；
又∵△EFG由△BCD沿BA方向平移1 cm得到的，∴GH∥CD，GD＝1 cm，
∴＝，即＝，解得，GH＝3 cm.
答案 3
10．(2012·枣庄)如图，长方形纸片ABCD，沿折痕AE折叠边AD，使点D落在BC边上的F处，已知AB＝8，S△ABF＝24，求EC的长．
解 ∵S△ABF＝AB·BF＝24，AB＝8，
∴BF＝6，∴AF＝AD＝BC＝ ＝10，
∴FC＝10－6＝4.
设CE＝x，则DE＝EF＝8－x，
在Rt△EFC中，(8－x)2＝42＋x2
解得x＝3，∴EC＝3.
11．如图， 已知四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，求四边形ABCD的面积．
解 连接AC，在Rt△ABC中，
AC2＝AB2＋BC2＝32＋42＝25, ∴AC＝5.
在△ACD中，∵AC2＋CD2＝52＋122＝169，
而AD2＝132＝169，∴AC2＋CD2＝AD2，
∴∠ACD＝90°.
故S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD
＝AB·BC＋AC·CD
＝×3×4＋×5×12＝6＋30＝36.
【能力提升】
12．如图，直线l上有三个正方形a、b、c，若a、c的面积分别为5和11，则b的面积为 ( )
A．4 B．6 C．16 D．55
解析 ∵∠ACB＋∠ECD＝90°，∠DEC＋∠ECD＝90°，
∴∠ACB＝∠DEC，∵∠ABC＝∠CDE，AC＝CE，
∴△ABC≌△CDE，∴BC＝DE.
∴(如上图)，根据勾股定理的几何意义，
b的面积＝a的面积＋c的面积，∴b的面积＝a的面积＋c的面积＝5＋11＝16.故选C.
答案 C
【能力提升】
13．(2012·宁波)勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的面积为( )
A．90 B．100 C．110 D．121
解析 如图，延长AB交KF于点O，延长AC交GM于点P，
所以，四边形AOLP是正方形，边长AO＝AB＋AC＝3＋4＝7，
所以，KL＝3＋7＝10，LM＝4＋7＝11，
因此，矩形KLMJ的面积为10×11＝110.
答案 C
14．在水平的操场上，小明从A点出发，沿直线前进10米后，向左转30°，再沿直线前进10米，又向左转30°，…照这样走下去，他第一次回到出发点A时，一共走了________米．
解析 小明每次向左转30°，再前进10米，相当于在平面内画了一个正多边形，每个30°角是这个正多边形的一个外角，由于多边形的外角和为360°，所以360°÷30°＝12，即小明走了一个边长为10米的正十二边形，他共走了120米．
答案 120
15．(2012·菏泽)如图，△ABC中，AB＝AC，AD、AE分别是∠BAC和∠BAC的外角的平分线，BE⊥AE.
(1)求证：DA⊥AE；
(2)试判断AB与DE是否相等？并证明你的结论．
(1)证明 ∵∠DAB＝∠BAC，
∠BAE＝∠BAF.
∴∠DAB＋∠BAE＝(∠BAC＋∠BAF)＝×180°＝90°，即∠DAE＝90°，∴DA⊥AE.
(2)解 AB＝DE，证明如下；
∵AB＝AC，且AD平分∠BAC，∴AD⊥BD，由(1)知AD⊥AE，又∵BE⊥AE，∴四边形ADBE是矩形，∴AB＝DE.
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