浙江省永嘉县桥下镇瓯渠中学2014届九年级数学总复习《第十八讲 二次函数的应用》课件.ppt

第十八讲 二次函数的应用 课 前 必 读 考纲要求 1. 会利用二次函数图象求一元二次方程的近似解； 2. 能用二次函数解决简单的实际问题 . 学.科.网 考情分析 近三 年浙 江省 中考 情况 年份 考查点 题型 难易度 2010 年 二次函数综合题 (12 分 ) 解答题 中等、 较难结合 2011 年 二次函数综合题 (12 分 ) 解答题 容易、 较难结合 2012 年 用二次函数求最值 (8 分 ) 学.科.网 解答题 中等 网 络 构 建 认真审题是前提 等量关系是关键 见到最值求函数 根据变量求最值 学.科.网 考 点 梳 理 用函数解决实际问题中的最值问题，列出函数关系式，若是一次函数需根据题意，求 _______ 的取值范围，用函数的 _____ 性确定最值；若是二次函数需要考虑 ____ ，若 ____ 的横坐标在自变量范围内，则 ____ 的函数值即为所求最值．若 _____ 的横坐标不在自变量范围内，则在自变量取值范围内，用 _____ 性确定最值． 应用二次函数的性质，解决实际问题中的最值问题 自变量 增减 顶点 顶点 顶点 增减 顶点 名师助学 求最值问题，常常借助一次函数或二次函数来解决．因为函数可以看作二元方程，所以在列函数关系式时，关键是找等量关系，然后设两求最值问题，常常借助一次函数或二次函数来解决．因为函数可以看作二元方程，所以在列函数关系式时，关键是找等量关系，然后设两个恰当未知数列方程；同时找不等关系列不等式来确定自变量取值范围，最后根据函数的增减性求最值． 解决此类问题的关键是建立恰当的 ______________ ，应用数形结合的思想，实现图形上的点与坐标之间的转化． 抛物线型问题 名师助学 1 ．解决抛物线型问题时应根据题目中的条件建立恰当的坐标系； 2 ．解方程组的思想是消元，包含代入消元法和加减消元法． 平面直角坐标系 对 接 中 考 常考角度 运用二次函数求最值． 对接点一：应用二次函数性质，解决实际问题中的最值问题 (1) 公司每日租出 x 辆车时，每辆车的日租金为 ________ 元 ( 用含 x 的代数式表示 ) ； (2) 当每日租出多少辆时，租赁公司日收益最大？最大是多少元？ 【 例题 1】 (2012· 嘉兴 ) 某汽车租赁公司拥有 20 辆汽车．据统计，当每辆车的日租金为 400 元时，可全部租出；当每辆车的日租金每增加 50 元，未租出的车将增加 1 辆；公司平均每日的各项支出共 4 800 元．设公司每日租出 x 辆车时，日收益为 y 元． ( 日收益＝日租金收入－平均每日各项支出 ) (3) 当每日租出多少辆时，租赁公司的日收益不盈也不亏？ 分析 　 (1) 根据当全部未租出时，每辆租金为： 400 ＋ 20×50 ＝ 1 400 元，得出公司每日租出 x 辆车时，每辆车的日租金为： 1 400 － 50 x ； (2) 根据已知得到的二次函数关系求得日收益的最大值即可； (3) 要使租赁公司日收益不盈也不亏，即： y ＝ 0. 即：－ 50( x － 14) 2 ＋ 5 000 ＝ 0 ，求出即可． (1) 解析 　∵某汽车租赁公司拥有 20 辆汽车．据统计，当每辆车的日租金为 400 元时，可全部租出；当每辆车的日租金每增加 50 元，未租出的车将增加 1 辆； ∴当全部未租出时，每辆租金为： 400 ＋ 20×50 ＝ 1 400 元 ∴公司每日租出 x 辆车时，每辆车的日租金为： 1 400 － 50 x 答案 　 1 400 － 50 x (2) 解 　根据题意得出： y ＝ x ( － 50 x ＋ 1 400) － 4 800 ＝－ 50 x 2 ＋ 1 400 x － 4 800 ＝－ 50( x － 14) 2 ＋ 5 000. 当 x ＝ 14 时，在自变量范围内， y 有最大值 5 000. 答 　当日租出 14 辆时，租赁公司日收益最大，最大值为 5 000 元． (3) 解 　要使租凭公司日收益不盈也不亏，即： y ＝ 0. 即：－ 50( x － 14) 2 ＋ 5 000 ＝ 0 ， 解得 x 1 ＝ 24 ， x 2 ＝ 4 ，∵ x ＝ 24 不合题意，舍去． 答 　当日租出 4 辆时，租赁公司日收益不盈也不亏． 本题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出代数式或函数关系式是解题关键． (1) 设矩形的一边 GH ＝ x cm ，那么 HE 边的长度如何表示？ (2) 设矩形 EFGH 的面积为 y cm 2 ，当 x 为何值时， y 的值最大？最大是多少？ 【 预测 1 】 某家具厂有一种如图所示的木板余料，已知 BC ＝ 24 cm ， BC 边上的高 AD ＝ 16 cm ，现要在这种余料上截取矩形木板 EFGH, 使 E ， F 在 BC 上， G ， H 分别在 AC ， AB 上． 【 预测 2 】 某企业信息部进行市场调研发现： 信息一：如果单独投资 A 种产品，则所获利润 y A ( 万元 ) 与投资金额 x ( 万元 ) 之间存在正比例函数关系： y A ＝ kx ，并且当投资 5 万元时，可获得利润 2 万元； 信息二：如果单独投资 B 种产品，则所获利润 y B ( 万元 ) 与投资金额 x ( 万元 ) 之间存在二次函数关系： y B ＝ ax 2 ＋ bx ，并且当投资 2 万元时，可获利润 2.4 万元；当投资 4 万元时，可获利润 3.2 万元． (1) 请分别求出上述的正比例函数表达式与二次函数的表达式． (2) 如果企业同时对 A 、 B 两种产品共投资 10 万元，请你设计一个能获得最大利润的投资方案，并求出按此方案能获得的最大利润是多少． (2) 设投资 B 种商品 x 万元，则投资 A 种商品 (10 － x ) 万元，获得利润 W 万元，根据题意可得 W ＝－ 0.2 x 2 ＋ 1.6 x ＋ 0.4(10 － x ) ＝－ 0.2 x 2 ＋ 1.2 x ＋ 4 ，∴ W ＝－ 0.2( x － 3) 2 ＋ 5.8 ， 当投资 B 种商品 3 万元时，可以获得最大利润 5.8 万元． ∴投资 A 种商品 7 万元， B 种商品 3 万元，这样投资可以获得最大利润 5.8 万元． 常考角度 结合二次函数的图象解决生活中的实际问题或与几何相关的数学问题． 对接点二：抛物线型问题 【 例题 2】 (2012· 武汉 ) 如图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分 ACB 和矩形的三边 AE ， ED ， DB 组成，已知河底 ED 是水平的， ED ＝ 16 米， AE ＝ 8 米，抛物线的顶点 C 到 ED 的距离是 11 米，以 ED 所在的直线为 x 轴，抛物线的对称轴为 y 轴建立平面直角坐标系． 答 　需 32 小时禁止船只通行． 解决函数的应用题经常用到数形结合、转化、归纳等数学思想方法，从文字，表格和图中提取有效信息，进行利用函数的性质和相关知识来解决问题． A ． 3.5 m B ． 4 m C ． 4.5 m D ． 4.6 m 答案 　 B 【 预测 4 】 跳绳时，绳甩到最高处时的形状是抛物线．正在甩绳的甲、乙两名同学拿绳的手间距 AB 为 6 米，到地面的距离 AO 和 BD 均为 0.9 米，身高为 1.4 米的小丽站在距点 O 的水平距离为 1 米的点 F 处，绳子甩到最高处时刚好通过她的头顶点 E . 以点 O 为原点建立如图所示的平面直角坐标系，设此抛物线的解析式为 y ＝ ax 2 ＋ bx ＋ 0.9. (1) 求该抛物线的解析式； (2) 如果小华站在 OD 之间，且离点 O 的距离为 3 米，当绳子甩到最高处时刚好通过他的头顶，请你算出小华的身高； (3) 如果身高为 1.4 米的小丽站在 OD 之间，且离点 O 的距离为 t 米，绳子甩到最高处时超过她的头顶，请结合图象，写出 t 的取值范围 ________ ． (2) 解 　把 x ＝ 3 代入 y ＝－ 0.1 x 2 ＋ 0.6 x ＋ 0.9 得， y ＝－ 0.1×3 2 ＋ 0.6×3 ＋ 0.9 ＝ 1.8. 答 　小华的身高是 1.8 米． (3) 答案　 1< t