【基础演练】
1．(2012·海南)如图，正比例函数y＝k1x与反比例函数y＝的图象相交于A、B两点，若点A的坐标为(2，1)，则点B的坐标是 ( )
A．(1，2) B．(－2，1)
C．(－1，－2) D．(－2，－1)
解析 反比例函数与正比例函数图象的两个交点关于原点对称，故选D.
答案 D
2．(2011·广东茂名)若函数y＝的图象在其象限内y的值随x值的增大而增大，则m的取值范围是 ( )
A．m＞－2 B．m＜－2 C．m＞2 D．m＜2
解析 根据反比例函数的性质，可得m＋2＜0，从而得出m的取值范围：m＜－2.故选B.
答案 B
3．(2012·张家界)当a≠0时，函数y＝ax＋1与函数y＝在同一坐标系中的图象可能是 ( )
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解析 当a＞0时，y＝ax＋1过一、二、三象限，y＝过一、三象限；
当a＜0时，y＝ax＋1过一、二、四象限，y＝
过二、四象限；故选C.
答案 C
4．(2012·长沙)某闭合电路中，电源的电压为定值，电流I(A)与电阻R(Ω)成反比例．图表示的是该电路中电流I与电阻R之间函数关系的图象，则用电阻R表示电流I的函数解析式为 ( )
A．I＝ B．I＝
C．I＝ D．I＝－
解析 设I＝，那么点(3，2)适合这个函数解析式，则k＝3×2＝6，∴I＝.
故选C.
答案 C
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5．(2012·哈尔滨)如果反比例函数y＝的图象经过点(－1，－2)，则k的值是 ( )
A．2 B．－2 C．－3 D．3
解析 ∵反比例函数图象过点(－1，－2)
∴－2＝.
k＝3.故选D.
答案 D
6．(2012·湛江)已知矩形的面积为20 cm2，设该矩形一边长为y cm，另一边的长为x cm，则y与x之间的函数图象大致是 ( )
解析 ∵矩形的面积＝长×宽
∴xy＝20
y＝
又∵这是一个实际问题，
∴函数图象只能在第一象限，
故选B.
答案 B
7．(2012·广东一模)双曲线y＝的图象经过第二、四象限，则k的取值范围是________．
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解析 因反比例函数的图象经过第二、四象限，所以2k－1＜0，即k＜.故答案是k＜.
答案 k＜
8．(2012·广东深圳)如下图，双曲线y＝(k＞0)与⊙O在第一象限内交于P、Q 两点，分别过P、Q两点向x轴和y轴作垂线，已知点P坐标为(1，3)，则图中阴影部分的面积为________．
解析 如图，分别过点P、Q两点向x轴和y轴作垂 线，垂足分别是A 、B、C 、D，PA和QD相交于点E，因点P坐标为(1，3)，由k的几何意义知：矩形PAOB和矩形QCOD的面积均是3，又图形的对称性可得点Q的坐标为(3，1)，所以四边形OAED是正方形且面积是1，故阴影部分的面积是3＋3－1－1＝4.
答案 4
9．(2012·宁波)如图，已知一次函数与反比例函数的图象交于点A(－4，－2)和B(a，4)．
(1)求反比例函数的解析式和点B的坐标；
(2)根据图象回答，当x在什么范围内时，一次函数的值大于反比例函数的值？
解 (1)设反比例函数解析式为y＝，
∵反比例函数图象经过点A(－4，－2)，
∴－2＝，∴k＝8.
∴反比例函数解析式是y＝.
∵B(a，4)在y＝的图象上，
∴4＝，∴a＝2，
∴B(2，4)
(2)由(1)知A(－4，－2)，B(2，4)，
∴当x＞2或－4＜x＜0时，
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一次函数的值大于反比例函数的值．
10．(2012·舟山)如图，一次函数y1＝kx＋b的图象与反比例函数y2＝的图象相交于点A(2，3)和点B，与x轴相交于点C(8，0)．
(1)求这两个函数的解析式；
(2)当x取何值时，y1＞y2.
解 (1)把A(2，3)代入y2＝，得m＝6.
把A(2，3)，C(8，0)代入y1＝kx＋b，
得
解得
∴这两个函数的解析式为y1＝－x＋4，y2＝.
(2)由题意得
解得
∴当x＜0或2＜x＜6时，y1＞y2.
11．(2012·广元)某乡要在生活垃圾存放区建一个老年活动中心，这样必须把1 200 m3的生活垃圾运走．
(1)假如每天能运x m3，所需时间为y天，写出y与x之间的函数关系式；
(2)若每辆拖拉机一天能运12 m3，则5辆这样的拖拉机要多少天才能运完？
(3)在(2)的情况下，运了8天后，剩下的任务要在不超过6天的时间完成，那么至少需要增加多少辆这样的拖拉机才能按时完成任务？
解 (1)每天运量x m3时，需时间y＝天；
(2)5辆拖拉机每天能运5×12 m3＝60 m3，则y＝1 200÷60＝20，即需要20天运完；
(3)假设需要增加n辆，根据题意：8×60＋6×12(n＋5)≥1 200，n≥5
答 (2)要20天才能完成；(3)至少需要增加5辆．
【能力提升】
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12．如图，正比例函数y1＝k1x和反比例函数y2＝的图象交于A(－1，2)、B(1，－2)两点，若y1＜y2，则x的取值范围是 ( )
A．x＜－1或x＞1 B．x＜－1或0＜x＜1
C．－1＜x＜0或0＜x＜1 D．－1＜x＜0或x＞1
解析 由图象可得，－1＜x＜0或x＞1时，y1＜y2.故选D.
答案 D
13. 某村的粮食总产量为a(a为常数)吨，设该村的人均粮食产量为y吨，人口数为x，则y与x之间的函数关系式的大致图象应为 ( )
解析 因xy＝a，y＝，y与x成反比例，所以选C.
答案 C
14．函数y1＝x(x≥0)，y2＝(x＞0)的图象如图所示，则结论： ①两函数图象的交点A的坐标为(3 ，3 ) ②当x＞3时，y2＞y1 ③当x＝1时，BC ＝8 ④当x逐渐增大时，y1随着x的增大而增大，y2随着x的增大而减小．其中正确结论的序号是________．
解析 ①联立解得，
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∵点A在第一象限，∴两函数图象的交点A的坐标为(3，3)，故本小题正确；
②由图象可知，当x＞3时，y2＜y1，故本小题错误；
③当x＝1时，y1＝1，y2＝＝9，
所以，BC＝9－1＝8，故本小题正确；
④根据图象，当x逐渐增大时，y1随着x的增大而增大，y2随着x的增大而减小，故本小题正确；
综上，正确的结论是①③④，故答案为：①③④.
答案 ①③④
15．(2012·衢州)如图，已知函数y＝2x和函数y＝的图象交于A，B两点，过点A作AE⊥x轴于点E，若△AOE的面积为4，P是坐标平面上的点，且以点B，O，E，P为顶点的四边形是平行四边形，则满足条件的P点坐标是________．
解析 ∵△AOE的面积为4，
∴OE·AE＝4，OE·AE＝8，
∴k＝xy＝OE·AE＝8，
∴y＝，
解得，
∴A(2，4)，B(－2，－4)．
∵以点B，O，E，P为顶点的四边形是平行四边形，
∴若以BE为平行四边形对角线，P(0，－4)，
若以OB为平行四边形对角线，P(－4，－4)，
若以OE为平行四边形对角线，P(4，4)
故填P1(0，－4)，P2(－4，－4)，P3(4，4)．
答案 P1(0，－4)，P2(－4，－4)，P3(4，4)
16．如图，已知反比例函数y1＝(k1＞0)与一次函数y2＝k2x＋1(k2≠0)相交于A、B两点，AC⊥x轴于点C
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.若△OAC的面积为1，且tan∠AOC＝2.
(1)求出反比例函数与一次函数的解析式；
(2)请直接写出B点的坐标，并指出当x为何值时，反比例函数y1的值大于一次函数y2的值？
解 (1)在Rt△OAC中，设OC＝m.
∵tan∠AOC＝＝2，∴AC＝2×OC＝2m.
∵S△OAC＝×OC×AC＝×m×2m＝1，
∴m2＝1，∴m＝1(m＝－1舍去)．
∴A点的坐标为(1，2)．
把A点的坐标代入y1＝中，得k1＝2.
∴反比例函数的表达式为y1＝.
把A点的坐标代入y2＝k2x＋1中，得
k2＋1＝2，∴k2＝1.
∴一次函数的表达式y2＝x＋1.
(2)B点的坐标为(－2，－1)．
当0＜x＜1或x＜－2时，y1＞y2.
17．(2012·义乌)如图，矩形OABC的顶点A，C分别在x，y轴的正半轴上，点D为对角线OB的中点，点E(4，n)在边AB上，反比例函数y＝(k≠0)在第一象限内的图象经过点D，E，且tan∠BOA＝.
(1)求边AB的长；
(2)求反比例函数的解析式和n的值；
(3)若反比例函数的图象与矩形的边BC交于点F，将矩形折叠，使点O与点F重合，折痕分别与x，y轴正半轴交于点H，G，求线段OG的长．
解 (1)在Rt△BOA中，∵OA＝4，tan∠BOA＝，
∴AB＝OA×tan∠BOA＝2.
(2)∵点D为OB的中点，点B(4，2)，∴点D(2，1)，
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又∵点D在y＝的图象上，∴1＝，
∴k＝2，∴y＝.
又∵点E在y＝图象上，
∴4n＝2，∴n＝.
(3)设点F(a，2)，∴2a＝2，∴CF＝a＝1，
连接FG，设OG＝t，则OG＝FG＝t，CG＝2－t，
在Rt△CGF中，GF2＝CF2＋CG2，
∴t2＝(2－t)2＋12，
解得t＝，∴OG＝t＝.
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