浙江省永嘉县桥下镇瓯渠中学2014届九年级数学总复习《第二十五讲 多边形与平行四边形》课件.ppt

第二十五讲 多边形与平行四边形 课 前 必 读 考纲要求 1. 了解正多边形的概念； 2. 了解多边形的内角和与外角和公式，并会运用公式进行相关的计算； 3. 会运用三角形、四边形、正六边形这几种图形进行简单的镶嵌； 4. 掌握平行四边形的性质及有关性质； 5. 掌握平行四边形的判定 . 学.科.网 考情分析 近三 年浙 江省 中考 情况 年份 考查点 题型 难易度 2010 年 多边形的内角和与外角 (3 分 ) 填空题 容易 2011 年 平行四边形的性质与判定 (8 分 ) 解答题 中等 2012 年 平行四边形的性质 (3 分 ) 选择题 容易 网 络 构 建 学习多边形 转化是关键 结论应牢记 学习平行四边形 围绕边、角、线来记忆 区分性质和判定 学.科.网 考 点 梳 理 1 ． 多边形的对角线 ：连接多边形 _______ 两顶点的线段． 2 ． n 边形的内角和是 __________________ ，外角和是 _______ ． 3 ． 正多边形 ： _____ 相等， _____ 也相等的多边形． 4 ．能单独镶嵌平面的正多边形只有 ___ 种，即 _________ 、 _______ 、 _________ ． 学.科.网 多边形的内角和与外角和及镶嵌 不相邻 ( n － 2)×180 ° ( n ≥ 3) 360 ° 各边 各角 正三角形 正方形 正六边形 3 名师助学 解决 n 边形的问题，往往连接其对角线转化成三角形的相关知识来解决． 学.科.网 1 ．定义 ：两组对边 _________ 的四边形． 2 ． 性质 ： (1) 平行四边形的两组对边 _________ ． (2) 平行四边形的对角 ______ ． (3) 平行四边形的 _______ 互相平分． (4) 夹在两条平行线间的 _________ 相等． (5) 平行四边形是 _________ 图形． 平行四边形的定义、性质与判定 分别平行 分别相等 相等 对角线 平行线段 中心对称 3 ． 判定 ： (1) 一组对边 ___________ 的四边形是平行四边形． (2) 两组对边 _________ 的四边形是平行四边形． (3) 对角线 _________ 的四边形是平行四边形． (4) 两组对边分别平行的四边形是平行四边形． (5) 两组对角分别相行的四边形是平行四边形． 平行且相等 分别相等 互相平分 1 ． 三角形的中位线 ：连接三角形 _________ 的线段． 2 ． 三角形的中位线定理 ：三角形的中位线 _______ 第三边，并且等于第三边的 ______ ． 3 ．两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的 _____ ，而第一个命题的结论是第二个命题的 _____ ，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的 _______ ． 三角形的中位线定理、逆命题和逆定理 两边中点 平行于 一半 条件 逆命题 结论 每个命题都有它的 _______ ，但每个真命题的逆命题不一定是 _______ ． 如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么就叫它是原定理的 _______ ，这两个定理叫做 _________ ． 4 ．对称中心平分连接两个 _______ 的线段．在直角坐标系中，点 ( x ， y ) 与点 ___________ 关于原点对称． 逆命题 真命题 逆定理 互逆定理 对称点 ( － x ，－ y ) 名师助学 已知线段的中点时，常考虑三角形的中位线性质定理，确定线段间的位置关系和数量关系；有时也利用三角形的中位线性质判定四边形的形状或其它几何图形的形状． 对 接 中 考 常考角度 1 ．根据多边形的内角和与外角和公式进行相关的计算； 2 ．会进行镶嵌的判断． 对接点一：多边形的内角和、外角和及镶嵌 【 例题 1 】 (2012· 济宁 ) 有四张形状、大小和质地相同的卡片 A 、 B 、 C 、 D ，正面分别写有一个正多边形 ( 所有正多边形的边长相等 ) ，把四张卡片洗匀后正面朝下放在桌面上，从中随机抽取一张 ( 不放回 ) ，接着再随机抽取一张． (1) 请你用画树形图或列表的方法列举出可能出现的所有结果； (2) 如果在 (1) 中各种结果被选中的可能性相同，求两次抽取的正多边形能构成平面镶嵌的概率； (3) 若两种正多边形构成平面镶嵌， p 、 q 表示这两种正多边形的个数， x 、 y 表示对应正多边形的每个内角的度数，则有方程 px ＋ qy ＝ 360 ，求每种平面镶嵌中 p 、 q 的值． 分析 　 (1) 列出图表即可得到所有的可能情况； (2) 根据平面镶嵌的含义，能构成平面镶嵌的多边形有正三角形与正方形，正三角形与正六边形，然后根据概率公式列式计算即可得解； (3) 对两种平面镶嵌的情况，根据方程代入数据整理，再根据 p 、 q 都是整数解答． 解 　 (1) 所有出现的结果共有如下 12 种 (3) 当正三角形和正方形构成平面镶嵌时， 则有 60 p ＋ 90 q ＝ 360 ，即 2 p ＋ 3 q ＝ 12. 因为 p 、 q 是正整数， 所以 p ＝ 3 ， q ＝ 2 ， 当正三角形和六边形构成平面镶嵌时， 则有 60 p ＋ 120 q ＝ 360 ，即 p ＋ 2 q ＝ 6. 因为 p 、 q 是正整数， 所以 p ＝ 4 ， q ＝ 1 或 p ＝ 2 ， q ＝ 2. 1. 求概率时为了不重不漏，通常用列表法或树状图法； 2 ．概率＝所求情况数与情况总数之比； 3 ．平面镶嵌的条件：各个顶点处内角之和恰好为 360 ° . 【 预测 1 】 现有边长相同的正三角形、正方形和正六边形纸片若干张，下列拼法中不能嵌成一个平面图案的是 ( 　　 ) A ．正方形和正六边形 B ．正三角形和正方形 C ．正三角形和正六边形 D ．正三角形、正方形和正六边形 答案 　 A 【 预测 2 】 一个正多边形，它的每一个外角都是 45 °，则该正多边形是 ( 　　 ) A ．正六边形 B ．正七边形 C ．正八边形 D ．正九边形 解析 　 360 °÷ 45 ＝ 8 ，所以这个正多边形是正八边形． 答案　 C 常考角度 1 ．借助平行四边形的性质定理解决线段相等、角相等和求值等问题； 2 ．平行四边形的判定常与三角形全等、轴对称图形等几何图形联系在一起考查． 对接点二：平行四边形的性质和判定 【 例题 2 】 (2012· 湖州 ) 已知：如图，在▱ ABCD 中，点 F 在 AB 的延长线上，且 BF ＝ AB ，连接 FD ，交 BC 于点 E . (1) 说明 △ DCE ≌△ FBE 的理由； (2) 若 EC ＝ 3 ，求 AD 的长． 分析 　 (1) 由四边形 ABCD 是平行四边形，根据平行四边形的对边平行且相等，即可得 AB ＝ DC ， AB ∥ DC ，继而可求得 ∠ CDE ＝ ∠ F ，又由 BF ＝ AB ，即可利用 AAS ，判定 △ DCE ≌△ FBE ； (2) 由 (1) ，可得 BE ＝ EC ，即可求得 BC 的长，又由平行四边形的对边相等，即可求得 AD 的长． 解 　 (1)∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AB ＝ DC ， AB ∥ DC ， ∴∠ CDE ＝ ∠ F ， 又 ∵ BF ＝ AB ， ∴ DC ＝ FB ， (2)∵△ DCE ≌△ FBE ， ∴ EB ＝ EC ， ∵ EC ＝ 3 ， ∴ BC ＝ 2 EB ＝ 6 ， ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AD ＝ BC ， ∴ AD ＝ 6. 1. 证明三角形全等的常用方法： SAS 、 ASA 、 AAS 、 SSS ； 2 ．条件中的四边形 ABCD 是平行四边形，应联想到平行四边形的性质． 【 预测 3 】 如图，▱ ABCD 中， AB ＝ 5 ， AD ＝ 8 ， ∠ A ， ∠ D 的平分线分别交 BC 于 E ， F ，则 EF ＝ ________ ． 解析　 ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AB ＝ CD ＝ 5 ， AD ＝ BC ＝ 8 ， ∵ AD ∥ BC ， ∴∠ DAE ＝ ∠ AEB ， ∵ AE 平分 ∠ BAD ， ∴∠ BAE ＝ ∠ DAE ， ∴∠ BAE ＝ ∠ BEA ， ∴ BA ＝ BE ＝ 5 ， 又 ∵ BC ＝ 8 ， ∴ EC ＝ 3 ， 同理 BF ＝ 3 ， ∴ EF ＝ BC － BF － CE ＝ 2. 答案 　 2 【 预测 4 】 如图，在▱ ABCD 中，点 E ， F 是对角线 AC 上的两点，且 AE ＝ CF . 求证： ∠ EBF ＝ ∠ FDE . 证明 　连结 BD 交 AC 于 O 点． ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ OA ＝ OC ， OB ＝ OD . 又 ∵ AE ＝ CF ， ∴ OA － AE ＝ OC － CF ， ∴ OE ＝ OF ， ∴四边形 BEDF 是平行四边形， ∴∠ EBF ＝ ∠ FDE . 常考角度 1 ．根据三角形中位线定理，证明有关线段平行及等量关系的问题； 2 ．判断命题和逆命题的真假性． 对接点三：三角形的中位线、逆命题和逆定理 【 例题 3 】 (2012· 湖州 )△ ABC 中的三条中位线围成的 三角形周长是 15 cm ，则 △ ABC 的周长为 ( 　　 ) A ． 60 cm B ． 45 cm 分析　 根据三角形的中位线平行且等于第三边的一半，又相似三角形周长的比等于相似比，问题可求． 答案 　 C 1. 三角形的中位线平行于三角形的第三边，因此得到的两个三角形相似； 2 ．相似三角形的周长比，高、中线的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方． 【 预测 5 】 如图，在四边形 ABCD 中，点 P 是对角线 BD 的中点，点 E 、 F 分别是 AB 、 CD 的中点， AD ＝ BC ， ∠ PEF ＝ 30 °，则 ∠ PFE 的度数是 ( 　　 ) A ． 15 ° B ． 20 ° C ． 25 ° D ． 30 ° 答案　 D 【 预测 6 】 下列命题： ① 方程 x 2 ＝ x 的解是 1 ； ②4 的平方根是 2 ； ③ 有两边和一角对应相等的两个三角形全等； ④ 连接任意四边形各边中点的四边形是平行四边形，其中正确的个数有 ( 　　 ) A ． 4 个 B ． 3 个 C ． 2 个 D ． 1 个 解析 　 ① 方程 x 2 ＝ x 的解是 x 1 ＝ 0 ， x 2 ＝ 1 ，故错误； ②4 的平方根是 ±2 ，故错误； ③ 有两边和夹角相等的两个三角形不一定全等，故错误； ④ 连接任意四边形各边中点的四边形是平行四边形，正确．故正确的个数有 1 个． 答案 　 D 易 错 防 范 问题 1 . 将平行四边形的判定方法与性质相混淆； 问题 2. 未能准确把握图形特征，错用某种性质； 问题 3. 在平行四边形的问题中，经常会利用讨论的 思想，学生往往忽略或讨论不全面． 平行四边形中常见错误 【 例题 4 】 (2012· 广元 ) 若以 A ( － 0.5 ， 0) 、 B (2 ， 0) 、 C (0 ， 1) 三点为顶点画平行四边形，则第四个顶点不可能在 ( 　　 ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 [ 错解 ] 　选项为 A 、 B 、 D 中的一项． [ 错因分析 ] 　学生做题时未以每条边为对角线分别作平行四边形，出现了遗漏，凭主观感觉进行了选择． [ 正解 ] 　根据题意画出图形，如图所示： 分三种情况： ① 以 CB 为对角线作▱ ABD 1 C ，此时第四个顶点 D 1 ，落在第一象限； ② 以 AC 为对角线作▱ ABCD 2 ，此时第四个顶点 D 2 落在第二象限； ③ 以 AB 为对角线作▱ ACBD 3 ，此时第四个顶点 D 3 落在第四象限，则第四个顶点不可能落在第三象限，所以选 C.   1. 熟记平行四边形的性质； 2 ．应以 △ ABC 的每条边为对角线分别作平行四边形． 课 时 跟 踪 检 测 点击链接