圆心角与圆周角的关系(1).ppt

第三节 圆周角和圆心角的关系(一) 第三章 圆 http:// www.bnup.com.cn 回顾与思考 如图 1 ,∠AOB 是 角。 O A B 如图 2 , AB=CD , 则∠ AOB 与∠ COD 的大小关系是： 。 B A O C D 圆心 相等 http:// www.bnup.com.cn 用心想一想，马到功成 在射门游戏中，球员射中球门的难易与他所处的位置 B 对球门 AC 的张角（∠ ABC ） 有关。 http:// www.bnup.com.cn 用心想一想，马到功成 如图，当他站在 B ， D ， E 的位置射球时 , 对球门 AC 的张角的大小相等吗？ 你能观察到这三个角有什么共同特征吗 ? http:// www.bnup.com.cn 用心想一想，马到功成 为解决这个问题我们先来研究一种角。 观察图中的∠ ABC ， 顶点在什么位置？角的两边有什么特点？ A B C http:// www.bnup.com.cn 用心想一想，马到功成 观察图中的∠ ABC ， 可以发现，它的顶点在圆上，它的两边分别与圆还有另一个交点。像这样的角，叫做圆周角。 A B C 请 同学们考虑两个问题： （ 1 ）顶点在圆上的角是圆周角吗？ （ 2 ）角的两边都和圆相交的角是圆周角吗？ 为 解决这个问题，我们先回答下面的问题。 http:// www.bnup.com.cn 下列各图形中的角是不是圆周角？请说明理由。 A B C D E 由 圆周角的定义可知，只有 C 是圆周角，其它都不是。 你能 总结出圆周角的特征吗？ 圆周角有两个特征： ①角的顶点在圆上； ②两边在圆内的部分是圆的两条弦。 http:// www.bnup.com.cn 用心想一想，马到功成 我们再来研究圆周角的性质。 为了解决这个问题，我们先研究一条弧所对的圆周角与它所对的圆心角之间的关系。 请 同学们在圆上确定一条劣弧，画出它所对的圆心角与圆周角。 A C http:// www.bnup.com.cn 用心想一想，马到功成 归纳同学们的意见我们得到以下几种情况。 ①∠ ABC 的一边 BC 经过圆心 O 。 ②∠ ABC 的两边都不经过圆心 O 。 ③∠ ABC 的两边都不经过圆心 O 。 请问∠ ABC 与∠ AOC 它们的大小有什么关系？说说你的想法，并与同伴进行交流。 B A O C ① A B C O ② B A C O ③ http:// www.bnup.com.cn 下面我们首先考虑同学们列举的一种特殊情况，即∠ ABC 的一边 BC 经过圆心 O 。 B A O C ∵ ∠ AOC 是△ ABO 的外角， ∴ ∠ AOC=∠ABO+∠BAO 。 ∵ OA=OB ， ∴ ∠ ABO=∠BAO 。 ∴ ∠ AOC=2∠ABO ， ∴ ∠ABC= ∠AOC。 1 2 如图 , 我们可以观察到∠ AOC 是△ ABO 的外角，∠ ABC 是△ ABO 的一个内角，它们两者存在一定关系 . http:// www.bnup.com.cn 下面我们首先考虑同学们列举的一种特殊情况，即∠ ABC 的一边 BC 经过圆心 O 。 B A O C ∵ ∠ AOC 是△ ABO 的外角， ∴ ∠ AOC=∠ABO+∠BAO 。 ∵ OA=OB ， ∴ ∠ ABO=∠BAO 。 ∴ ∠ AOC=2∠ABO ， ∴ ∠ABC= ∠AOC。 1 2 那么当∠ ABC 的两边都不经过圆心 O 时，∠ ABC 与∠ AOC 又有怎样的大小关系呢？ A B C O B A C O http:// www.bnup.com.cn 我们可以考虑把这两种情况分别转化成刚才的特殊情形来考虑。 A B C O 也就是借用直径，连接 BO 并延长，与圆相交于点 D 。 D （ 此时我们得到与图①同样的情形） 1 3 2 B A O C ① ∵ ∠ 1 是△ ABO 的外角， ∴ ∠ 1=∠2+∠3 。 ∵ OA=OB ， ∴ ∠ 2=∠3 。 ∴ ∠ 1=2∠2 ， ∴ ∠ 2= ∠1 。 1 2 5 4 1 2 同理 , ∠4= ∠5 。 1 2 ∴ ∠ 2+∠4= （ ∠ 1+∠5 ） 。 ∴ ∠ ABC= ∠AOC 。 1 2 http:// www.bnup.com.cn B A C O B A O C ① 如图，连接 BO 并延长，与圆相交于点 D 。（ 此时我们得到与图①同样的情形） D ∵ ∠ AOD 是△ ABO 的外角， ∴ ∠ AOD=∠A+∠ABO 。 ∵ OA=OB ， ∴ ∠ A=∠ABO 。 ∴ ∠ AOD=2∠ABD ， ∴ ∠ ABD= ∠AOD 。 1 2 http:// www.bnup.com.cn B A C O B A O C ① 如图，连接 BO 并延长，与相交于点 D 。（ 此时我们得到与图①同样的情形） D ∵ ∠ AOD 是△ ABO 的外角， ∴ ∠ ABD=∠A+∠ABO 。 ∵ OA=OB ， ∴ ∠ A=∠ABO 。 ∴ ∠ AOD=2∠ABD ， ∴ ∠ ABD= ∠AOD 。 1 2 同理 , ∠CBD= ∠COD 。 1 2 http:// www.bnup.com.cn B A C O B A O C ① 如图，连接 BO 并延长，与相交于点 D 。（ 此时我们得到与图①同样的情形） D ∵ ∠ AOD 是△ ABO 的外角， ∴ ∠ ABD=∠A+∠ABO 。 ∵ OA=OB ， ∴ ∠ A=∠ABO 。 ∴ ∠ AOD=2∠ABD ， ∴ ∠ ABD= ∠AOD 。 1 2 同理 , ∠CBD= ∠COD 。 1 2 ∴ ∠ ABD －∠ CBD= ∠AOD － ∠ COD = （∠ AOD －∠ COD ）。 ∴ ∠ ABC= ∠AOC 1 2 1 2 1 2 1 2 http:// www.bnup.com.cn 认真观察，探求结果 通过对三种情形的证明，同学们再认真观察图形，你会得到什么结果？ B A O C A B C O B A C O 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的 。 一半 http:// www.bnup.com.cn A O C B 一题多变 如图，在⊙ O 中，∠ BOC=50 ° ， 则∠ BAC= 。 点拨： 此题要选择关键点： ∠ BOC 与∠ BAC 对着 BC ，因此 ∠ BOC 等于∠ BAC 的 2 倍。 25 ° http:// www.bnup.com.cn A O C B 一题多变 如图，在⊙ O 中，∠ BOC=50 ° ， 则∠ BAC= 。 变化题 2 ：如图，∠ BAC=40 ° ，则∠ OBC= 。 A B C O 变化题 1 ：如图，点 A ， B ， C 是⊙ O 上的三点， ∠ BAC=40 ° ，则∠ BOC= 。 25 ° 50 ° 80 ° 由∠ BAC=40 ° 可得∠ BOC=80 ° ，再由△ BOC 是等腰三角形可求得∠ OBC 。 http:// www.bnup.com.cn 开拓创新 试一试 如图， OA ， OB ， OC 都是⊙ O 的半径， ∠ AOB=2 ∠ BOC ， ∠ ACB 与 ∠ BAC 的大小有什么关系？为什么？ A B C O 请同学们认真观察∠ AOB 与∠ ACB ，∠ BOC 与∠ BAC 的关系。 答：∠ ACB=2∠BAC. 理由是 : ∵∠AOB=2∠ACB ∠BOC=2∠BAC ∠AOB=2∠BOC ∴2∠ACB =2 （ 2∠BAC ） ∴∠ ACB=2∠BAC http:// www.bnup.com.cn 大胆尝试，练一练！ A B C D O 如 图， A ， B ， C ， D 是⊙ O 上的四点，且 ∠ BCD=100 ° ， 求 ∠ BOD （ BCD 所对的圆心角）和∠ BAD 的大小。 由∠ BCD=100 ° ，我们可求出对应的圆心角∠ 1 是 200 ° ，则∠ BOD 就可求。 解：∵∠ BCD=100 ° ∴∠1=200 ° ∴∠BOD=360 ° － 200 ° =160 ° 1 http:// www.bnup.com.cn 大胆尝试，练一练！ A B C D O 如 图， A ， B ， C ， D 是⊙ O 上的四点，且 ∠ BCD=100 ° ， 求 ∠ BOD （ BCD 所对的圆心角）和∠ BAD 的大小。 解：∵∠ BCD=100 ° ∴∠1=200 ° ∴∠BOD=360 ° － 200 ° =160 ° 1 观察∠ BOD 与∠ BAD 的关系就可以求∠ BAD 的大小。 ∴∠ BAD= ∠ BOD= × 160 ° =80 ° 1 2 1 2 http:// www.bnup.com.cn 课内拓展延伸 1. 到目前为止 , 我们学习到和圆有关的角有几个 ? 它们各有什么特点 ? 相互之间有什么关系 ? 答 : 和圆有关的角有圆心角和圆周角 . 圆心角顶点在圆心 ; 圆周角顶点在圆上，角的两边和圆相交。一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 2. 课后思考 如图，当他站在 B ， D ， E 的位置射球时对球门 AC 的张角的大小相等吗？为什么？ http:// www.bnup.com.cn 谢谢合作! http:// www.bnup.com.cn