（江苏专用）2015高考数学 数学思想方法篇 专题3 关于分类讨论的再研究.doc

‎2015高考数学专题3关于分类讨论的再研究 ‎ [方法精要]　在解某些数学问题时，我们常常会遇到这样一种情况；解到某一步之后，发现问题的发展是按照不同的方向进行的．当被研究的问题包含了多种情况时，就必须抓住主导问题发展方向的主要因素，在其变化范围内，根据问题的不同发展方向，划分为若干部分分别研究．其研究的基本方向是“分”，但分类解决问题之后，还必须把它们整合在一起，这种“合—分—合”的解决问题的思想，就是分类讨论法．分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法．有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性，所以在高考试题中占有重要的位置．‎ ‎1．中学数学中可能引起分类讨论的因素：‎ ‎(1)由数学概念而引起的分类讨论：如绝对值的定义、不等式的定义、二次函数的定义、直线的倾斜角．‎ ‎(2)由数学运算要求而引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负数，对数运算中真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式中两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域，等比数列{an}的前n项和公式等．‎ ‎(3)由性质、定理、公式的限制而引起的分类讨论：如函数的单调性、基本不等式等．‎ ‎(4)由图形的不确定性而引起的分类讨论：如二次函数图象、指数函数图象、对数函数图象等．‎ ‎(5)由参数的变化而引起的分类讨论：如某些含有参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得的结果不同，或者由于对不同的参数值要运用不同的求解或证明方法等．‎ ‎2．进行分类讨论要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论．其中最重要的一条是“不重不漏”．‎ ‎3．解答分类讨论问题时的基本方法和步骤是：首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围；其次确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不重不漏、分类互斥(没有重复)；再对所分类逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果；最后进行归纳小结，综合得出结论．‎ 题型一　分类讨论在概念、计算中的应用 例1　设集合A＝{x∈R|x2＋4x＝0}，B＝{x∈R|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，a∈R}，若B⊆A，求实数a的值．‎ 破题切入点　B⊆A可分B＝∅，BA，B＝A三种情况，所以此题需分类并结合一元二次方程根的情况加以研究．‎ 解　∵A＝{0，－4}，B⊆A，于是可分为以下几种情况．‎ ‎(1)当A＝B时，B＝{0，－4}，‎ ‎∴由根与系数的关系，得解得a＝1.‎ ‎(2)当BA时，又可分为两种情况．‎ ‎①当B≠∅时，即B＝{0}或B＝{－4}，‎ 当x＝0时，有a＝±1；‎ 当x＝－4时，有a＝7或a＝1.‎ 又由Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＝0，‎ - 7 -‎ 解得a＝－1，此时B＝{0}满足条件；‎ ‎②当B＝∅时，Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)PF2，∴PF1＝4，PF2＝2，‎ ‎∴＝2.综上知，＝或2.‎ 题型四　分类讨论在数列求和中的应用 例4　已知等差数列{an}的前3项和为6，前8项和为－4.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)设bn＝(4－an)qn－1 (q≠0，n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Sn.‎ 破题切入点　在解决等比数列求和问题时，要按公比q是否为1进行讨论．‎ 解　(1)设数列{an}的公差为d，‎ - 7 -‎ 由已知，得解得 故an＝3－(n－1)＝4－n.‎ ‎(2)由(1)可得bn＝n·qn－1，‎ 于是Sn＝1·q0＋2·q1＋3·q2＋…＋n·qn－1.‎ 若q≠1，将上式两边同时乘以q，得 qSn＝1·q1＋2·q2＋…＋(n－1)·qn－1＋n·qn.‎ 两式相减，得(q－1)Sn＝nqn－1－q1－q2－…－qn－1‎ ‎＝nqn－＝.‎ 于是，Sn＝.‎ 若q＝1，则Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝.‎ 综上，Sn＝ 总结提高　分类讨论思想的应用必须以分类与整合思想作指导．在考虑对解决的问题进行分类时，通常要注意如下几点：①有些概念就是分类定义的，如绝对值的概念等．②有的运算法则和定理、公式是分类给出的，例如等比数列的求和公式就分为q＝1和q≠1两种情况；指数、对数函数的单调性就分为a>1,02的解集为________．‎ 答案　(1,2)∪(，＋∞)‎ 解析　要求出满足题意的不等式的解集，‎ 需有或 分别解这两个不等式组，得10)的焦点为F，P为其上的一点，O为坐标原点，若△OPF为等腰三角形，则这样的点P的个数为________．‎ 答案　4‎ - 7 -‎ 解析　当PO＝PF时，点P在线段OF的中垂线上，此时，点P的位置有两个；当OP＝OF时，点P的位置也有两个；对FO＝FP的情形，点P不存在．事实上，F(p,0)，若设P(x，y)，则FO＝p，FP＝，若＝p，则有x2－2px＋y2＝0，又∵y2＝4px，∴x2＋2px＝0，解得x＝0或x＝－2p，当x＝0时，不构成三角形．当x＝－2p(p>0)时，与点P在抛物线上矛盾．所以符合要求的点P一共有4个．‎ ‎8.在等比数列{an}中，已知a3＝，S3＝，则a1＝________.‎ 答案　或6‎ 解析　当q＝1时，a1＝a2＝a3＝，‎ S3＝‎3a1＝，显然成立；‎ 当q≠1时，‎ 由题意，得 所以 由①②，得＝3，‎ 即2q2－q－1＝0，‎ 所以q＝－或q＝1(舍去)．‎ 当q＝－时，a1＝＝6.‎ 综上可知，a1＝或a1＝6.‎ ‎9．已知函数f(x)＝ax3－3x＋1对于x∈[－1,1]总有f(x)≥0成立，则a＝________.‎ 答案　4‎ 解析　若x＝0，则不论a取何值，f(x)≥0显然成立；‎ 当x>0即x∈(0,1]时，f(x)＝ax3－3x＋1≥0可化为 a≥－.‎ 设g(x)＝－，则g′(x)＝，所以g(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减，‎ 因此g(x)max＝g＝4，从而a≥4；‎ 当x0，g(x)在区间[－1,0)上单调递增，‎ 因此g(x)min＝g(－1)＝4，从而a≤4.综上知a＝4.‎ ‎10．(2014·苏州模拟)已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M.‎ - 7 -‎ ‎(1)求抛物线的方程；‎ ‎(2)以M为圆心，MB为半径作圆M，当K(m,0)是x轴上一动点时，讨论直线AK与圆M的位置关系．‎ 解　(1)抛物线y2＝2px的准线为x＝－，‎ 由题意得4＋＝5，所以p＝2，‎ 所以抛物线的方程为y2＝4x.‎ ‎(2)由题意知，圆M的圆心为点(0,2)，半径为2.‎ 当m＝4时，直线AK的方程为x＝4，‎ 此时，直线AK与圆M相离；‎ 当m≠4时，由(1)知A(4,4)，‎ 则直线AK的方程为y＝(x－m)，‎ 即4x－(4－m)y－‎4m＝0，‎ 圆心M(0,2)到直线AK的距离 d＝，‎ 令d>2，解得m>1.‎ 所以，当m>1时，直线AK与圆M相离；‎ 当m＝1时，直线AK与圆M相切；‎ 当m2矛盾；‎ - 7 -‎ 当－1≤≤1，即－2≤a≤2时，‎ f(a)＝－－‎2a－1＝，‎ 即a2＋‎4a＋3＝0，解得a＝－1或a＝－3，‎ 因为－2≤a≤2，所以a＝－1.‎ 所以y＝2t2＋2t＋1，t∈[－1,1]，所以当t＝1时，‎ 函数取得最大值ymax＝2＋2＋1＝5.‎ ‎12．已知a是实数，函数f(x)＝(x－a)．‎ ‎(1)求函数f(x)的单调区间；‎ ‎(2)设g(a)为f(x)在区间[0,2]上的最小值．‎ ‎①写出g(a)的表达式；‎ ‎②求a的取值范围，使得－6≤g(a)≤－2.‎ 解　(1)函数的定义域为[0，＋∞)，‎ f′(x)＝＋＝(x>0)．‎ 若a≤0，则f′(x)>0，f(x)有单调递增区间[0，＋∞)．‎ 若a>0，令f′(x)＝0，得x＝，‎ 当0