（江苏专用）2015高考数学 压轴大题突破练 立体几何.doc

‎2015高考数学压轴题训练立体几何 ‎1．如图所示，已知三棱锥A－BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M为AB的中点，D为PB的中点，且△PMB为正三角形．‎ ‎(1)求证：DM∥平面APC；‎ ‎(2)求证：平面ABC⊥平面APC；‎ ‎(3)若BC＝4，AB＝20，求三棱锥D－BCM的体积．‎ ‎(1)证明　由已知，得MD是△ABP的中位线，‎ 所以MD∥AP.‎ 又MD⊄平面APC，AP⊂平面APC，‎ 故MD∥平面APC.‎ ‎(2)证明　因为△PMB为正三角形，D为PB的中点，‎ 所以MD⊥PB.所以AP⊥PB.‎ 又AP⊥PC，PB∩PC＝P，所以AP⊥平面PBC.‎ 因为BC⊂平面PBC，所以AP⊥BC.‎ 又BC⊥AC，AC∩AP＝A，所以BC⊥平面APC.‎ 因为BC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面APC.‎ ‎(3)解　由(2)知，可知MD⊥平面PBC，‎ 所以MD是三棱锥D－BCM的一条高，‎ 又AB＝20，BC＝4，△PMB为正三角形，‎ M，D分别为AB，PB的中点，‎ 经计算可得MD＝5，DC＝5，‎ S△BCD＝×BC×BD×sin∠CBD ‎＝×5×4×＝2.‎ 所以VD－BCM＝VM－DBC＝×S△BCD×MD ‎＝×2×5＝10.‎ ‎2．如图，在Rt△ABC中，AB＝BC＝4，点E在线段AB上．过点E作EF∥BC交AC于点F，将△AEF沿EF折起到△PEF的位置(点A与P重合)，使得∠PEB＝30°.‎ ‎(1)求证：EF⊥PB；‎ ‎(2)试问：当点E在何处时，四棱锥P—EFCB的侧面PEB的面积最大？并求此时四棱锥P—EFCB的体积．‎ - 5 -‎ ‎(1)证明　∵EF∥BC且BC⊥AB，‎ ‎∴EF⊥AB，即EF⊥BE，EF⊥PE.又BE∩PE＝E，‎ ‎∴EF⊥平面PBE，又PB⊂平面PBE，‎ ‎∴EF⊥PB.‎ ‎(2)解　设BE＝x，PE＝y，则x＋y＝4.‎ ‎∴S△PEB＝BE·PE·sin∠PEB ‎＝xy≤2＝1.‎ 当且仅当x＝y＝2时，S△PEB的面积最大．‎ 此时，BE＝PE＝2.‎ 由(1)知EF⊥平面PBE，‎ ‎∴平面PBE⊥平面EFCB，‎ 在平面PBE中，作PO⊥BE于O，则PO⊥平面EFCB.‎ 即PO为四棱锥P—EFCB的高．‎ 又PO＝PE·sin 30°＝2×＝1.‎ S梯形EFCB＝×(2＋4)×2＝6.‎ ‎∴VP—BCFE＝×6×1＝2.‎ ‎3. 如图，在矩形ABCD中，AB＝2BC，P、Q分别是线段AB、CD的中点，EP⊥平面ABCD.‎ ‎ (1)求证：DP⊥平面EPC；‎ ‎(2)问在EP上是否存在点F，使平面AFD⊥平面BFC？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎(1)证明　‎ - 5 -‎ ‎∵EP⊥平面ABCD，‎ ‎∴EP⊥DP.‎ 又ABCD为矩形，AB＝2BC，P、Q分别为AB、CD的中点，连结PQ，‎ 则PQ⊥DC且PQ＝DC.‎ ‎∴DP⊥PC.‎ ‎∵EP∩PC＝P，∴DP⊥平面EPC.‎ ‎(2)解　假设存在F使平面AFD⊥平面BFC，‎ ‎∵AD∥BC，BC⊂平面BFC，AD⊄平面BFC，‎ ‎∴AD∥平面BFC.‎ ‎∴AD平行于平面AFD与平面BFC的交线l.‎ ‎∵EP⊥平面ABCD，‎ ‎∴EP⊥AD，而AD⊥AB，AB∩EP＝P，‎ ‎∴AD⊥平面EAB，∴l⊥平面FAB.‎ ‎∴∠AFB为平面AFD与平面BFC所成二面角的平面角．‎ ‎∵P是AB的中点，且FP⊥AB，‎ ‎∴当∠AFB＝90°时，FP＝AP.‎ ‎∴当FP＝AP，即＝1时，平面AFD⊥平面BFC.‎ ‎4．(2013·课标全国Ⅱ)如图，直三棱柱ABC－A1B‎1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点．‎ ‎(1)证明：BC1∥平面A1CD；‎ ‎(2)设AA1＝AC＝CB＝2，AB＝2，求三棱锥C－A1DE的体积．‎ ‎(1)证明　连结AC1交A‎1C于点F，则F为AC1中点．‎ 又D是AB中点，连结DF，则BC1∥DF.‎ 因为DF⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD，‎ 所以BC1∥平面A1CD.‎ ‎(2)解　因为ABC－A1B‎1C1是直三棱柱，所以AA1⊥CD.‎ 又因为AC＝CB，D为AB的中点，所以CD⊥AB.‎ 又AA1∩AB＝A，于是CD⊥平面ABB‎1A1.‎ 由AA1＝AC＝CB＝2，AB＝2，得∠ACB＝90°，‎ - 5 -‎ CD＝，A1D＝，DE＝，A1E＝3，‎ 故A1D2＋DE2＝A1E2，即DE⊥A1D.‎ 所以VC－A1DE＝×S×CD＝××××＝1.‎ ‎5．(2013·辽宁) 如图，AB是圆O的直径，PA垂直圆O所在的平面，C是圆O上的点．‎ ‎(1)求证：BC⊥平面PAC；‎ ‎(2)设Q为PA的中点，G为△AOC的重心，求证：QG∥平面PBC.‎ 证明　(1)由AB是圆O的直径，得AC⊥BC，‎ 由PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，得PA⊥BC.‎ 又PA∩AC＝A，PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，‎ 所以BC⊥平面PAC.‎ ‎(2)连结OG并延长交AC于M，连结QM，QO，由G为△AOC的重心，得M为AC中点．‎ 由Q为PA中点，得QM∥PC，‎ 又O为AB中点，得OM∥BC.‎ 因为QM∩MO＝M，‎ QM⊂平面QMO，‎ MO⊂平面QMO，BC∩PC＝C，‎ BC⊂平面PBC，PC⊂平面PBC.‎ 所以平面QMO∥平面PBC.‎ 因为QG⊂平面QMO，所以QG∥平面PBC.‎ ‎6．(2014·四川)在如图所示的多面体中，四边形ABB‎1A1和ACC‎1A1都为矩形．‎ ‎(1)若AC⊥BC，证明：直线BC⊥平面ACC‎1A1；‎ ‎(2)设D，E分别是线段BC，CC1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使直线DE∥平面A1MC？请证明你的结论．‎ ‎(1)证明　因为四边形ABB‎1A1和ACC‎1A1都是矩形，‎ 所以AA1⊥AB，AA1⊥AC.‎ 因为AB∩AC＝A，AB⊂平面ABC，AC⊂平面ABC，‎ - 5 -‎ 所以AA1⊥平面ABC.‎ 因为直线BC⊂平面ABC，所以AA1⊥BC.‎ 又由已知，AC⊥BC，AA1∩AC＝A，AA1⊂平面ACC‎1A1，AC⊂平面ACC‎1A1，‎ 所以BC⊥平面ACC‎1A1.‎ ‎(2)解　取线段AB的中点M，连结A‎1M，MC，A‎1C，AC1，设O为A‎1C，AC1的交点．‎ 由题意知，O为AC1的中点．‎ 连结MD，OE，OM，则MD，OE分别为△ABC，△ACC1的中位线，‎ 所以MD綊AC，OE綊AC，‎ 因此MD綊OE.‎ 从而四边形MDEO为平行四边形，则DE∥MO.‎ 因为直线DE⊄平面A1MC，MO⊂平面A1MC，‎ 所以直线DE∥平面A1MC.‎ 即线段AB上存在一点M(线段AB的中点)，使直线DE∥平面A1MC.‎ - 5 -‎