2015高考数学压轴题练习直线与圆
1．已知圆O：x2＋y2＝4和点M(1，a)．
(1)若过点M有且只有一条直线与圆O相切，求实数a的值，并求出切线方程．
(2)若a＝，过点M的圆的两条弦AC，BD互相垂直，求AC＋BD的最大值．
解 (1)由条件知点M在圆O上，
所以1＋a2＝4，则a＝±.
当a＝时，点M为(1，)，kOM＝，k切＝－，
此时切线方程为y－＝－(x－1)．
即x＋y－4＝0，
当a＝－时，点M为(1，－)，kOM＝－，k切＝.
此时切线方程为y＋＝(x－1)．即x－y－4＝0.
所以所求的切线方程为x＋y－4＝0或x－y－4＝0.
(2)设O到直线AC，BD的距离分别为d1，d2(d1，d2≥0)，
则d＋d＝OM2＝3.
又有AC＝2，BD＝2，
所以AC＋BD＝2＋2.
则(AC＋BD)2＝4×(4－d＋4－d＋2·)
＝4×[5＋2]
＝4×(5＋2)．
因为2d1d2≤d＋d＝3，所以dd≤，
当且仅当d1＝d2＝时取等号，所以≤，
所以(AC＋BD)2≤4×(5＋2×)＝40.
所以AC＋BD≤2，
即AC＋BD的最大值为2.
2．已知圆C：(x＋1)2＋y2＝8.
(1)设点Q(x，y)是圆C上一点，求x＋y的取值范围；
(2)在直线x＋y－7＝0上找一点P(m，n)，使得过该点所作圆C的切线段最短．
解 (1)设x＋y＝t，因为Q(x，y)是圆上的任意一点，所以该直线与圆相交或相切，
即≤2，解得－5≤t≤3，
即x＋y的取值范围是[－5,3]．
(2)因为圆心C到直线x＋y－7＝0的距离
d＝＝4>2＝r，
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所以直线与圆相离，因为切线、圆心与切点的连线、切线上的点与圆心的连线，组成一直角三角形且半径为定值；所以只有当过圆心向直线x＋y－7＝0作垂线，过其垂足作的切线段最短，其垂足即为所求．
设过圆心作直线x＋y－7＝0的垂线为x－y＋c＝0.
又因为该线过圆心(－1,0)，
所以－1－0＋c＝0，即c＝1，
而x＋y－7＝0与x－y＋1＝0的交点为(3,4)，
即点P坐标为(3,4)．
3．已知点P(0,5)及圆C：x2＋y2＋4x－12y＋24＝0.
(1)若直线l过点P且被圆C截得的线段长为4，求l的方程；
(2)求过P点的圆C的弦的中点的轨迹方程．
解 (1)如图所示，AB＝4，将圆C方程化为标准方程为(x＋2)2＋(y－6)2＝16，
∴圆C的圆心坐标为(－2,6)，半径r＝4，设D是线段AB的中点，则CD⊥AB，
又AD＝2，AC＝4.
在Rt△ACD中，可得CD＝2.
设所求直线l的斜率为k，则直线l的方程为y－5＝kx，即kx－y＋5＝0.
由点C到直线l的距离公式：＝2，
得k＝.
故直线l的方程为3x－4y＋20＝0.
又直线l的斜率不存在时，也满足题意，此时方程为x＝0.
∴所求直线l的方程为x＝0或3x－4y＋20＝0.
(2)设过P点的圆C的弦的中点为D(x，y)，
则CD⊥PD，即·＝0，
∴(x＋2，y－6)·(x，y－5)＝0，
化简得所求轨迹方程为x2＋y2＋2x－11y＋30＝0.
4．a为何值时，(1)直线l1：x＋2ay－1＝0与直线l2：(3a－1)x－ay－1＝0平行？
(2)直线l3：2x＋ay＝2与直线l4：ax＋2y＝1垂直？
解 (1)①当a＝0时，两直线的斜率不存在，
直线l1：x－1＝0，直线l2：x＋1＝0，此时，l1∥l2.
②当a≠0时，l1：y＝－x＋，
l2：y＝x－，
直线l1的斜率为k1＝－，
直线l2的斜率为k2＝，
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要使两直线平行，必须
解得a＝.
综合①②可得当a＝0或a＝时，两直线平行．
(2)方法一 ①当a＝0时，直线l3的斜率不存在，
直线l3：x－1＝0，直线l4：y－＝0，此时，l3⊥l4.
②当a≠0时，直线l3：y＝－x＋与直线l4：y＝－x＋，直线l3的斜率为k3＝－，直线l4的斜率为k4＝－，要使两直线垂直，必须k3·k4＝－1，
即－·＝－1，不存在实数a使得方程成立．
综合①②可得当a＝0时，两直线垂直．
方法二 要使直线l3：2x＋ay＝2和直线l4：ax＋2y＝1垂直，根据两直线垂直的充要条件，必须A1A2＋B1B2＝0，即2a＋2a＝0，解得a＝0，所以，当a＝0时，两直线垂直．
5．已知圆C的方程为x2＋y2＋ax＋2y＋a2＝0，一定点为A(1,2)，且过定点A(1,2)作圆的切线有两条，求a的取值范围．
解 将圆C的方程配方有(x＋)2＋(y＋1)2＝，
∴>0，①
∴圆心C的坐标为(－，－1)，半径r＝.
当点A在圆外时，过点A可作圆的两条切线，
∴AC>r，
即 >，
化简得a2＋a＋9>0.②
由①②得－
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