（江苏专用）2015高考数学 压轴大题突破练 直线与圆锥曲线（二）.doc

‎2015高考数学压轴大题突破练直线与圆锥曲线2‎ ‎1.如图，已知点A(1，)是离心率为的椭圆C：＋＝1(a>b>0)上的一点，斜率为的直线BD交椭圆C于B、D两点，且A、B、D三点互不重合．‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)△ABD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．‎ ‎(3)求证：直线AB、AD的斜率之和为定值．‎ ‎(1)解　由题意，可得e＝＝，＋＝1，a2＝b2＋c2，‎ 解得a＝2，b＝，c＝，‎ 所以椭圆C的方程＋＝1.‎ ‎(2)解　设直线BD的方程为y＝x＋m，D(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 由得4x2＋2mx＋m2－4＝0，‎ 所以Δ＝－‎8m2‎＋64>0⇒－2b>0)，‎ 则a＝2，c＝，∴a2＝4，c2＝3，b2＝a2－c2＝1，‎ ‎∴曲线C的方程为＋x2＝1.‎ 设l的方程为y＝kx＋，由，消去y得，‎ ‎(k2＋4)x2＋2kx－1＝0，Δ＝(2k)2＋4(k2＋4)>0，‎ 且x1＋x2＝，x1x2＝.‎ ‎∵m⊥n，∴m·n＝0，‎ ‎∴4x1x2＋y1y2＝4x1x2＋(kx1＋)(kx2＋)＝(4＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋3＝(k2＋4)·＋k·＋3＝0，解得k＝±.‎ 即直线l的斜率k的值为±.‎ ‎(2)①当直线AB的斜率不存在时，有x1＝x2，y1＝－y2.‎ 由m·n＝0，得4x21－y21＝0，即y21＝4x21.‎ 又A(x1，y1)在椭圆上，‎ ‎∴＋x＝1，‎ ‎∴|x1|＝，|y1|＝.‎ ‎∴S△OAB＝|x1|·|y1－y2|＝|x1|·|y1|＝1(定值)．‎ 当直线AB的斜率存在时，设AB的方程为y＝k′x＋t.‎ 由消去y得，‎ ‎(k′2＋4)x2＋2k′tx＋t2－4＝0，‎ Δ＝4k′2t2－4(k′2＋4)(t2－4)>0，‎ 且x1＋x2＝，‎ x1x2＝.‎ ‎∵m·n＝0，‎ ‎∴4x1x2＋y1y2＝0，∴4x1x2＋(k′x1＋t)(k′x2＋t)＝0，‎ ‎∴(k′2＋4)x1x2＋k′t(x1＋x2)＋t2＝0，‎ ‎∴(k′2＋4)·＋k′t·＋t2＝0，‎ 整理得2t2－k′2＝4.‎ - 5 -‎ ‎∴S△OAB＝··AB＝·|t|·＝＝＝1(定值)．‎ 综上，△AOB的面积为定值．‎ ‎3.如图，已知抛物线C：y2＝2px和⊙M：(x－4)2＋y2＝1，圆心M到抛物线C的准线的距离为.过抛物线C上一点H(x0，y0)(y0≥1)作两条直线分别与⊙M相切于A、B两点，与抛物线C交于E、F两点．‎ ‎(1)求抛物线C的方程；‎ ‎(2)当∠AHB的角平分线垂直x轴时，求直线EF的斜率；‎ ‎(3)若直线AB在y轴上的截距为t，求t的最小值．‎ 解　(1)由题意知⊙M的圆心M的坐标为(4,0)，‎ 半径为1，抛物线C的准线方程为x＝－，‎ ‎∵圆心M到抛物线C的准线的距离为，‎ ‎∴4＋＝，解得p＝，‎ 从而抛物线C的方程为y2＝x.‎ ‎(2)∵∠AHB的角平分线垂直x轴，‎ ‎∴点H(4,2)，∴∠AHB＝60°，‎ 可得kHA＝，kHB＝－，‎ ‎∴直线HA的方程为y＝x－4＋2，‎ 联立方程得y2－y－4＋2＝0，‎ 设E(xE，yE)，F(xF，yF)，则yE＋2＝，‎ ‎∴yE＝，xE＝，‎ 同理可得yF＝，xF＝，∴kEF＝－.‎ ‎(3)方法一　由题意可设点A、B的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，‎ 则kMA＝，kMB＝，‎ ‎∵HA、HB是⊙M的切线，∴HA⊥MA、HB⊥MB，‎ ‎∴kHA＝，kHB＝，‎ 直线HA、HB的方程分别为(4－x1)x－y1y＋4x1－15＝0，(4－x2)x－y2y＋4x2－15＝0，‎ 又点H在抛物线上，有y＝x0，‎ ‎∴点H的坐标为(y，y0)(y0≥1)，分别代入直线HA、HB的方程得(4－x1)y－y1y0＋4x1－15＝0，‎ - 5 -‎ ‎(4－x2)y－y2y0＋4x2－15＝0，‎ 可整理为(4－y)x1－y0y1＋4y－15＝0，(4－y)x2－y0y2＋4y－15＝0，‎ 从而可求得直线AB的方程为(4－y)x－y0y＋4y－15＝0，‎ 令x＝0，得直线AB在y轴上的截距为t＝＝4y0－(y0≥1)，‎ 考虑到函数f(x)＝4x－(x≥1)为单调递增函数，‎ ‎∴tmin＝4×1－＝－11.‎ 方法二　由(1)知，设点H(y，y0)(y0≥1)，‎ 则HM2＝y－7y＋16，HA2＝y－7y＋15.‎ 以H为圆心，HA为半径的圆的方程为(x－y)2＋(y－y0)2＝y－7y＋15，①‎ 又⊙M的方程为(x－4)2＋y2＝1.②‎ ‎①－②得：直线AB的方程为(2x－y－4)(4－y)－(2y－y0)y0＝y－7y＋14.‎ 当x＝0时，直线AB在y轴上的截距t＝4y0－(y0≥1)，‎ ‎∵t关于y的函数在[1，＋∞)上单调递增，‎ ‎∴tmin＝－11.‎ ‎4．如图，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，以原点为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x＋y＋＝0相切．A、B是椭圆的左、右顶点，直线l过B点且与x轴垂直．‎ ‎(1)求椭圆C的标准方程；‎ ‎(2)设G是椭圆C上异于A、B的任意一点，作GH⊥x轴于点H，延长HG到点Q使得HG＝GQ，连结AQ并延长交直线l于点M，N为线段MB的中点，判定直线QN与以AB为直径的圆O的位置关系，并证明你的结论．‎ 解　(1)由题意可得e＝＝.‎ ‎∵以原点为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x＋y＋＝0相切，‎ ‎∴＝b，解得b＝1.‎ 由a2＝b2＋c2，可得a＝2.‎ ‎∴椭圆C的标准方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)由(1)可知A(－2,0)，B(2,0)，直线l的方程为x＝2.‎ 设G(x0，y0)(y0≠0)，于是H(x0,0)，Q(x0,2y0)，‎ 且有＋y＝1，即4y＝4－x.‎ 连结BQ，设直线AQ与直线BQ的斜率分别为kAQ，kBQ，‎ - 5 -‎ ‎∵kAQ·kBQ＝·＝＝＝－1，‎ 即AQ⊥BQ，‎ ‎∴点Q在以AB为直径的圆上．‎ ‎∵直线AQ的方程为y＝(x＋2)．‎ 由解得 即M(2，)，∴N(2，)．‎ ‎∴直线QN的斜率为kQN＝＝ ‎＝＝，‎ ‎∴kOQ·kQN＝·＝－1，于是直线OQ与直线QN垂直，‎ ‎∴直线QN与以AB为直径的圆O相切．‎ - 5 -‎