（江苏专用）2015高考数学小题专项综合练（四）.doc

‎2015年高考数学小题专项综合练4‎ ‎1．复数的共轭复数是________．‎ 答案　－i 解析　方法一　∵＝＝＝i，‎ ‎∴的共轭复数为－i.‎ 方法二　∵＝＝＝i.‎ ‎∴的共轭复数为－i.‎ ‎2．已知集合M＝{x|≥0，x∈R}，N＝{y|y＝3x2＋1，x∈R}，则M∩N＝________.‎ 答案　{x|x>1}‎ 解析　由≥0，得 ‎∴x>1或x≤0，∴M＝{x|x>1或x≤0}，N＝{y|y≥1}，‎ M∩N＝{x|x>1}．‎ ‎3．已知sin(α＋)＋sin α＝－，－50；‎ 当i＝5时，S＝2×26＋5＝57，i＝6，此时满足S>50，因此输出i＝6.‎ ‎7．已知点O，N，P在△ABC所在的平面内，且||＝||＝||，＋＋＝0，·＝·＝·，则点O，N，P依次是△ABC的________心，________心，________心．‎ ‎(注：三角形的三条高线交于一点，此点称为三角形的垂心)‎ 答案　外　重　垂 解析　由||＝||＝||知O为△ABC的外心．‎ ‎∵·＝·，∴(－)·＝·＝0，同理·＝0，·＝0，∴点P是△ABC的垂心，由＋＋ - 5 -‎ ‎＝0知＋＝－，结合向量加法的平行四边形法则知N为△ABC的重心．‎ ‎8．函数y＝，x∈∪的图象可能是下列图象中的________．(填序号)‎ 答案　③‎ 解析　由函数y＝，x∈∪是偶函数，则①错；又由函数y＝sin 2x，y＝2x，x∈的图象可知恒有2x>sin 2x，x∈，所以y＝>，x∈，则②④错，故③符合．‎ ‎9．函数f(x)在[a，b]上有定义，若对任意x1，x2∈[a，b]，有f()≤[f(x1)＋f(x2)]，则称f(x)在[a，b]上具有性质P.设f(x)在[1,3]上具有性质P，现给出如下命题：‎ ‎①f(x)在[1,3]上的图象是连续不断的；‎ ‎②f(x2)在[1，]上具有性质P；‎ ‎③若f(x)在x＝2处取得最大值1，则f(x)＝1，x∈[1,3]；‎ ‎④对任意x1，x2，x3，x4∈[1,3]，有f()≤[f(x1)＋f(x2)＋f(x3)＋f(x4)]．‎ 其中真命题的序号是________．‎ 答案　③④‎ 解析　①中，反例：取函数f(x)＝则函数f(x)满足题设条件具有性质P，但函数f(x)的图象是不连续的．‎ ‎②中，反例：f(x)＝－x在[1,3]上具有性质P，f(x2)＝－x2在[1，]上不具有性质P.‎ ‎③中，在[1,3]上，f(2)＝f()≤[f(x)＋f(4－x)]⇒⇒f(x)＝1，‎ 所以，对于任意x1，x2∈[1,3]，f(x)＝1.‎ ‎④中，f()＝f()‎ ‎≤[f()＋f()]‎ ‎≤[(f(x1)＋f(x2))＋(f(x3)＋f(x4))]‎ - 5 -‎ ‎≤[f(x1)＋f(x2)＋f(x3)＋f(x4)]．‎ 由以上推断可知①②错误，③④正确．‎ ‎10．已知四棱锥P—ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，点E、F分别是棱PC、PD的中点，则 ‎①棱AB与PD所在直线垂直；‎ ‎②平面PBC与平面ABCD垂直；‎ ‎③△PCD的面积大于△PAB的面积；‎ ‎④直线AE与直线BF是异面直线．‎ 以上结论正确的是________．(写出所有正确结论的编号)‎ 答案　①③‎ 解析　由条件可得AB⊥平面PAD，‎ ‎∴AB⊥PD，故①正确；‎ 若平面PBC⊥平面ABCD，由PB⊥BC，‎ 得PB⊥平面ABCD，从而PA∥PB，这是不可能的，故②错；‎ S△PCD＝CD·PD，S△PAB＝AB·PA，‎ 由AB＝CD，PD>PA知③正确；‎ 由E、F分别是棱PC、PD的中点，‎ 可得EF∥CD，又AB∥CD，‎ ‎∴EF∥AB，故AE与BF共面，④错．‎ ‎11.如图所示，要挖一个面积为800平方米的矩形鱼池，并在鱼池的四周留出左右宽‎2米，上下宽‎1米的小路，则占地总面积的最小值是________平方米．‎ 答案　968‎ 解析　设鱼池的长EH＝x，则EF＝，‎ 占地总面积是(x＋4)·＝808＋2 ‎≥808＋2·2＝968.‎ 当且仅当x＝，即x＝40时，取等号．‎ ‎12．设抛物线y2＝2x的焦点为F，过F的直线交该抛物线于A，B两点，则AF＋4BF的最小值为________．‎ 答案　 解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由抛物线定义可得AF＋4BF＝x1＋＋4＝x1＋＋4＝x1＋4x2＋，设直线AB的方程为ky＝x－，联立抛物线方程得方程组 - 5 -‎ 消元整理得y2－2ky－1＝0，由根与系数的关系可得y1y2＝－1，又A，B在抛物线上，代入方程得yy＝2x1·2x2＝4x1x2＝1，即x1x2＝，因此根据基本不等式AF＋4BF＝x1＋4x2＋≥2＋＝2＋＝，当且仅当x1＝4x2时取得最小值.‎ ‎13．已知y＝f(x)是以2为周期的偶函数，当x∈[0,1]时，f(x)＝x，那么在区间[－1,3]内，关于x的方程f(x)＝kx＋k＋1(k∈R，k≠1)有4个根，则k的取值范围为________．‎ 答案　(－，0)‎ 解析　由图象可知，在l1，l2之间的直线都满足与函数图象在区间[－1,3]上有4个交点，结合图象可知k的取值范围为(－，0)．‎ ‎14．已知实数x，y满足如果目标函数z＝x－y最小值的取值范围是[－2，－1]，则目标函数最大值的取值范围是________．‎ 答案　[3,6]‎ 解析　(x，y)满足的区域如图，变换目标函数y＝x－z，当z最小时就是直线y＝x－z在y轴上的截距最大时．当z的最小值为－1时，直线y＝x＋1，此时点A的坐标是(2,3)，此时m＝2＋3＝5；当z＝－2时，直线y＝x＋2，此时点A的坐标是(3,5)，此时m＝3＋5＝8.故m的取值范围是[5,8]．目标函数的最大值在点B(m－1,1)取得，即zmax＝m－1－1＝m－2，故目标函数最大值的取值范围是[3,6]．‎ - 5 -‎