（江苏专用）2015高考数学程序方法策略篇 专题3 解题策略 第1讲 待定系数法的应用策略.doc

‎2015年高考数学第1讲待定系数法的应用策略 ‎[方法精要]　对于某些数学问题，如果得知所求结果具有某种确定的形式，则可引进一些尚待确定的系数(或参数)来表示这种结果，然后利用已知条件通过变形与比较，根据恒等关系列出含有待定系数的方程(组)，解之即得待定的系数，进而使问题获解，这种常用的数学基本方法称之为“待定系数法”．待定系数法的实质是方程思想，这个方法是将待定的未知数与已知数统一在方程关系中，从而通过解方程(组)求得未知数．‎ 运用待定系数法求解问题，其基本步骤是：‎ 第一步，确定所求问题含有待定系数的解析式；第二步，根据恒等的条件，列出一组含待定系数的方程；第三步，解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决．‎ 题型一　用待定系数法求函数的解析式 例1　已知函数f(x)＝x2，g(x)为一次函数，且一次项系数大于零，若f(g(x))＝4x2－20x＋25，求g(x)的表达式．‎ 破题切入点　一次函数的解析式具有固定的形式y＝kx＋b，求函数的解析式就是求出参数k，b，根据f(g(x))＝4x2－20x＋25，比较函数两边的系数即可解决问题．‎ 解　∵g(x)为一次函数，设g(x)＝kx＋b(k>0)，‎ ‎∵f(g(x))＝4x2－20x＋25，‎ ‎∴f(kx＋b)＝4x2－20x＋25，‎ 即k2x2＋2kbx＋b2＝4x2－20x＋25，‎ ‎∴ 又k>0，解得k＝2，b＝－5，‎ ‎∴g(x)＝2x－5.‎ 题型二　用待定系数法求曲线方程 例2　已知点P(4,4)，圆C：(x－m)2＋y2＝5(mb>0)有一个公共点A(3,1)，F1，F2分别是椭圆的左，右焦点，直线PF1与圆C相切．‎ ‎(1)求m的值与椭圆E的方程；‎ ‎(2)设Q为椭圆E上的一个动点，求·的取值范围．‎ 破题切入点　圆过点A，将坐标代入就可以确定m的值，椭圆过点A，只要能求出椭圆的焦点坐标问题就解决了，这可以用直线PF1与圆C相切解决；由于点A、点P都是定点，故·仅仅依赖于椭圆上点的坐标，结合椭圆上点的坐标的关系解决．‎ 解　(1)点A代入圆C方程，得(3－m)2＋1＝5.‎ ‎∵m0，b>0)，‎ 则它的一个焦点到一条渐近线的距离为d，‎ 则d＝c，‎ 所以渐近线与x轴的夹角为30°，‎ ‎∴tan 30°＝＝，‎ 因此其渐近线方程为x±y＝0.‎ ‎3．二次不等式ax2＋bx＋2>0的解集是(－，)，则a＋b的值是________．‎ 答案　－14‎ 解析　因为不等式的解集是(－，)，‎ 所以－，是一元二次方程ax2＋bx＋2＝0的两个根，‎ 所以 解得所以a＋b＝－14.‎ ‎4．若f(x)＝ax2－，a为一个正的常数，且f[f()]＝－，则a＝________.‎ 答案　 解析　∵f()＝a·()2－＝‎2a－，‎ ‎∴f[f()]＝a·(‎2a－)2－＝－，‎ - 6 -‎ ‎∴a·(‎2a－)2＝0.‎ ‎∵a为一个正常数，∴‎2a－＝0，∴a＝.‎ ‎5．函数f(x)＝ax2＋2x－3＋b(a>0，且a≠1)恒过定点(1,6)，则b的值是________．‎ 答案　5‎ 解析　由于函数恒过定点(1,6)，所以函数值与a无关，‎ 所以当x＝1时，x2＋2x－3＝0，‎ 即a0＋b＝6，所以b＝5.‎ ‎6．若向量a和b是不共线的向量，且＝λ‎1a＋b，＝a＋λ2b(λ1，λ2∈R)，则A，B，C三点共线的条件是________．‎ 答案　λ1λ2＝1‎ 解析　因为A，B，C三点共线，所以存在实数μ(μ≠0)，‎ 使得＝μ，所以λ‎1a＋b＝μ(a＋λ2b)，‎ 即λ1＝μ且1＝μλ2，所以λ1λ2＝1.‎ ‎7．若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴相切，则该圆的标准方程是________．‎ 答案　(x－2)2＋(y－1)2＝1‎ 解析　根据题意设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝1(a>0，b>0)，‎ 则b＝1且＝1，‎ 又因为a>0，解得a＝2，b＝1，‎ 所以圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1.‎ ‎8．已知F1、F2是椭圆＋＝1的左、右焦点，弦AB过F1，若△ABF2的周长为8，则椭圆的方程为________．‎ 答案　＋＝1‎ 解析　根据椭圆的定义，△ABF2的周长为‎4a，‎ 即4＝8，解得k＝2，‎ 故在这个椭圆中a＝2，b＝，‎ 故椭圆方程为＋＝1.‎ ‎9．若函数y＝a－bsin x(b>0)的最大值为，最小值为－，求函数y＝－4asin bx的最值和最小正周期．‎ 解　根据题意，sin x∈[－1,1]，因为b>0，‎ 所以sin x＝－1时函数有最大值，sin x＝1时函数有最小值，‎ 所以解得 所以y＝－2sin x，‎ 所以函数y＝－2sin x的最大值是2，最小值是－2，周期是2π.‎ ‎10. 如图，设一直线过点(－1,1)，它被两平行直线l1：x＋2y－1＝0，l2：x＋2y－3＝0所截的线段的中点在直线l3：x－y－1＝0上，求直线方程．‎ - 6 -‎ 解　与l1、l2平行且距离相等的直线方程为x＋2y－2＝0.‎ 设所求直线方程为(x＋2y－2)＋λ(x－y－1)＝0，‎ 即(1＋λ)x＋(2－λ)y－2－λ＝0.又直线过(－1,1)，‎ ‎∴(1＋λ)(－1)＋(2－λ)·1－2－λ＝0.‎ 解得λ＝－.∴所求直线方程为2x＋7y－5＝0.‎ ‎11．已知数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且a1＝b1＝2，b4＝54，a1＋a2＋a3＝b2＋b3.‎ ‎(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；‎ ‎(2)数列{cn}满足cn＝anbn，求数列{cn}的前n项和Sn.‎ 解　(1)设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，由b4＝b1q3，得q3＝＝27，从而q＝3，‎ 因此bn＝b1·qn－1＝2·3n－1，‎ 又a1＋a2＋a3＝‎3a2＝b2＋b3＝6＋18＝24，∴a2＝8，‎ 从而d＝a2－a1＝6，故an＝a1＋(n－1)·6＝6n－4.‎ ‎(2)cn＝anbn＝4·(3n－2)·3n－1，‎ 令Tn＝1×30＋4×31＋7×32＋…＋(3n－5)·3n－2＋(3n－2)·3n－1.‎ ‎3Tn＝1×31＋4×32＋7×33＋…＋(3n－5)·3n－1＋(3n－2)·3n.‎ 两式相减得 ‎－2Tn＝1＋3×31＋3×32＋3×33＋…＋3×3n－1－(3n－2)·3n＝1＋3×－(3n－2)·3n＝1＋－(3n－2)·3n，‎ ‎∴Tn＝＋，故Sn＝4Tn＝7＋(6n－7)·3n.‎ ‎12．双曲线的中心为原点O，焦点在x轴上，两条渐近线分别为l1，l2，经过右焦点F垂直于l1的直线分别交l1，l2于A，B两点．已知||、||、||成等差数列，且与同向．‎ ‎(1)求双曲线的离心率；‎ ‎(2)设AB被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．‎ 解　(1)设OA＝m－d，AB＝m，OB＝m＋d，‎ 由勾股定理可得：(m－d)2＋m2＝(m＋d)2，‎ 得：d＝m，tan ∠AOF＝，‎ tan ∠AOB＝tan 2∠AOF＝＝，‎ - 6 -‎ 由倍角公式：＝，解得＝，‎ 则离心率e＝.‎ ‎(2)过F直线方程为y＝－(x－c)与双曲线方程－＝1联立，‎ 将a＝2b，c＝b代入，化简有x2－x＋21＝0.‎ ‎4＝ |x1－x2|‎ ‎＝ ，‎ 将数值代入，有4＝ ，解得b＝3，‎ 最后求得双曲线方程为－＝1.‎ - 6 -‎