（江苏专用）2015高考数学程序方法策略篇 专题3 解题策略 第5讲 分析法与综合法应用策略.doc

‎2015年高考数学第5讲分析法与综合法应用策略 ‎[方法精要]　综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明结论成立，这种证明方法叫做综合法．‎ 分析法：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种正面的方法叫做分析法．‎ 综合法往往以分析法为基础，是分析法的逆过程．但更要注意从有关不等式的定理、结论或题设条件出发，根据不等式的性质推导证明．分析法是逆向思维，当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接，或证明过程中所需要用的知识不太明确、具体时，往往采用分析法，特别是含有根号、绝对值的等式或不等式，从正面不宜推导时，常考虑用分析法．注意用分析法证题时，一定要严格按格式书写．‎ 题型一　综合法在三角函数中的应用 例1　已知函数f(x)＝2sin cos －2sin2＋.‎ ‎(1)求函数f(x)的最小正周期及最值；‎ ‎(2)令g(x)＝f(x＋)，判断函数g(x)的奇偶性，并说明理由．‎ 破题切入点　用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，用Q表示所要证明的结论，则综合法的应用可以表示为：P⇒Q1→Q1⇒Q2→Q2⇒Q3→…→Qn⇒Q.本题是将三角函数式化为同一个角的三角函数，再利用三角函数的周期性和单调性及奇偶性解决．‎ 解　(1)∵f(x)＝sin ＋(1－2sin2)‎ ‎＝sin ＋cos ‎＝2sin(＋)．‎ ‎∴f(x)的最小正周期T＝＝4π.‎ 当sin(＋)＝－1时，f(x)取得最小值－2；‎ 当sin(＋)＝1时，f(x)取得最大值2.‎ ‎(2)由(2)知f(x)＝2sin(＋)．‎ 又g(x)＝f(x＋)．‎ ‎∴g(x)＝2sin[(x＋)＋]‎ ‎＝2sin(＋)＝2cos .‎ - 6 -‎ ‎∴g(－x)＝2cos(－)＝2cos ＝g(x)．‎ ‎∴函数g(x)是偶函数．‎ 题型二　综合法在立体几何中的应用 例2　如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点，求证：‎ ‎(1)PA⊥底面ABCD；‎ ‎(2)BE∥平面PAD；‎ ‎(3)平面BEF⊥平面PCD.‎ 破题切入点　综合法的运用，从已知条件、已有的定义、公理、定理等经过层层推理，最后得到所要证明的结论．‎ ‎(1)利用平面PAD⊥底面ABCD的性质，得线面垂直．‎ ‎(2)BE∥AD易证．‎ ‎(3)EF是△CPD的中位线．‎ 证明　(1)因为平面PAD⊥底面ABCD，‎ 平面PAD∩底面ABCD＝AD，‎ 且PA⊥AD，‎ 所以PA⊥底面ABCD.‎ ‎(2)因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，‎ 所以AB∥DE，且AB＝DE.‎ 所以四边形ABED为平行四边形．‎ 所以BE∥AD.‎ 又因为BE⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，‎ 所以BE∥平面PAD.‎ ‎(3)因为AB⊥AD，而且ABED为平行四边形．‎ 所以BE⊥CD，AD⊥CD，‎ 由(1)知PA⊥底面ABCD.‎ 所以PA⊥CD.‎ 所以CD⊥平面PAD.‎ 所以CD⊥PD.‎ 因为E和F分别是CD和PC的中点，‎ 所以PD∥EF，所以CD⊥EF.‎ 又EF⊂平面BEF，‎ 所以CD⊥平面BEF.‎ 又CD⊂平面PCD，‎ 所以平面BEF⊥平面PCD.‎ 题型三　分析法在不等式中的应用 例3　若a，b，c为不全相等的正数，求证：lg ＋lg ＋lg >lg a＋lg b＋lg c.‎ - 6 -‎ 破题切入点　本题适合用分析法解决，借助对数的性质反推关于a，b，c的不等式，依次寻求使其成立的充分条件，直至得到一个容易解决的不等式，类似的不等式往往利用基本不等式．‎ 证明　要证lg ＋lg ＋lg >lg a＋lg b＋lg c，‎ 只需证lg(··)>lg(a·b·c)，‎ 即证··>a·b·c.‎ 因为a，b，c为不全相等的正数，‎ 所以≥>0，≥>0，≥>0，‎ 且上述三式中等号不能同时成立．‎ 所以··>a·b·c成立，‎ 所以原不等式成立．‎ 总结提高　综合法和分析法是直接证明中两种最基本的方法，也是解决数学问题时常用的思维方式．综合法的特点是由原因推出结果，分析法的特点是由结果追溯到产生这一结果的原因．在解决问题时，经常把综合法和分析法结合起来使用：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论，根据结论的特点去转化条件，得到另一中间结论，根据中间结论的转化证明结论成立．‎ ‎1．下面的四个不等式：‎ ‎①a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ca；‎ ‎②a(1－a)≤；‎ ‎③＋≥2；‎ ‎④(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2.‎ 其中恒成立的有________个．‎ 答案　3‎ 解析　因为a2＋b2＋c2－(ab＋bc＋ca)‎ ‎＝[(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2]≥0，‎ 所以a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca，‎ 所以①正确；‎ 因为a(1－a)－＝－a2＋a－＝－(a－)2≤0，‎ 所以a(1－a)≤；‎ 所以②正确；‎ 当ab0，证明：＋＋≥a＋b＋c.‎ 证明　因为a，b，c>0，根据基本不等式 - 6 -‎ ＋b≥‎2a，＋c≥2b，＋a≥‎2c，‎ 三式相加得：＋＋＋a＋b＋c≥‎2a＋2b＋‎2c，‎ 即＋＋≥a＋b＋c.‎ 当且仅当a＝b＝c时取等号．‎ ‎9．已知△ABC三边a，b，c的倒数成等差数列，证明：B为锐角．‎ 证明　要证明B为锐角，根据余弦定理，‎ 也就是证明cos B＝>0，‎ 即需证a2＋c2－b2>0，‎ 由于a2＋c2－b2≥‎2ac－b2，‎ 故只需证‎2ac－b2>0，‎ 因为a，b，c的倒数成等差数列，‎ 所以＋＝，即‎2ac＝b(a＋c)．‎ 所以要证‎2ac－b2>0，‎ 只需证b(a＋c)－b2>0，即b(a＋c－b)>0，‎ 上述不等式显然成立，所以B为锐角．‎ ‎10．设数列{an}满足a1＝0且－＝1.‎ ‎(1)求{an}的通项公式；‎ ‎(2)设bn＝，记Sn＝k，证明：Sntan ‎⇔(＋)>(“化弦”)‎ ‎⇔> ‎⇔> 只要证明0