2017届高考数学总复习 不等式选讲教案 理 新人教A版选修4-5.doc

‎【创新方案】（新课标）2017届高考数学总复习 不等式选讲教案 理 新人教A版选修4-5‎ 第一节　绝对值不等式 考纲要求：1.理解绝对值不等式的几何意义，并能利用绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：‎ ‎(1)|a＋b|≤|a|＋|b|；‎ ‎(2)|a－b|≤|a－c|＋|c－b|.‎ ‎2．会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：‎ ‎|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－a|＋|x－b|≥c.‎ ‎1．绝对值不等式的解法 ‎(1)|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法 ‎①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c.‎ ‎②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.‎ ‎(2)|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法 法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合思想；‎ 法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论思想；‎ 法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．‎ ‎2．绝对值三角不等式 ‎(1)定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．‎ ‎(2)定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．‎ ‎1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)若|x|＞c的解集为R，则c≤0.(　　)‎ ‎(2)不等式|x－1|＋|x＋2|1的解集；‎ ‎(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．‎ ‎[听前试做]　(1)当a＝1时，‎ f(x)>1化为|x＋1|－2|x－1|－1>0.‎ 当x≤－1时，不等式化为x－4>0，无解；‎ 当－12.‎ 所以a的取值范围为(2，＋∞)．‎ 含绝对值不等式的常用解法 ‎(1)基本性质法：对a∈(0，＋∞)，|x|cd，则＋>＋；‎ ‎(2)＋>＋是|a－b|cd，‎ 得(＋)2>(＋)2.‎ 因此＋>＋.‎ ‎(2)①必要性：若|a－b|＋，则(＋)2>(＋)2，‎ 即a＋b＋2>c＋d＋2.‎ 因为a＋b＝c＋d，所以ab>cd.‎ 于是(a－b)2＝(a＋b)2－4ab6，从而不存在a，b，使得‎2a＋3b＝6.‎ 综合法证明不等式的技巧 综合法证明不等式，主要从目标式的结构特征探索思路．如果这种特征不足以明确解题方法时，就应从目标式开始，通过“倒推”探索解题思路．‎ 已知a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1，求证：＋＋≥9.‎ 解：＋＋＝(a＋b＋c)·≥3··3·＝9当且仅当a＝b＝c＝时等号成立．‎ ‎ [典题3]　(2015·陕西高考)已知关于x的不等式|x＋a|＜b的解集为{x|2＜x＜4}．‎ ‎(1)求实数a，b的值；‎ ‎(2)求＋的最大值．‎ ‎[听前试做]　(1)由|x＋a|＜b，得－b－a＜x＜b－a，‎ 则解得 ‎(2)＋＝·＋ ‎≤ ‎＝2＝4，‎ 当且仅当＝，即t＝1时等号成立，‎ 故(＋)max＝4.‎ 柯西不等式的常见类型及解题策略 ‎(1)求表达式的最值．依据已知条件，利用柯西不等式求最值，注意等号成立的条件；‎ ‎(2)求解析式的值．利用柯西不等式的条件，注意等号成立的条件，进而求得各个量的值，从而求出解析式的值；‎ 16‎ ‎(3)证明不等式．注意所证不等式的结构特征，寻找柯西不等式的条件，然后证明．‎ 已知定义在R上的函数f(x)＝|x＋1|＋|x－2|的最小值为a.‎ ‎(1)求a的值；‎ ‎(2)若p，q，r是正实数，且满足p＋q＋r＝a，求证：p2＋q2＋r2≥3.‎ 解：(1)因为|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，‎ 当且仅当－1≤x≤2时，等号成立，所以f(x)的最小值等于3，即a＝3.‎ ‎(2)证明：由(1)知p＋q＋r＝3，又因为p，q，r是正实数，‎ 所以(p2＋q2＋r2)(12＋12＋12)≥(p×1＋q×1＋r×1)2＝(p＋q＋r)2＝9，即p2＋q2＋r2≥3.‎ ‎—————————————[课堂归纳——感悟提升]——————————————‎ ‎[方法技巧]‎ 证明不等式的方法和技巧 ‎(1)如果已知条件与待证明的结论直接联系不明显，可考虑用分析法；如果待证的命题以“至少”“至多”等方式给出或是否定性命题、唯一性命题，则考虑用反证法；如果待证不等式与自然数有关，则考虑用数学归纳法等．‎ ‎(2)在必要的情况下，可能还需要使用换元法、构造法等技巧简化对问题的表述和证明．尤其是对含绝对值不等式的解法或证明，其简化的基本思路是化去绝对值号，转化为常见的不等式(组)求解．多以绝对值的几何意义或“找零点、分区间、逐个解、并起来”为简化策略，而绝对值三角不等式，往往作为不等式放缩的依据．‎ ‎[易错防范]‎ ‎　比较法证明不等式最常用的是差值比较法，其基本步骤是：作差—变形—判断差的符号—下结论．其中“变形”是证明的关键，一般通过因式分解或配方将差式变形为几个因式的积或配成几个代数式平方和的形式，当差式是二次三项式时，有时也可用判别式来判断差值的符号．个别题目也可用柯西不等式来证明．‎ ‎1．在△ABC中，内角A，B，C所对的边的长分别为a，b，c，证明：‎ ‎(1)＋＋＋abc≥2；‎ ‎(2)＋＋≥9.‎ 证明：(1)因为a，b，c为正实数，‎ 由基本(均值)不等式可得＋＋≥3，‎ 16‎ 即＋＋≥，‎ 所以＋＋＋abc≥＋abc，‎ 而＋abc≥2＝2，‎ 所以＋＋＋abc≥2.‎ 当且仅当a＝b＝c＝时取等号．‎ ‎(2)＋＋≥3＝≥＝，‎ 所以＋＋≥9，‎ 当且仅当A＝B＝C＝时取等号．‎ ‎2．(2016·云南模拟)已知a是常数，对任意实数x，不等式|x＋1|－|2－x|≤a≤|x＋1|＋|2－x|都成立．‎ ‎(1)求a的值；‎ ‎(2)设m>n>0，求证：‎2m＋≥2n＋a.‎ 解：(1)设f(x)＝|x＋1|－|2－x|，‎ 则f(x)＝∴f(x)的最大值为3.‎ ‎∵对任意实数x，|x＋1|－|2－x|≤a都成立，即f(x)≤a，∴a≥3.‎ 设h(x)＝|x＋1|＋|2－x|＝ 则h(x)的最小值为3.‎ ‎∵对任意实数x，|x＋1|＋|2－x|≥a都成立，即h(x)≥a，∴a≤3.∴a＝3.‎ ‎(2)由(1)知a＝3.‎ ‎∵‎2m＋－2n＝(m－n)＋(m－n)＋，且m>n>0，‎ ‎∴(m－n)＋(m－n)＋≥‎ ‎3＝3，‎ ‎∴‎2m＋≥2n＋a.‎ ‎3．设函数f(x)＝|x－4|＋|x－3|，f(x)的最小值为m.‎ ‎(1)求m的值；‎ ‎(2)当a＋2b＋‎3c＝m(a，b，c∈R)时，求a2＋b2＋c2的最小值．‎ 16‎ 解：(1)法一：f(x)＝|x－4|＋|x－3|≥|(x－4)－(x－3)|＝1，故函数f(x)的最小值为1，即m＝1.‎ 法二：f(x)＝ 当x≥4时，f(x)≥1；当x1；当3≤x＜4时，f(x)＝1，故函数f(x)的最小值为1，即m＝1.‎ ‎(2)(a2＋b2＋c2)(12＋22＋32)≥(a＋2b＋‎3c)2＝1，‎ 故a2＋b2＋c2≥，‎ 当且仅当a＝，b＝，c＝时取等号．‎ 故a2＋b2＋c2的最小值为.‎ ‎4．设a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1.证明：‎ ‎(1) ab＋bc＋ac≤；‎ ‎(2) ＋＋≥1.‎ 证明：(1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.由题设得(a＋b＋c)2＝1，即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1.‎ 所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤.‎ ‎(2)因为＋b≥‎2a，＋c≥2b，＋a≥‎2c，‎ 故＋＋＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，即＋＋≥a＋b＋c.所以＋＋≥1.‎ ‎5．(2016·长春质检)(1)已知a，b都是正数，且a≠b，求证：a3＋b3>a2b＋ab2；‎ ‎(2)已知a，b，c都是正数，求证：≥abc.‎ 证明：(1)(a3＋b3)－(a2b＋ab2)＝(a＋b)(a－b)2.‎ 因为a，b都是正数，所以a＋b>0.‎ 又因为a≠b，所以(a－b)2>0.‎ 于是(a＋b)(a－b)2>0，即(a3＋b3)－(a2b＋ab2)>0，‎ 所以a3＋b3>a2b＋ab2.‎ ‎(2)因为b2＋c2≥2bc，a2>0，所以a2(b2＋c2)≥‎2a2bc.①‎ 同理，b2(a2＋c2)≥2ab‎2c.②‎ c2(a2＋b2)≥2abc2.③‎ ‎①②③相加得2(a2b2＋b‎2c2＋c‎2a2)≥‎2a2bc＋2ab‎2c＋2abc2，从而a2b2＋b‎2c2＋‎ 16‎ c‎2a2≥abc(a＋b＋c)．由a，b，c都是正数，得a＋b＋c>0，因此≥abc.‎ ‎6．设a，b，c为正数且a＋b＋c＝1，求证：2＋2＋2≥.‎ 证明：2＋2＋c＋2‎ ‎＝(12＋12＋12)2＋2＋2≥1×＋1×b＋＋1×2＝1＋＋＋2＝1＋(a＋b＋c)＋＋2≥×(1＋9)2＝.‎ 即原不等式成立．‎ 16‎