2017届高考数学总复习 第十二章 推理与证明、算法、复数教案 理 新人教A版.doc

‎【创新方案】（新课标）2017届高考数学总复习 第十二章 推理与证明、算法、复数教案 理 新人教A版 第一节　合情推理与演绎推理 考纲要求：1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用．‎ ‎2．了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理．‎ ‎3．了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异．‎ ‎1．合情推理 ‎(1)归纳推理 ‎①定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理．‎ ‎②特点：是由部分到整体、由个别到一般的推理．‎ ‎(2)类比推理 ‎①定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理．‎ ‎②特点：是由特殊到特殊的推理．‎ ‎2．演绎推理 ‎(1)演绎推理 从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．‎ ‎(2)“三段论”是演绎推理的一般模式 ‎①大前提——已知的一般原理．‎ ‎②小前提——所研究的特殊情况．‎ ‎③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．‎ ‎1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确．(　　)‎ ‎(2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理．(　　)‎ ‎(3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．(　　)‎ ‎(4)演绎推理的结论一定是正确的．(　　)‎ 71‎ ‎(5)演绎推理是由特殊到一般再到特殊的推理．(　　)‎ ‎(6)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确．(　　)‎ 答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)×　(5)×　(6)×‎ ‎2．“因为指数函数y＝ax是增函数(大前提)，而y＝x是指数函数(小前提)，所以y＝x是增函数(结论)”，上面推理的错误在于(　　)‎ A．大前提错导致结论错 B．小前提错导致结论错 C．推理形式错导致结论错 D．大前提和小前提都错导致结论错 解析：选A　y＝ax是增函数这个大前提是错误的，从而导致结论错误．‎ ‎3．已知数列{an}的第1项a1＝1，且an＋1＝(n＝1,2,3，…)，归纳该数列的通项公式an＝________.‎ 答案： ‎4．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________．‎ 解析：＝＝·＝×＝.‎ 答案：1∶8‎ 归纳推理是发现问题、找出规律的具体鲜明的方法，也是创新的一种思维方式，因而成为高考考查的亮点，常以选择题、填空题的形式出现，且主要有以下几个命题角度：‎ 角度一：数的归纳 ‎[典题1]　(1)给出以下数对序列：‎ ‎(1,1)‎ ‎(1,2)(2,1)‎ ‎(1,3)(2,2)(3,1)‎ ‎(1,4)(2,3)(3,2)(4,1)‎ ‎……‎ 记第i行的第 j 个数对为aij，如a43＝(3,2)，则anm＝(　　)‎ 71‎ A．(m，n－m＋1) B．(m－1，n－m)‎ C．(m－1，n－m＋1) D．(m，n－m)‎ ‎(2)两旅客坐火车外出旅游，希望座位连在一起，且有一个靠窗，已知火车上的座位如图所示，则下列座位号码符合要求的应当是(　　)‎ A.48,49 B．62,‎63 C．75,76 D．84,85‎ ‎[听前试做]　(1)由前4行的特点，归纳可得：若anm＝(a，b)，则a＝m，b＝n－m＋1，∴anm＝(m，n－m＋1)．‎ ‎(2)由已知图形中座位的排序规律可知，被5除余1的数和能被5整除的座位号靠窗，由于两旅客希望座位连在一起，且有一个靠窗，分析答案中的4组座位号知，只有D符合条件．‎ 答案：(1)A　(2)D 解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等．‎ 角度二：式的归纳 ‎[典题2]　(1)(2015·山东高考)观察下列各式：‎ C＝40；‎ C＋C＝41；‎ C＋C＋C＝42；‎ C＋C＋C＋C＝43；‎ ‎……‎ 照此规律，当n∈N*时，‎ C＋C＋C＋…＋C＝________.‎ ‎(2)已知f(x)＝，f1(x)＝f′(x)，f2(x)＝[f1(x)]′，…，fn＋1(x)＝[fn(x)]′，n∈N*，经计算：f1(x)＝，f2(x)＝，f3(x)＝，…，照此规律，则fn(x)＝________.‎ ‎(3)(2016·日照模拟)设n为正整数，f(n)＝1＋＋＋…＋，计算得f(2)＝，f 71‎ ‎(4)>2，f(8)>，f(16)>3，观察上述结果，可推测一般的结论为________．‎ ‎[听前试做]　(1)第一个等式，n＝1，而右边式子为40＝41－1；‎ 第二个等式：n＝2，而右边式子为41＝42－1；‎ 第三个等式：n＝3，而右边式子为42＝43－1；‎ 第四个等式：n＝4，而右边式子为43＝44－1；‎ ‎……‎ 归纳可知，第n个等式的右边为4n－1.‎ ‎(2)因为f1(x)＝，f2(x)＝，f3(x)＝，…，所以fn(x)＝.‎ ‎(3)∵f(21)＝，f(22)>2＝，f(23)>，f(24)>，∴归纳得f(2n)≥(n∈N*)．‎ 答案：(1)4n－1　(2) ‎(3)f(2n)≥(n∈N*)‎ ‎(1)与数字有关的等式的推理．观察数字特点，找出等式左右两侧的规律及符号后可解．‎ ‎(2)与不等式有关的推理．观察每个不等式的特点，注意是纵向看，找到规律后可解．‎ 角度三：形的归纳 ‎[典题3]　(1)(2016·重庆模拟)某种树的分枝生长规律如图所示，第1年到第5年的分枝数分别为1,1,2,3,5，则预计第10年树的分枝数为(　　)‎ A．21 B．‎34 ‎‎ C．52 D．55‎ ‎(2)蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以f(n)表示第n个图的蜂巢总数．‎ 则f(4)＝________，f(n)＝________.‎ 71‎ ‎[听前试做]　(1)因为2＝1＋1,3＝2＋1,5＝3＋2，即从第三项起每一项都等于前两项的和，所以第10年树的分枝数为21＋34＝55.‎ ‎(2)因为f(1)＝1，f(2)＝7＝1＋6，f(3)＝19＝1＋6＋12，所以f(4)＝1＋6＋12＋18＝37，所以f(n)＝1＋6＋12＋18＋…＋6(n－1)＝3n2－3n＋1.‎ 答案：(1)D　(2)37　3n2－3n＋1‎ ‎(1)归纳是依据特殊现象推断出一般现象，因而由归纳所得的结论超越了前提所包含的范围．‎ ‎(2)归纳的前提是特殊的情况，所以归纳是立足于观察、经验或试验的基础之上．‎ ‎(3)归纳推理所得结论未必正确，有待进一步证明，但对数学结论和科学的发现有很大作用．‎ ‎[典题4]　(1) (2016·南昌模拟)如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝a，CD＝b(a>b)．若EF∥AB，EF到CD与AB的距离之比为m∶n，则可推算出：EF＝.用类比的方法，推想出下面问题的结果．在上面的梯形ABCD中，分别延长梯形的两腰AD和BC交于O点，设△OAB，△ODC的面积分别为S1，S2，则△OEF的面积S0与S1，S2的关系是(　　) ‎ A．S0＝ B．S0＝ C.＝ D.＝ ‎(2)已知面积为S的凸四边形中，四条边长分别记为a1，a2，a3，a4，点P为四边形内任意一点，且点P到四条边的距离分别记为h1，h2，h3，h4，若＝＝＝＝k，则h1＋2h2＋3h3＋4h4＝.类比以上性质，体积为V的三棱锥的每个面的面积分别记为S1，S2，S3，S4，此三棱锥内任一点Q到每个面的距离分别为H1，H2，H3，H4，若＝＝＝＝K，则H1＋2H2＋3H3＋4H4＝(　　)‎ 71‎ A. B. C. D. ‎[听前试做]　(1)在平面几何中类比几何性质时，一般是由平面几何中点的性质类比推理线的性质；由平面几何中线段的性质类比推理面积的性质．故由EF＝ 类比到关于△OEF的面积S0与S1，S2的关系是＝.‎ ‎(2)根据三棱锥的体积公式，得S1H1＋S2H2＋S3H3＋S4H4＝V，即KH1＋2KH2＋3KH3＋4KH4＝3V，∴H1＋2H2＋3H3＋4H4＝.‎ 答案：(1)C　(2)B ‎(1)类比推理是由特殊到特殊的推理，其一般步骤为：‎ ‎①找出两类事物之间的相似性或一致性；‎ ‎②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)．‎ ‎(2)类比推理的关键是找到合适的类比对象．平面几何中的一些定理、公式、结论等，可以类比到立体几何中，得到类似的结论．‎ ‎　在平面几何中：△ABC的∠C内角平分线CE分AB所成线段的比为 ＝.把这个结论类比到空间：在三棱锥ABCD中(如图)，DEC平分二面角ACDB且与AB相交于E，则得到类比的结论是_____________________．‎ 解析：由平面中线段的比转化为空间中面积的比可得 ＝.‎ 答案：＝ ‎ [典题5]　已知函数f(x)＝－(a>0，且a≠1)．‎ ‎(1)证明：函数y＝f(x)的图象关于点对称；‎ ‎(2)求f(－2)＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)的值．‎ 71‎ ‎[听前试做]　(1)证明：函数f(x)的定义域为全体实数，任取一点(x，y)，它关于点对称的点的坐标为(1－x，－1－y)．‎ 由已知y＝－，‎ 则－1－y＝－1＋＝－，‎ f(1－x)＝－＝－＝－＝－，‎ ‎∴－1－y＝f(1－x)，即函数y＝f(x)的图象关于点对称．‎ ‎(2)由(1)知－1－f(x)＝f(1－x)，‎ 即f(x)＋f(1－x)＝－1.‎ ‎∴f(－2)＋f(3)＝－1，f(－1)＋f(2)＝－1，f(0)＋f(1)＝－1.‎ 故f(－2)＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝－3.‎ 演绎推理是由一般到特殊的推理，常用的一般模式为三段论，演绎推理的前提和结论之间有着某种蕴含关系，解题时要找准正确的大前提．一般地，若大前提不明确时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提．‎ ‎　已知函数y＝f(x)满足：对任意a，b∈R，a≠b，都有af(a)＋bf(b)>af(b)＋bf(a)，试证明：f(x)为R上的单调增函数．‎ 证明：设任意x1，x2∈R，取x1x‎1f(x2)＋x‎2f(x1)，‎ ‎∴x1[f(x1)－f(x2)]＋x2[f(x2)－f(x1)]>0，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)>0，‎ ‎∵x10，即f(x2)>f(x1)．‎ ‎∴y＝f(x)为R上的单调增函数．‎ ‎——————————[课堂归纳——感悟提升]————————————————‎ ‎[方法技巧]‎ ‎1．合情推理的过程概括为 ―→―→―→ ‎2．演绎推理是从一般的原理出发，推出某个特殊情况的结论的推理方法，是由一般到特殊的推理，常用的一般模式是三段论．数学问题的证明主要通过演绎推理来进行．‎ ‎ [易错防范]‎ 71‎ ‎1．在进行类比推理时要尽量从本质上去类比，不要被表面现象迷惑，如果只抓住一点表面现象的相似甚至假象就去类比，那么就会犯机械类比的错误．‎ ‎2．合情推理是从已知的结论推测未知的结论，发现与猜想的结论都要经过进一步严格证明．‎ ‎3．演绎推理是由一般到特殊的推理，它常用来证明和推理数学问题，解题时应注意推理过程的严密性，书写格式的规范性．‎ 一、选择题 ‎1．观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝(　　)‎ A．f(x) B．－f(x) C．g(x) D．－g(x)‎ 解析：选D　由所给函数及其导数知，偶函数的导函数为奇函数，因此当f(x)是偶函数时，其导函数应为奇函数，故g(－x)＝－g(x)．‎ ‎2．观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝(　　)‎ A．121 B．‎123 ‎‎ C．231 D．211‎ 解析：选B　法一：由a＋b＝1，a2＋b2＝3，得ab＝－1，代入后三个等式中符合，则a10＋b10＝(a5＋b5)2－‎2a5b5＝123.‎ 法二：令an＝an＋bn，则a1＝1，a2＝3，a3＝4，a4＝7，…，得an＋2＝an＋an＋1，从而a6＝18，a7＝29，a8＝47，a9＝76，a10＝123.‎ ‎3．在平面几何中有如下结论：正三角形ABC的内切圆面积为S1，外接圆面积为S2，则＝，推广到空间可以得到类似结论：已知正四面体PABC的内切球体积为V1，外接球体积为V2，则＝(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选D　正四面体的内切球与外接球的半径之比为1∶3，故＝.‎ ‎4．(2016·陕西商洛期中)对于任意的两个实数对(a，b)和(c，d)，规定：(a，b)＝(c，d)，当且仅当a＝c，b＝d；运算“”为：(a，b)(c，d)＝(ac－bd，bc＋ad)；运算“”为：(a，b)(c，d)＝(a＋c，b＋d)，设p，q∈R，若(1,2)(p，q)＝(5,0)，则(1,2)(p，q)＝(　　)‎ A．(4,0) B．(2,0) C．(0,2) D．(0，－4)‎ 解析：选B　由(1,2)(p，q)＝(5,0)得 71‎ ⇒ 所以(1,2)(p，q)＝(1,2)(1，－2)＝(2,0)．‎ ‎5．(2016·西安五校联考)已知“整数对”按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，则第60个“整数对”是(　　)‎ A．(7,5) B．(5,7) C．(2,10) D．(10,1)‎ 解：选B　依题意，把“整数对”的和相同的分为一组，不难得知第n组中每个“整数对”的和均为n＋1，且第n组共有n个“整数对”，这样的前n组一共有个“整数对”，注意到＜60＜，因此第60个“整数对”处于第11组(每个“整数对”的和为12的组)的第5个位置，结合题意可知每个“整数对”的和为12的组中的各对数依次为：(1,11)，(2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)，…，因此第60个“整数对”是(5,7)．‎ 二、填空题 ‎6．观察下列不等式：‎ ≥2×，‎ ≥×3，‎ ≥×5，‎ ≥2×75，‎ ‎……‎ 由以上不等式，可以猜测：当a>b>0，s、r∈N*时，有≥________.‎ 解析：由已知不等式可知，≥2×＝×2－1，≥×3＝×5－2，≥×5＝×8－3，≥2×75＝×10－5，故猜想当a>b>0，s、r∈N*时，≥s－r.‎ 答案：s－r ‎7．(2016·日照模拟)对于实数x，[x]表示不超过x的最大整数，观察下列等式：‎ ‎[ ]＋[ ]＋[ ]＝3，‎ ‎[ ]＋[ ]＋[ ]＋[ ]＋[ ]＝10，‎ ‎[ ]＋[ ]＋[ ]＋[ ]＋[ ]＋[ ]＋[ ]＝21，‎ 71‎ ‎……‎ 按照此规律第n个等式的等号右边的结果为________．‎ 解析：因为[ ]＋[ ]＋[ ]＝1×3，[ ]＋[ ]＋[ ]＋[ ]＋[ ]＝2×5，[ ]＋[ ]＋[ ]＋[]＋[ ]＋[ ]＋[ ]＝3×7，……，以此类推，第n个等式的等号右边的结果为n(2n＋1)，即2n2＋n.‎ 答案：2n2＋n ‎8．如果函数f(x)在区间D上是凸函数，那么对于区间D内的任意x1，x2，…，xn，都有≤f.若y＝sin x在区间(0，π)上是凸函数，那么在△ABC中，sin A＋sin B＋sin C的最大值是________．‎ 解析：由题意知，凸函数满足 ≤f，‎ 又y＝sin x在区间(0，π)上是凸函数，则sin A＋sin B＋sin C≤3sin＝3sin＝.‎ 答案： 三、解答题 ‎9．定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．已知数列{an}是等和数列，且a1＝2，公和为5.‎ 求：(1)a18的值；‎ ‎(2)该数列的前n项和Sn.‎ 解：(1)由等和数列的定义，数列{an}是等和数列，且a1＝2，公和为5，易知a2n－1＝2，a2n＝3(n＝1,2，…)，故a18＝3.‎ ‎(2)当n为偶数时，‎ Sn＝a1＋a2＋…＋an ‎＝(a1＋a3＋…＋an－1)＋(a2＋a4＋…＋an)‎ ‎＝2＋2＋…＋＋3＋3＋…＋ ‎＝n；‎ 当n为奇数时，‎ 71‎ Sn＝Sn－1＋an＝(n－1)＋2＝n－.‎ 综上所述，Sn＝ ‎10．在Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于D，求证：＝＋.在四面体ABCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想？并说明理由．‎ 解：如图所示，由射影定理AD2＝BD·DC，AB2＝BD·BC，AC2＝BC·DC，∴＝ ‎＝＝.‎ 又BC2＝AB2＋AC2，‎ ‎∴＝＝＋.‎ 猜想，在四面体ABCD中，AB、AC、AD两两垂直，AE⊥平面BCD，则＝＋＋.‎ 证明：如图，连接BE并延长交CD于F，连接AF.‎ ‎∵AB⊥AC，AB⊥AD，‎ ‎∴AB⊥平面ACD.‎ ‎∵AF⊂平面ACD，‎ ‎∴AB⊥AF.‎ 在Rt△ABF中，AE⊥BF，‎ ‎∴＝＋.‎ ‎∵AB⊥平面ACD，∴AB⊥CD.‎ ‎∵AE⊥平面BCD，∴AE⊥CD.又AB与AE交于点A，‎ ‎∴CD⊥平面ABF，∴CD⊥AF.‎ ‎∴在Rt△ACD中＝＋，‎ ‎∴＝＋＋.‎ 71‎ ‎1．(2016·太原模拟)某单位安排甲、乙、丙三人在某月1日至12日值班，每人4天．‎ 甲说：我在1日和3日都有值班；‎ 乙说：我在8日和9日都有值班；‎ 丙说：我们三人各自值班的日期之和相等．‎ 据此可判断丙必定值班的日期是(　　)‎ A．2日和5日 B．5日和6日 C．6日和11日 D．2日和11日 解析：选C　这12天的日期之和S12＝(1＋12)＝78，甲、乙、丙各自的日期之和是26.对于甲，剩余2天日期之和22，因此这两天是10日和12日，故甲在1日，3日，10日，12日有值班；对于乙，剩余2天日期之和是9，可能是2日，7日，也可能是4日，5日，因此丙必定值班的日期是6日和11日．‎ ‎2．如图，将平面直角坐标系中的格点(横、纵坐标均为整数的点)按如下规则标上数字标签：原点处标0，点(1,0)处标1，点(1，－1)处标2，点(0，－1)处标3，点(－1，－1)处标4，点(－1,0)处标5，点(－1,1)处标6，点(0,1)处标7，依此类推，则标签为2 0132的格点的坐标为(　　) ‎ A．(1 006,1 005) ‎ B．(1 007,1 006)‎ C．(1 008,1 007) ‎ D．(1 009,1 008)‎ 解析：选B　因为点(1,0)处标1＝12，点(2,1)处标9＝32，点(3,2)处标25＝52，点(4,3)处标49＝72，依此类推得点(1 007，1 006)处标2 0132.故选B.‎ ‎3．设函数f(x)＝(x>0)，观察：‎ f1(x)＝f(x)＝，‎ f2(x)＝f(f1(x))＝，‎ 71‎ f3(x)＝f(f2(x))＝，‎ f4(x)＝f(f3(x))＝，‎ ‎……‎ 根据以上事实，由归纳推理可得：‎ 当n∈N*且n≥2时，fn(x)＝f(fn－1(x))＝________.‎ 解析：根据题意知，分子都是x，分母中的常数项依次是2,4,8,16，…，可知fn(x)的分母中常数项为2n，分母中x的系数为2n－1，故fn(x)＝f(fn－1(x))＝.‎ 答案： ‎4．(2016·淄博模拟)如图所示的三角形数阵叫“莱布尼茨调和三角形”，它是由整数的倒数组成的，第n行有n个数且两端的数均为(n≥2)，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如＝＋，＝＋，＝＋，则第7行第4个数(从左往右)为________．‎ 解析：设第n行第m个数为a(n，m)，由题意知a(6,1)＝，a(7,1)＝，∴a(7,2)＝a(6,1)－a(7,1)＝－＝，a(6,2)＝a(5,1)－a(6,1)＝－＝，a(7,3)＝a(6,2)－a(7,2)＝－＝，a(6,3)＝a(5,2)－a(6，2)＝－＝，∴a(7,4)＝a(6,3)－a(7,3)＝－＝.‎ 答案： ‎5．对于三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，给出定义：设f′(x)是函数y＝f(x)的导数，f″(x)是f′(x)的导数，若方程f″(x)＝0有实数解x0，则称点(x0，f(x0))为函数y＝f(x 71‎ ‎)的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．若f(x)＝x3－x2＋3x－，请你根据这一发现，‎ ‎(1)求函数f(x)＝x3－x2＋3x－的对称中心；‎ ‎(2)计算f＋f＋f＋f＋…＋f.‎ 解：(1)f′(x)＝x2－x＋3，f″(x)＝2x－1，‎ 由f″(x)＝0，即2x－1＝0，解得x＝.‎ f＝×3－×2＋3×－＝1.‎ 由题中给出的结论，可知函数f(x)＝x3－x2＋3x－的对称中心为.‎ ‎(2)由(1)，知函数f(x)＝x3－x2＋3x－的对称中心为，‎ 所以f＋f＝2，即f(x)＋f(1－x)＝2.‎ 故f＋f＝2，‎ f＋f＝2，‎ f＋f＝2，‎ ‎……‎ f＋f＝2，‎ 所以f＋f＋f＋…＋f＝×2×2 016＝2 016.‎ 第二节　直接证明与间接证明 考纲要求：1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程和特点．‎ ‎2．了解反证法的思考过程和特点．‎ ‎1．直接证明 ‎(1)综合法 71‎ ‎①定义：利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．‎ ‎②框图表示：―→―→―→…―→(P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，Q表示所要证明的结论)．‎ ‎(2)分析法 ‎①定义：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)，这种证明方法叫做分析法．‎ ‎②框图表示：―→―→―→…―→.‎ ‎2．间接证明 反证法：假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．‎ ‎1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)综合法是直接证明，分析法是间接证明．(　　)‎ ‎(2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件．(　　)‎ ‎(3)在解决问题时，常常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综合法展现解决问题的过程．(　　)‎ ‎(4)证明不等式＋＜＋最合适的方法是分析法．(　　)‎ ‎(5)用反证法证明结论“a＞b”时，应假设“a＜b”．(　　)‎ ‎(6)反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾．(　　)‎ 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√　(5)×　(6)×‎ ‎2．用分析法证明：欲使①A>B，只需②C0，证明 －≥a＋－2.‎ ‎[听前试做]　要证 －≥a＋－2，‎ 只需证 ≥－(2－)．‎ 因为a>0，所以－(2－)>0，‎ 所以只需证2≥2，‎ 即2(2－)≥8－4，‎ 只需证a＋≥2.‎ 因为a>0，a＋≥2显然成立当且仅当a＝＝1时等号成立，所以要证的不等式成立．‎ ‎(1)逆向思考是用分析法证题的主要思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件．正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键．‎ ‎(2)证明较复杂的问题时，可以采用两头凑的办法，即通过分析法找出某个与结论等价(或充分)的中间结论，然后通过综合法证明这个中间结论，从而使原命题得证．‎ 已知m>0，a，b∈R，求证：2≤.‎ 证明：∵m>0，∴1＋m>0.‎ 所以要证原不等式成立，只需证(a＋mb)2≤(1＋m)·(a2＋mb2)，‎ 即证m(a2－2ab＋b2)≥0，即证(a－b)2≥0，‎ 而(a－b)2≥0显然成立，故原不等式得证．‎ 反证法的应用是高考的常考内容，题型为解答题，难度适中，为中高档题，且主要有以下几个命题角度：‎ 角度一：证明否定性命题 71‎ ‎[典题3]　已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋Sn＝2.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)求证：数列{an}中不存在三项按原来顺序成等差数列．‎ ‎[听前试做]　(1)当n＝1时，a1＋S1＝‎2a1＝2，则a1＝1.‎ 又an＋Sn＝2，所以an＋1＋Sn＋1＝2，‎ 两式相减得an＋1＝an，‎ 所以{an}是首项为1，公比为的等比数列，‎ 所以an＝.‎ ‎(2)证明：假设存在三项按原来顺序成等差数列，记为ap＋1，aq＋1，ar＋1(pb与ab>c，且a＋b＋c＝0，求证0 B．a－c>0‎ C．(a－b)(a－c)>0 D．(a－b)(a－c)c>a C．c>a>b D．a>c>b 解析：选A　∵a＝－＝，b＝－＝，c＝－＝，‎ 且＋>＋>＋>0，‎ ‎∴a>b>c.‎ ‎5．已知函数f(x)＝x，a，b为正实数，A＝f，B＝f()，C＝f，则A，B，C的大小关系为(　　)‎ A．A≤B≤C B．A≤C≤B C．B≤C≤A D．C≤B≤A 解析：选A　因为≥≥，又f(x)＝x在R上是单调减函数，故f≤f()≤f.‎ 二、填空题 ‎6．用反证法证明命题“a，b∈R，ab可以被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”，那么假设的内容是________．‎ 解析：“至少有n个”的否定是“最多有n－1个”，故应假设a，b中没有一个能被5整除．‎ 答案：a，b中没有一个能被5整除 ‎7．已知点An(n，an)为函数y＝图象上的点，Bn(n，bn)为函数y＝x图象上的点，其中n∈N*，设cn＝an－bn，则cn与cn＋1的大小关系为________．‎ 解析：由条件得cn＝an－bn＝－n＝，‎ ‎∴cn随n的增大而减小，∴cn＋10或f(1)>0，‎ 即2p2－p－1.‎ 由于x1，x2∈，故x1＋x2∈(0，π)．‎ ‎∴cos x1cos x2>0，sin(x1＋x2)>0,1＋cos(x1＋x2)>0，‎ 故只需证明1＋cos(x1＋x2)>2cos x1cos x2，‎ 即证1＋cos x1cos x2－sin x1sin x2>2cos x1cos x2，‎ 即证cos(x1－x2)f.‎ ‎3．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与x轴有两个不同的交点，若f(c)＝0，且00，∴b.‎ 则当n＝k＋1时，·…·1＋>·＝ ‎＝> ‎＝＝.‎ ‎∴当n＝k＋1时，不等式也成立．‎ 由(1)(2)知，对于一切大于1的自然数n，不等式都成立．‎ ‎(1)当遇到与正整数n有关的不等式证明时，应用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法．‎ ‎(2)用数学归纳法证明不等式的关键是由n＝k成立，推证n＝k＋1时也成立，证明时用上归纳假设后，可采用分析法、综合法、求差(求商)比较法、放缩法等证明．‎ 已知数列{an}，an≥0，a1＝0，a＋an＋1－1＝a.求证：当n∈N*时，an0，‎ 所以ak＋10)．同理可得a3＝－.‎ 猜想an＝－(n∈N*)．‎ ‎(2)证明：①由(1)知，当n＝1,2,3时，通项公式成立．‎ ‎②假设当n＝k(k≥3，k∈N*)时，通项公式成立，‎ 即ak＝－.‎ 由于ak＋1＝Sk＋1－Sk＝＋－－，‎ 将ak＝－代入上式，整理得a＋2ak＋1－2＝0，‎ ‎∴ak＋1＝－，‎ 即n＝k＋1时通项公式成立．‎ 由①②可知对所有n∈N*，an＝－都成立．‎ 71‎ ‎“归纳—猜想—证明”的基本步骤是“试验—归纳—猜想—证明”．高中阶段与数列结合的问题是最常见的问题．‎ 角度二：证明存在性问题 ‎[典题4]　设a1＝1，an＋1＝＋b(n∈N*)．‎ ‎(1)若b＝1，求a2，a3及数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)若b＝－1，问：是否存在实数c使得a2n