2017届高考数学总复习 坐标系与参数方程教案 理 新人教A版选修4-4.doc

‎【创新方案】（新课标）2017届高考数学总复习 坐标系与参数方程教案 理 新人教A版选修4-4‎ 第一节　坐　标　系 考纲要求：1.理解坐标系的作用，了解平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况．‎ ‎2．了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置．‎ ‎3．理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．‎ ‎4．能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)的方程，通过比较这些图形在极坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义．‎ ‎1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．‎ ‎2．极坐标系 ‎(1)极坐标系的概念 ‎①极坐标系 如图所示，在平面内取一个定点O，点O叫做极点，自极点O引一条射线Ox，Ox叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．‎ ‎②极坐标 一般地，没有特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数．‎ ‎③点与极坐标的关系 一般地，极坐标(ρ，θ)与(ρ，θ＋2kπ)(k∈Z)表示同一个点，特别地，极点O的坐标为(0，θ)(θ∈R)，和直角坐标不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示．‎ 18‎ 如果规定ρ＞0,0≤θ＜2π，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标(ρ，θ) 表示；同时，极坐标(ρ，θ)表示的点也是唯一确定的．‎ ‎(2)极坐标与直角坐标的互化 设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(ρ，θ)，则它们之间的关系为： ‎3．常见曲线的极坐标方程 曲线 图形 极坐标方程 圆心在极点，半径为r的圆 ρ＝r(0≤θ＜2π)‎ 圆心为(r,0)，半径为r的圆 ρ＝2rcos θ－≤θ≤ 圆心为，半径为r的圆 ρ＝2rsin_θ(0≤θ＜π)‎ 过极点，倾斜角为α的直线 ‎(1)θ＝α(ρ∈R) 或θ＝π＋α(ρ∈R)；(2)θ＝α和 θ＝π＋α 过点(a,0)，与极轴垂直的直线 ρcos θ＝a－＜θ＜ 过点，与极轴平行的直线 ρsin_θ＝a(0＜θ＜π)‎ ‎1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)在伸缩变换下，直线仍然变成直线，圆仍然变成圆．(　　)‎ ‎(2)在伸缩变换下，椭圆可变为圆，圆可变为椭圆．(　　)‎ ‎(3)过极点，倾斜角为α的直线的极坐标方程可表示为θ＝α或 θ＝π＋α.(　　)‎ ‎(4)圆心在极轴上的点(a,0)处，且过极点O的圆的极坐标方程为ρ＝2asin θ.(　　)‎ 答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)×‎ ‎2．设平面上的伸缩变换的坐标表达式为则在这一坐标变换下正弦曲线y＝sin x的方程变为________．‎ 解析：由知 代入y＝sin x中得y′＝3sin 2x′.‎ 18‎ 答案：y′＝3sin 2x′‎ ‎3．点P的直角坐标为(1，－)，则点P的极坐标为________．‎ 解析：因为点P(1，－)在第四象限，与原点的距离为2，且OP与x轴所成的角为－，所以点P的极坐标为.‎ 答案： ‎4．曲线ρ＝4sin θ与ρ＝2的交点坐标是________________．‎ 解析：由 ‎∴sin θ＝，∴θ＝或.‎ 答案：或 ‎5．在极坐标系中，圆心在(，π)且过极点的圆的方程为________．‎ 解析：如图，O为极点，OB为直径，A(ρ，θ)，则∠ABO＝θ－，‎ OB＝2＝，‎ 化简得ρ＝－2cos θ.‎ 答案：ρ＝－2cos θ ‎6．在极坐标系中，曲线C1：ρ＝1与曲线C2：ρ＝a(a>0)的一个交点在极轴上，则a＝________.‎ 解析：曲线C1的直角坐标方程为x＋y＝1，曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2＝a2，曲线C1与x轴的交点坐标为，此点也在曲线C2上，代入解得a＝.‎ 答案： ‎ [典题1]　(1)在同一平面直角坐标系中，已知伸缩变换φ：求点A经过φ变换所得的点A′的坐标．‎ ‎(2)求直线l：y＝6x经过φ：变换后所得到的直线l′的方程．‎ 18‎ ‎[听前试做]　(1)设A′(x′，y′)，由伸缩变换φ：得到由于点A的坐标为，‎ 于是x′＝3×＝1，y′＝×(－2)＝－1，‎ ‎∴A′(1，－1)为所求．‎ ‎(2)设直线l′上任意一点P′(x′，y′)，‎ 由上述可知，将代入y＝6x得 ‎2y′＝6×，∴y′＝x′，即y＝x为所求．‎ 平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换来表示．在伸缩变换下，直线仍然变成直线，抛物线仍然变成抛物线，双曲线仍然变成双曲线，圆可以变成椭圆，椭圆也可以变成圆．‎ 求双曲线C：x2－＝1经过φ：变换后所得曲线C′的焦点坐标．‎ 解：设曲线C′上任意一点P′(x′，y′)，由上述可知，将代入x2－＝1得－＝1，化简得－＝1，即－＝1为曲线C′的方程，可见仍是双曲线，则所求焦点坐标为F1(－5,0)，F2(5,0)．‎ ‎ [典题2]　(1)(2015·广东高考改编)已知直线l的极坐标方程为2ρsin＝，点A的极坐标为A，求点A到直线l的距离．‎ ‎(2)(2015·江苏高考)已知圆C的极坐标方程为ρ2＋2ρsin－4＝0，求圆C的半径．‎ ‎[听前试做]　(1)由2ρsin＝，‎ 得2ρ＝，∴y－x＝1.‎ 由点A的极坐标为得点A的直角坐标为(2，－2)，∴d＝＝.‎ ‎(2)以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O，以极轴为x轴的正半轴，建立直角坐标系xOy.‎ 18‎ 圆C的极坐标方程为 ρ2＋2ρ－4＝0，‎ 化简，得ρ2＋2ρsin θ－2ρcos θ－4＝0.‎ 则圆C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＋2y－4＝0，‎ 即(x－1)2＋(y＋1)2＝6，‎ 所以圆C的半径为.‎ 极坐标方程与普通方程互化技巧 ‎(1)巧用极坐标方程两边同乘以ρ或同时平方技巧，将极坐标方程构造成含有ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，然后利用公式代入化简得到普通方程．‎ ‎(2)巧借两角和差公式，转化ρsin(θ±α)或ρ＝cos(θ±α)的结构形式，进而利用互化公式得到普通方程．‎ ‎(3)将直角坐标方程中的x转化为ρcos θ，将y换成ρsin θ，即可得到其极坐标方程．‎ ‎1．(1)把点M的极坐标化成直角坐标；‎ ‎(2)把点M的直角坐标(－，－1)化成极坐标．‎ 解：(1)∵x＝－5cos＝－，y＝－5sin＝－，‎ ‎∴点M的直角坐标是.‎ ‎(2)ρ＝＝＝2，‎ tan θ＝＝.‎ ‎∵点M在第三象限，ρ>0，‎ ‎∴最小正角θ＝.‎ 因此，点M的极坐标是.‎ ‎2．⊙O1和⊙O2的极坐标方程分别为ρ＝4cos θ，ρ＝－4sin θ.‎ ‎(1)把⊙O1和⊙O2的极坐标方程化为直角坐标方程；‎ ‎(2)求经过⊙O1，⊙O2交点的直线的直角坐标方程．‎ 解：以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位．‎ 18‎ ‎(1)ρ＝4cos θ，两边同乘以ρ，得ρ2＝4ρcos θ；ρ＝－4sin θ，两边同乘以ρ，得ρ2＝－4ρsin θ.‎ 由ρcos θ＝x，ρsin θ＝y，ρ2＝x2＋y2，‎ 得⊙O1，⊙O2的直角坐标方程分别为x2＋y2－4x＝0和x2＋y2＋4y＝0.‎ ‎(2) ‎①－②得－4x－4y＝0，即x＋y＝0为所求直线方程．‎ ‎[典题3]　(2015·新课标全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，直线C1：x＝－2，圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎(1)求C1，C2的极坐标方程； ‎ ‎(2)若直线C3的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．‎ ‎[听前试做]　(1)因为x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，‎ 所以C1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，‎ C2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0.‎ ‎(2)将θ＝代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得 ρ2－3ρ＋4＝0，解得ρ1＝2，ρ2＝.‎ 故ρ1－ρ2＝，即|MN|＝.‎ 由于C2的半径为1，所以△C2MN的面积为.‎ 在已知极坐标方程求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，或用极坐标解决较麻烦，可将极坐标方程转化为直角坐标方程解决．‎ ‎1．在极坐标系下，已知圆O：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l：‎ ρsin＝.‎ ‎(1)求圆O和直线l的直角坐标方程；‎ ‎(2)当θ∈(0，π)时，求直线l与圆O公共点的一个极坐标．‎ 解：(1)圆O：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，‎ 圆O的直角坐标方程为：x2＋y2＝x＋y，‎ 即x2＋y2－x－y＝0，‎ 18‎ 直线l：ρsin＝，即ρsin θ－ρcos θ＝1，‎ 则直线l的直角坐标方程为：y－x＝1，即x－y＋1＝0.‎ ‎(2)由得故直线l与圆O公共点的一个极坐标为.‎ ‎2．在极坐标系中，曲线C1和C2的方程分别为ρsin2θ＝cos θ和ρsin θ＝1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，求曲线C1和C2的交点的直角坐标．‎ 解：由ρsin2θ＝cos θ⇒ρ2sin2θ＝ρcos θ⇒y2＝x，‎ 又由ρsin θ＝1⇒y＝1，联立⇒ 故曲线C1和C2交点的直角坐标为(1,1)．‎ ‎—————————————[课堂归纳——感悟提升]——————————————‎ ‎[方法技巧]‎ 求曲线的极坐标方程的步骤：‎ ‎(1)建立适当的极坐标系，设P(ρ，θ)是曲线上任意一点；‎ ‎(2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关系式；‎ ‎(3)将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程．‎ ‎[易错防范]‎ ‎1．简单曲线的极坐标方程可结合极坐标系中ρ和θ的具体含义求出，也可利用极坐标方程与直角坐标方程的互化公式得出．同直角坐标方程一样，由于建系的不同，曲线的极坐标方程也会不同．在没有充分理解极坐标的前提下，可先化成直角坐标解决问题．‎ ‎2．把直角坐标化为极坐标，求极角θ时，应注意判断点P所在的象限(即角θ的终边的位置)，以便正确地求出角θ.‎ ‎1．在极坐标系中，求直线ρ(cos θ－sin θ)＝2与圆ρ＝4sin θ的交点的极坐标．‎ 解：ρ(cos θ－sin θ)＝2化为直角坐标方程为x－y＝2，即y＝x－2.‎ ρ＝4sin θ可化为x2＋y2＝4y，‎ 把y＝x－2代入x2＋y2＝4y，‎ 得4x2－8x＋12＝0，即x2－2x＋3＝0，‎ 所以x＝，y＝1.‎ 18‎ 所以直线与圆的交点坐标为(，1)，化为极坐标为.‎ ‎2．在极坐标系中，求曲线ρ＝4cos上任意两点间的距离的最大值．‎ 解：由ρ＝4cos可得ρ2＝4ρ＝2ρcos θ＋2ρsin θ，即得x2＋y2＝2x＋2y，配方可得(x－1)2＋(y－)2＝4，该圆的半径为2，则圆上任意两点间距离的最大值为4.‎ ‎3．在极坐标系中，已知圆C经过点P，圆心为直线ρsin＝－与极轴的交点，求圆C的极坐标方程．‎ 解：在ρsin＝－中令θ＝0，得ρ＝1，所以圆C的圆心坐标为(1,0)．‎ 因为圆C经过点P，‎ 所以圆C的半径PC＝ ＝1，于是圆C过极点，所以圆C的极坐标方程为ρ＝2cos θ.‎ ‎4．已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－2ρcos＝2.‎ ‎(1)把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程；‎ ‎(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程．‎ 解：(1)由ρ＝2知ρ2＝4，所以x2＋y2＝4；‎ 因为ρ2－2ρcos＝2，‎ 所以ρ2－2ρ＝2，‎ 所以x2＋y2－2x－2y－2＝0.‎ ‎(2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x＋y＝1.‎ 化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1，‎ 即ρsin＝.‎ ‎5．(2016·贵州联考)已知在一个极坐标系中点C的极坐标为.‎ ‎(1)求出以C为圆心，半径长为2的圆的极坐标方程(写出解题过程)并画出图形；‎ ‎(2)在直角坐标系中，以圆C所在极坐标系的极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，点P是圆C上任意一点，Q(5，－)，M是线段PQ的中点，当点P在圆C 18‎ 上运动时，求点M的轨迹的普通方程．‎ 解：(1)如图，设圆C上任意一点A(ρ，θ)，则∠AOC＝θ－或－θ.‎ 由余弦定理得，4＋ρ2－4ρcosθ－＝4，‎ ‎∴圆C的极坐标方程为 ρ＝4cos.‎ 作图如图所示．‎ ‎(2)在直角坐标系中，点C的坐标为(1，)，可设圆C上任意一点P(1＋2cos α，＋2sin α)，‎ 又令M(x，y)，由Q(5，－)，M是线段PQ的中点，‎ 得点M的轨迹的参数方程为(α为参数)，即(α为参数)，‎ ‎∴点M的轨迹的普通方程为(x－3)2＋y2＝1.‎ ‎6．已知直线l：ρsin＝4和圆C：ρ＝2kcos(k≠0)，若直线l上的点到圆C上的点的最小距离等于2.求实数k的值并求圆心C的直角坐标．‎ 解：∵ρ＝kcos θ－ksin θ，‎ ‎∴ρ2＝kρcos θ－kρsin θ，‎ ‎∴圆C的直角坐标方程为x2＋y2－kx＋ky＝0，‎ 即2＋2＝k2，‎ ‎∴圆心的直角坐标为.‎ ‎∵ρsin θ·－ρcos θ·＝4，‎ ‎∴直线l的直角坐标方程为x－y＋4＝0，‎ ‎∴－|k|＝2.‎ 即|k＋4|＝2＋|k|，‎ 两边平方，得|k|＝2k＋3，‎ 18‎ ‎∴或 解得k＝－1，故圆心C的直角坐标为.‎ 第二节　参 数 方 程 考纲要求：1.了解参数方程，了解参数的意义．‎ ‎2．能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程．‎ ‎1．参数方程 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数：并且对于t的每一个允许值，由方程组所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么方程就叫做这条曲线的参数方程，变数t叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程．‎ ‎2．直线、圆、椭圆的参数方程 ‎(1)过点M(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数)．‎ ‎(2)圆心在点M0(x0，y0)，半径为r的圆的参数方程为(θ为参数)．‎ ‎(3)椭圆＋＝1(a＞b＞0)的参数方程为(φ为参数)．‎ ‎1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)参数方程(t≥1)表示的曲线为直线．(　　)‎ ‎(2)参数方程当m为参数时表示直线，当θ为参数时表示的曲线为圆．(　　)‎ ‎(3)直线(t为参数)的倾斜角α为30°.(　　)‎ ‎(4)参数方程表示的曲线为椭圆．(　　)‎ 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×‎ ‎2．参数方程(t为参数)化为普通方程为________．‎ 解析：∵x＝，‎ y＝＝ ‎＝4－3×＝4－3x.‎ 又x＝＝ 18‎ ‎＝2－∈[0,2)，‎ ‎∴x∈[0,2)，‎ ‎∴所求的普通方程为3x＋y－4＝0(x∈[0,2))．‎ 答案：3x＋y－4＝0(x∈[0,2))‎ ‎3．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1和C2的参数方程分别为和(t为参数)，则曲线C1与C2的交点坐标为________．‎ 解析：由C1得x2＋y2＝5，且　①‎ 由C2得x＝1＋y，　②‎ ‎∴由①②联立解得或(舍)‎ 答案：(2,1)‎ ‎4．直线(t为参数)与圆(θ为参数)相切，则切线的倾斜角为________．‎ 解析：直线的普通方程为bx－ay－4b＝0，圆的普通方程为(x－2)2＋y2＝3，因为直线与圆相切，则圆心(2,0)到直线的距离为，从而有 ＝，即‎3a2＋3b2＝4b2，所以b＝±a，而直线的倾斜角α的正切值tan α＝，所以tan α＝±，因此切线的倾斜角为或.‎ 答案：或 ‎[典题1]　将下列参数方程化为普通方程．‎ ‎(1)(t为参数)；‎ ‎(2)(θ为参数)．‎ ‎[听前试做]　(1)∵2＋2＝1，‎ ‎∴x2＋y2＝1.‎ ‎∵t2－1≥0，∴t≥1或t≤－1.‎ 又x＝，∴x≠0.‎ 当t≥1时，0