2018届高考数学（理）大一轮复习教师用书：第三章第三节导数与函数的极值、最值（含解析）.doc

第三节导数与函数的极值、最值 本节主要包括2个知识点：‎ ‎1.利用导数解决函数的极值问题；‎ ‎2.利用导数解决函数的最值问题.‎ 突破点(一)　利用导数解决函数的极值问题 基础联通 抓主干知识的“源”与“流” ‎ ‎1．函数的极小值 函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近的其他点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．‎ ‎2．函数的极大值 函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近的其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．‎ ‎3．函数的极值 极小值点和极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值.‎ 考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”‎ 根据函数图象判断函数极值的情况 ‎[例1]　设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是(　　)‎ A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)‎ B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)‎ C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)‎ D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)‎ ‎[解析]　由图可知，当x＜－2时，f′(x)＞0；当－2＜x＜1时，f′(x)＜0；当1＜x＜2时，f′(x)＜0；当x＞2时，f′(x)＞0.由此可以得到函数f(x)在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值．‎ ‎[答案]　D ‎[方法技巧]‎ 知图判断函数极值情况的策略 知图判断函数极值情况的思路是：先找导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号．导函数为正的区间是函数的增区间，导函数为负的区间是函数的减区间，导函数图象与x轴交点的横坐标为函数的极值点．‎ ‎　‎ 求函数的极值 ‎[例2]　(2017·桂林、崇左联考)设a>0，函数f(x)＝x2－(a＋1)x＋aln x.‎ ‎(1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点(3，f(3))处切线的斜率；‎ ‎(2)求函数f(x)的极值．‎ ‎[解]　(1)由已知x>0.当a＝2时，f′(x)＝x－3＋，‎ ‎∴曲线y＝f(x)在点(3，f(3))处切线的斜率为f′(3)＝.‎ ‎(2)f′(x)＝x－(a＋1)＋ ‎＝＝.‎ 由f′(x)＝0得x＝1或x＝a.‎ ‎①若01，当x∈(0,1)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增；‎ 当x∈(1，a)时，f′(x)0，函数f(x)单调递增．‎ ‎∴当x＝1时，f(x)取极大值f(1)＝－a－；‎ 当x＝a时，f(x)取极小值f(a)＝－a2－a＋aln a.‎ ‎③当a＝1时，x>0时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增，f(x)没有极值．‎ 综上，当00，从而c>或c