2018届高考数学（理）大一轮复习教师用书：第四章第四节函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象及三角函数模型的简单应用（含解析）.doc

第四节函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用 本节主要包括2个知识点： ‎1.函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象；‎ ‎2.三角函数模型的简单应用.‎ 突破点(一)　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象 基础联通 抓主干知识的“源”与“流” ‎ ‎1．y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念 y＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0)‎ 振幅 周期 频率 相位 初相 A T＝ f＝＝ ωx＋φ φ ‎2.用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图 用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：‎ x ‎－ ‎－＋ － ωx＋φ ‎0‎ π ‎2π y＝Asin(ωx＋φ)‎ ‎0‎ A ‎0‎ ‎－A ‎0‎ ‎3.由函数y＝sin x的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种方法 考点贯通 抓高考命题的“形”与“神” ‎ 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换 ‎1.“五点法”画图 ‎(1)y＝sin x的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)，图象如图①所示．‎ ‎(2)y＝cos x的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)，图象如图②所示．‎ ‎2．三角函数图象的变换 函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k(A>0，ω>0)中，参数A，ω，φ，k的变化引起图象的变换：A的变化引起图象中振幅的变换，即纵向伸缩变换；ω的变化引起周期的变换，即横向伸缩变换；φ的变化引起左右平移变换，k的变化引起上下平移变换．图象平移遵循的规律为：“左加右减，上加下减”．‎ ‎[例1]　某同学用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：‎ ωx＋φ ‎0‎ π ‎2π x Asin(ωx＋φ)‎ ‎0‎ ‎5‎ ‎－5‎ ‎0‎ ‎(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f(x)的解析式；‎ ‎(2)将y＝f(x)图象上所有点向左平移个单位长度，得到y＝g(x)的图象，求y＝g(x)的图象离原点O最近的对称中心；‎ ‎(3)说明函数f(x)的图象是由y＝sin x的图象经过怎样的变换得到的．‎ ‎[解]　(1)根据表中已知数据，解得A＝5，ω＝2，φ＝－，数据补全如下表：‎ ωx＋φ ‎0‎ π ‎2π x Asin(ωx＋φ)‎ ‎0‎ ‎5‎ ‎0‎ ‎－5‎ ‎0‎ 则函数解析式为f(x)＝5sin.‎ ‎(2)由(1)知f(x)＝5sin，‎ 因此g(x)＝5sin＝5sin.‎ 因为y＝sin x的对称中心为(kπ，0)，k∈Z，‎ 令2x＋＝kπ，k∈Z，解得x＝－，k∈Z，‎ 即y＝g(x)图象的对称中心为，k∈Z，‎ 其中离原点O最近的对称中心为.‎ ‎(3)把y＝sin x的图象上所有的点向右平移个单位长度，得到y＝sin的图象，再把y＝sin的图象上的点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到y＝sin的图象，最后把y＝sin上所有点的纵坐标伸长到原来的5倍(横坐标不变)，即可得到y＝5sin2x－的图象．‎ ‎[易错提醒]‎ ‎(1)由y＝sin ωx到y＝sin(ωx＋φ)的变换：向左平移(ω>0，φ>0)个单位长度而非φ个单位长度．‎ ‎(2)平移前后两个三角函数的名称如果不一致，应先利用诱导公式化为同名函数，ω为负时应先变成正值．　‎ 由图象求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式 求函数解析式y＝Asin(ωx＋φ)＋k(A>0，ω>0)是常见问题，一般和函数周期、最值及图象变换相结合．由图象(或性质)求三角函数解析式的方法：‎ ‎(1)A，k由最值确定，在一个周期内(或者从最高点到相邻的最低点)，若最大值为M，最小值为m，则A＝，k＝.特别地，当k＝0时，A＝M＝－m.‎ ‎(2)ω由周期T确定，即由＝T求出．常用的确定T值的方法如下：‎ ‎①曲线与x轴的相邻两个交点之间的距离为；‎ ‎②最高点的横坐标和与其相邻的最低点的横坐标之间的距离为；‎ ‎③相邻的两个最低点(最高点)之间的距离为T；‎ ‎④有时还可以从图中读出或者的长度来确定ω.‎ ‎(3)φ值的确定有三种途径：‎ 代入法 将图象中一个已知点代入或将图象与直线y＝b的交点代入求解(此时要注意交点在增区间还是在减区间)‎ 五点法 由特殊点确定，可以利用最高点或最低点，也可以利用零点．利用零点时，通常把“五点法”中的第一个点(x0,0)(初始点)作为突破口，由“第一个点”(图象上升时与x轴的交点)可得等式ωx0＋φ＝2kπ(k∈Z)；由“第三个点”(图象下降时与x轴的交点)可得等式为ωx0＋φ＝π＋2kπ(k∈Z)．再由已知条件中φ的具体范围确定相应的φ值 变换法 运用逆向思维，由图象变换来确定．由f(x)＝Asin(ωx＋φ)＝Asin ω知，“五点法”中的第一个点就是由原点平移而来的，可从图中读出此点横坐标，令其等于－，即可得到φ值 ‎　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎[例2]　(1)(2017·石家庄模拟)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)A>0，ω>0，|φ|