2018届高考数学（理）大一轮复习教师用书：第四章第五节三角恒等变换（含解析）.doc

第五节本节主要包括3个知识点： ‎1.三角函数的化简求值；　2.三角函数的条件求值；‎ ‎3.三角恒等变换的综合问题.‎ 三角恒等变换 突破点(一)　三角函数的化简求值 基础联通 抓主干知识的“源”与“流” ‎ ‎1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 C(α－β)‎ cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β C(α＋β)‎ cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β S(α－β)‎ sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β S(α＋β)‎ sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β T(α－β)‎ tan(α－β)＝；变形：tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)‎ T(α＋β)‎ tan(α＋β)＝；变形：tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)‎ ‎2.二倍角公式 S2α sin 2α＝2sin_αcos_α；变形：1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，1－sin 2α＝(sin α－cos α)2‎ C2α cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；‎ 变形：cos2α＝，sin2α＝ T2α tan 2α＝ 考点贯通 抓高考命题的“形”与“神” ‎ 三角函数式的化简 ‎1.三角函数式化简的一般要求：(1)函数名称尽可能少；(2)项数尽可能少；(3)尽可能不含根式；(4)次数尽可能低、尽可能求出值．‎ ‎2．常用的基本变换方法有：异角化同角、异名化同名、异次化同次，降幂或升幂，“‎1”‎的代换，弦切互化等．‎ ‎[例1]　已知α∈(0，π)，化简：‎ ＝________.‎ ‎[解析]　原式＝‎ .‎ 因为α∈(0，π)，所以∈，‎ 所以cos>0，‎ 所以原式＝ ‎＝· ‎＝cos2－sin2＝cos α.‎ ‎[答案]　cos α ‎[方法技巧]　　三角函数式的化简要遵循“三看”原则 三角函数的给角求值 ‎[例2]　求值：(1)－sin 10°－tan 5°；‎ ‎(2)sin 50°(1＋tan 10°)．‎ ‎[解]　(1)原式＝－sin 10°－ ‎＝－sin 10°· ‎＝－sin 10°· ‎＝－2cos 10°＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝＝.‎ ‎(2)sin 50°(1＋tan 10°)＝sin 50°(1＋tan 60°·tan 10°)‎ ‎＝sin 50°· ‎＝sin 50°· ‎＝ ‎＝＝＝1.‎ ‎[方法技巧]‎ 给角求值问题的解题规律 解决给角求值问题的关键是两种变换：一是角的变换，注意各角之间是否具有和差关系、互补(余)关系、倍半关系，从而选择相应公式进行转化，把非特殊角的三角函数相约或相消，从而转化为特殊角的三角函数；二是结构变换，在熟悉各种公式的结构特点、符号特征的基础上，结合所求式子的特点合理地进行变形．‎ 能力练通 抓应用体验的“得”与“失”‎ ‎1.计算：＝(　　)‎ A.　　　　　　 B. C. D．－ 解析：选A　 ‎＝ ‎＝＝.‎ ‎2.(1＋tan 18°)·(1＋tan 27°)的值是(　　)‎ A. B．1＋ C．2 D．2(tan 18°＋tan 27°)‎ 解析：选C　原式＝1＋tan 18°＋tan 27°＋tan 18°tan 27°＝1＋tan 18°tan 27°＋tan 45°(1－tan 18°tan 27°)＝2，故选C.‎ ‎3.化简：＝________.‎ 解析： ‎＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝＝tan α.‎ 答案：tan α ‎4.化简：＝________.‎ 解析：原式＝ ‎＝ ‎＝＝cos 2x.‎ 答案：cos 2x 突破点(二)　三角函数的条件求值 考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”‎ 给值求值问题 ‎[例1]　(2017·合肥模拟)已知cos·cos－α＝－，α∈.‎ ‎(1)求sin 2α的值；‎ ‎(2)求tan α－的值．‎ ‎[解]　(1)∵cos·cos＝cos＋α·sin＝sin＝－，‎ ‎∴sin＝－.‎ ‎∵α∈，∴2α＋∈，‎ ‎∴cos＝－，∴sin 2α＝sin ‎＝sincos－cossin＝.‎ ‎(2)∵α∈，∴2α∈，‎ 又由(1)知sin 2α＝，∴cos 2α＝－.‎ ‎∴tan α－＝－＝＝＝－2×＝2.‎ ‎[方法技巧]‎ 给值求值问题的求解思路 ‎(1)先化简所求式子；‎ ‎(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手)；‎ ‎(3)将已知条件代入所求式子，化简求值．‎ 给值求角问题 ‎[例2]　(1)设α，β为钝角，且sin α＝，cos β＝－，则α＋β的值为(　　)‎ A. B. ‎ C. D.或 ‎(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，tan β＝－，则2α－β的值为________．‎ ‎[解析]　(1)∵α，β为钝角，sin α＝，cos β＝－，‎ ‎∴cos α＝，sin β＝，‎ ‎∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝>0.‎ 又α＋β∈(π，2π)，∴α＋β∈，‎ ‎∴α＋β＝.‎ ‎(2)∵tan α＝tan[(α－β)＋β]＝ ‎＝＝>0，‎ ‎∴0