第一节平面向量的概念及线性运算
本节主要包括2个知识点：
1.平面向量的有关概念；
2.平面向量的线性运算.
突破点(一) 平面向量的有关概念
基础联通 抓主干知识的“源”与“流”
名称
定义
备注
向量
既有大小又有方向的量叫做向量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)
平面向量是自由向量，平面向量可自由平移
零向量
长度为0的向量；其方向是任意的
记作0
单位向量
长度等于1个单位的向量
非零向量a的单位向量为±
平行向量
方向相同或相反的非零向量，又叫做共线向量
0与任一向量平行或共线
相等向量
长度相等且方向相同的向量
两向量只有相等或不等，不能比较大小
相反向量
长度相等且方向相反的向量
0的相反向量为0
考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”
平面向量的有关概念
[典例] (1)设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使＝成立的充分条件是( )
A．a＝－b B．a∥b
C．a＝2b D．a∥b且|a|＝|b|
(2)设a0为单位向量，下列命题中：①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|·a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.假命题的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
[解析] (1)因为向量的方向与向量a相同，向量的方向与向量b相同，且＝，所以向量a与向量b方向相同，故可排除选项A，B，D.当a＝2b时，＝＝，故a＝2b是＝
成立的充分条件．
(2)向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.
[答案] (1)C (2)D
[易错提醒]
(1)两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小；
(2)大小与方向是向量的两个要素，分别是向量的代数特征与几何特征；
(3)向量可以自由平移，任意一组平行向量都可以移到同一直线上．
能力练通 抓应用体验的“得”与“失”
1．给出下列命题：
①若|a|＝|b|，则a＝b；
②若A，B，C，D是不共线的四点，则＝是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；
③若a＝b，b＝c，则a＝c；
④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b.
其中正确命题的序号是( )
A．②③ B．①② C．③④ D．①④
解析：选A ①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同．②正确．∵＝，∴||＝||且∥.又A，B，C，D是不共线的四点，∴四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则∥且||＝||，因此，＝.③正确．∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同，又b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同，∴a，c的长度相等且方向相同，故a＝c.④不正确．当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件．综上所述，正确命题的序号是②③.故选A.
2．给出下列命题：
①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；
②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；
③λa＝0(λ为实数)，则λ必为零；
④λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．
其中错误的命题的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：选C ①错误，两向量共线要看其方向而不是起点或终点．②正确，因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小．③错误，当a＝0时，不论λ为何值，λa＝0.④错误，当λ＝μ＝0时，λa＝μb＝0，此时，a与b可以是任意向量．错误的命题有3个，故选C.
3．如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，则图中与相等的向量有________．
答案：，，
4．如图，△ABC和△A′B′C′是在各边的处相交的两个全等的等边三角形，设△ABC的边长为a，图中列出了长度均为的若干个向量，则
(1)与向量相等的向量有________；
(2)与向量共线，且模相等的向量有________；
(3)与向量共线，且模相等的向量有________．
解析：向量相等⇔向量方向相同且模相等．
向量共线⇔表示有向线段所在的直线平行或重合．
答案：(1) ， (2)，，，，
(3)，，，，
突破点(二) 平面向量的线性运算
基础联通 抓主干知识的“源”与“流”
1．向量的线性运算
向量运算
定义
法则(或几何意义)
运算律
加法
求两个向量和的运算
交换律：
a＋b＝b＋a；
结合律：
(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法
求a与b的相反向量－b的和的运算
a－b＝a＋(－b)
数乘
求实数λ与向量a的积的运算
|λa|＝|λ||a|，
当λ＞0时，λa与a的方向相同；当λ＜0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0
λ(μ a) ＝(λ μ)a；
(λ＋μ)a＝λa＋μa；
λ(a＋b) ＝λa＋λb
2.平面向量共线定理
向量b与a(a≠0)共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa.
考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”
平面向量的线性运算
[例1] (1)在△ABC中，＝c，＝b.若点D满足＝2，则＝( )
A.b＋c B.c－b
C.b－c D.b＋c
(2)在△ABC中，N是AC边上一点且＝，P是BN上一点，若＝m＋，则实数m的值是________．
[解析] (1)由题可知＝－＝b－c，∵＝2，∴＝＝(b－c)，则＝＋＝c＋(b－c)＝b＋c，故选D.
(2)如图，因为＝，所以＝，所以＝m＋＝m＋.因为B，P，N三点共线，所以m＋＝1，则m＝.
[答案] (1)D (2)
[方法技巧]
1．平面向量的线性运算技巧
(1)不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解．
(2)含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解．
2．利用平面向量的线性运算求参数的一般思路
(1)没有图形的准确作出图形，确定每一个点的位置．
(2)利用平行四边形法则或三角形法则进行转化，转化为要求的向量形式．
(3)比较，观察可知所求．
平面向量共线定理的应用
[例2] 设两个非零向量a和b不共线．
(1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)．求证：A，B，D三点共线．
(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．
[解] (1)证明：因为＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，
所以＝＋＝2a＋8b＋3(a－b)＝5(a＋b)＝5，所以，共线．
又与有公共点B，
所以A，B，D三点共线．
(2)因为ka＋b与a＋kb共线，
所以存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，
即解得k＝±1.
即k＝1或－1时，ka＋b与a＋kb共线．
[方法技巧]
平面向量共线定理的三个应用
(1)证明向量共线：对于非零向量a，b，若存在实数λ，使a＝λb，则a与b共线．
(2)证明三点共线：若存在实数λ，使＝λ，与有公共点A，则A，B，C三点共线．
(3)求参数的值：利用向量共线定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值．
[提醒] 证明三点共线时，需说明共线的两向量有公共点．
能力练通 抓应用体验的“得”与“失”
1.如图所示，下列结论正确的是( )
①＝a＋b；②＝a－b；③＝a－b；④＝a＋b.
A．①② B．③④
C．①③ D．②④
解析：选C 根据向量的加法法则，得＝a＋b，故①正确；根据向量的减法法则，得＝a－b，故②错误；＝＋＝a＋b－2b＝a－b，故③正确；＝＋＝a＋b－b＝a＋b，故④错误．故选C.
2.已知a，b是不共线的向量，＝λa＋b，＝a＋μb，λ，μ∈R，则A，B，C三点共线的充要条件为( )
A．λ＋μ＝2 B．λ－μ＝1
C．λμ＝－1 D．λμ＝1
解析：选D ∵A，B，C三点共线，∴∥，设＝m(m≠0)，则λa＋b＝m(a＋μb)，∴ ∴λμ＝1，故选D.
3.在平行四边形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，DE交AF于H，记，分别为a，b，则＝( )
A.a－b B.a＋b
C．－a＋b D．－a－b
解析：选B 如图，过点F作BC的平行线交DE于G，则G是DE的中点，且＝＝，∴＝，则△AHD∽△FHG，从而＝，∴＝，＝＋＝b＋a，∴＝＝a＋b，故选B.
4.已知a，b是两个不共线的非零向量，且a与b起点相同．若a，tb，(a＋b)
三向量的终点在同一直线上，则t＝________.
解析：∵a，tb，(a＋b)三向量的终点在同一条直线上，且a与b起点相同．∴a－tb与a－(a＋b)共线，即a－tb与a－b共线，∴存在实数λ，使a－tb＝λ，∴解得λ＝，t＝，若a，tb，(a＋b)三向量的终点在同一条直线上，则t＝.
答案：
[全国卷5年真题集中演练——明规律]
1.(2015·新课标全国卷Ⅰ)设D为△ABC所在平面内一点，＝3，则( )
A．＝－＋
B．＝－
C．＝＋
D．＝－
解析：选A ＝＋＝＋＝＋(－)＝－＝－＋，故选A.
2．(2014·新课标全国卷Ⅰ)设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则＋＝( )
A． B. C． D.
解析：选A ＋＝(＋)＋(＋)＝
(＋)＝，故选A.
3．(2015·新课标全国卷Ⅱ)设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝________.
解析：∵λa＋b与a＋2b平行，∴λa＋b＝t(a＋2b)，
即λa＋b＝ta＋2tb，∴解得
答案：
[课时达标检测] 重点保分课时——一练小题夯双基，二练题点过高考
[练基础小题——强化运算能力]
1．(2017·杭州模拟)在△ABC中，已知M是BC中点，设＝a，＝b，则＝( )
A.a－b B.a＋b
C．a－b D．a＋b
解析：选A ＝＋＝－＋＝－b＋a，故选A.
2．已知O，A，B，C为同一平面内的四个点，若2＋＝0，则向量等于( )
A. － B．－＋
C．2－ D．－＋2
解析：选C 因为＝－，＝－，所以2＋＝2(－)＋(－)＝－2＋＝0，所以＝2－.
3．在四边形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，则四边形ABCD的形状是( )
A．矩形 B．平行四边形
C．梯形 D．以上都不对
解析：选C 由已知得，＝＋＋＝a＋2b－4a－b－5a－3b＝－8a－2b＝2(－4a－b)＝2，故∥.又因为与不平行，所以四边形ABCD是梯形．
4．已知向量a，b，c中任意两个都不共线，但a＋b与c共线，且b＋c与a共线，则向量a＋b＋c＝( )
A．a B．b
C．c D．0
解析：选D 依题意，设a＋b＝mc，b＋c＝na，则有(a＋b)－(b＋c)＝mc－na，即a－c＝mc－na.又a与c不共线，于是有m＝－1，n＝－1，a＋b＝－c，a＋b＋c＝0.
5．已知△ABC和点M满足＋＋＝0.若存在实数m使得＋＝m成立，则m＝________.
解析：由＋＋＝0知，点M为△ABC的重心，设点D为底边BC的中点，则＝＝×(＋)＝(＋)，所以＋＝3，故m＝3.
答案：3
[练常考题点——检验高考能力]
一、选择题
1．设M是△ABC所在平面上的一点，且＋＋＝0，D是AC的中点，则的值为( )
A. B. C．1 D．2
解析：选A ∵D是AC的中点，如图，延长MD至E，使得DE＝MD，∴四边形MAEC为平行四边形，∴＝＝(＋)，∴＋＝2.∵＋＋＝0，∴＝－(＋)＝－3，∴＝3，∴＝＝，故选A.
2．在△ABC中，＝3，若＝λ1＋λ2，则λ1λ2的值为( )
A. B. C. D.
解析：选B 由题意得，＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，∴λ1＝，λ2＝，∴λ1λ2＝.
3．设D，E，F分别是△ABC的三边BC，CA，AB上的点，且＝2， ＝2，＝2，则＋＋与 ( )
A．反向平行 B．同向平行
C．互相垂直 D．既不平行也不垂直
解析：选A 由题意得＝＋＝＋，＝＋＝＋，＝＋＝＋，因此＋＋＝＋(＋－)＝＋＝－，故＋＋与反向平行．
4．已知点O为△ABC外接圆的圆心，且＋＋＝0，则△ABC的内角A等于( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
解析：选A 由＋＋＝0，得＋＝，由O
为△ABC外接圆的圆心，可得||＝||＝||.设OC与AB交于点D，如图，由＋＝可知D为AB的中点，所以＝2，D为OC的中点．又由||＝||可知OD⊥AB，即OC⊥AB，所以四边形OACB为菱形，所以△OAC为等边三角形，即∠CAO＝60°，故A＝30°.
5．已知点G是△ABC的重心，过点G作一条直线与AB，AC两边分别交于M，N两点，且＝x，＝y，则的值为( )
A．3 B. C．2 D.
解析：选B 由已知得M，G，N三点共线，所以＝λ＋(1－λ)＝λx＋(1－λ)y.∵点G是△ABC的重心，∴＝×(＋)＝(＋)，∴即得＋＝1，即＋＝3，通分得＝3，∴＝.
6．若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足5＝＋3，则△ABM与△ABC的面积的比值为( )
A. B. C. D.
解析：选C 设AB的中点为D，如图，连接MD，MC，由5＝＋3，得5＝2＋3 ①，即＝＋，即＋＝1，故C，M，D三点共线，又＝＋ ②，①②联立，得5＝3，即在△ABM与△ABC中，边AB上的高的比值为，所以△ABM与△ABC的面积的比值为.
二、填空题
7．已知D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB的中点，且＝a，＝b，给出下列命题：①＝a－b；②＝a＋b；③＝－a＋b；④＋＋＝0.
其中正确命题的个数为________．
解析：由＝a，＝b可得＝＋＝－a－b，＝＋＝a＋b，＝(＋)＝(－a＋b)＝－a＋b，＋＋＝－a－b＋a＋b－a＋b
＝0，所以①错，②③④正确．所以正确命题的个数为3.
答案：3
8．若||＝||＝|－|＝2，则|＋|＝________.
解析：∵||＝||＝|－|＝2，∴△ABC是边长为2的正三角形，∴|＋|为△ABC的边BC上的高的2倍，∴|＋|＝2×2sin＝2.
答案：2
9．若点O是△ABC所在平面内的一点，且满足|－|＝|＋－2|，则△ABC的形状为________．
解析：因为＋－2＝－＋－＝＋，－＝＝－，所以|＋|＝|－|，即·＝0，故⊥，△ABC为直角三角形．
答案：直角三角形
10．在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，∠B＝30°，AB＝2，BC＝2，点E在线段CD上，若＝＋μ，则μ的取值范围是________．
解析：由题意可求得AD＝1，CD＝，所以＝2.∵点E 在线段CD上，∴＝λ (0≤λ≤1)．∵＝＋，又＝＋μ＝＋2μ＝＋，∴＝1，即μ＝.∵0≤λ≤1，∴0≤μ≤，即μ的取值范围是.
答案：
三、解答题
11.如图，以向量＝a，＝b为邻边作▱OADB，＝， ＝，用a，b表示， ，.
解：∵＝－＝a－b，＝＝a－b，
∴＝＋＝b＋＝a＋b.
又∵＝a＋b，
∴＝＋＝＋
＝＝a＋b，
∴＝－＝a＋b－a－b＝a－b.
综上，＝a＋b，＝a＋b，＝a－b.
12.如图所示，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，＝，＝a，＝b.
(1)用a，b表示向量，，，，；
(2)求证：B，E，F三点共线．
解：(1)延长AD到G，
使＝，
连接BG，CG，得到▱ABGC，如图，
所以＝＋＝a＋b，
＝＝(a＋b)，
＝＝(a＋b)，
＝＝b，
＝－＝(a＋b)－a＝(b－2a)，
＝－＝b－a＝(b－2a)．
(2)证明：由(1)可知＝，
又因为，有公共点B，
所以B，E，F三点共线．
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