第一节数列的概念与简单表示
本节主要包括2个知识点：
1.数列的通项公式；2.数列的单调性.
突破点(一) 数列的通项公式
基础联通 抓主干知识的“源”与“流”
1．数列的定义
按照一定顺序排列的一列数称为数列．数列中的每一个数叫做这个数列的项，数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第一项(通常也叫做首项)．
2．数列的通项公式
如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．
3．数列的递推公式
如果已知数列{an}的第一项(或前几项)，且任何一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示，即an＝f(an－1)(或an＝f(an－1，an－2)等)，那么这个式子叫做数列{an}的递推公式．
4．Sn与an的关系
已知数列{an}的前n项和为Sn，则
an＝这个关系式对任意数列均成立．
考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”
由数列的前几项求数列的通项公式
[例1] 写出下面各数列的一个通项公式：
(1)3,5,7,9，…；
(2)，，，，，…；
(3)－1，，－，，－，，…；
(4)3,33,333,3 333，….
[解] (1)各项减去1后为正偶数，所以an＝2n＋1.
(2)每一项的分子比分母少1，而分母组成数列21,22,23,24，…，所以an＝.
(3)奇数项为负，偶数项为正，故通项公式中含因式(－1)n；各项绝对值的分母组成数列1,2,3,4，…；而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为1，偶数项为3，即奇数项为2－1，偶数项为2＋1，所以an＝(－1)n·.
也可写为an＝
(4)将数列各项改写为，，，，…，分母都是3，而分子分别是10－1,102－1,103－1,104－1，…，所以an＝(10n－1)．
[方法技巧]
由数列的前几项求通项公式的思路方法
给出数列的前几项求通项时，需要注意观察数列中各项与其序号之间的关系，在所给数列的前几项中，先看看哪些部分是变化的，哪些是不变的，再探索各项中变化部分与序号间的关系，主要从以下几个方面来考虑：
(1)分式形式的数列，分子、分母分别求通项，较复杂的还要考虑分子、分母的关系．
(2)若第n项和第n＋1项正负交错，那么符号用(－1)n或(－1)n＋1或(－1)n－1来调控．
(3)熟悉一些常见数列的通项公式．
(4)对于较复杂数列的通项公式，其项与序号之间的关系不容易发现，这就需要将数列各项的结构形式加以变形，可使用添项、通分、分割等方法，将数列的各项分解成若干个常见数列对应项的“和”“差”“积”“商”后再进行归纳．
利用an与Sn的关系求通项
[例2] 已知下面数列{an}的前n项和Sn，求{an}的通项公式：
(1)Sn＝2n2－3n；
(2)Sn＝3n＋b.
[解] (1)a1＝S1＝2－3＝－1，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5，
由于a1也适合此等式，
所以{an}的通项公式为an＝4n－5.
(2)a1＝S1＝3＋b，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋b)－(3n－1＋b)＝2×3n－1.
当b＝－1时，a1适合此等式．
当b≠－1时，a1不适合此等式．
所以当b＝－1时，an＝2×3n－1；
当b≠－1时，an＝
[方法技巧]
已知Sn求an的三个步骤
(1)先利用a1＝S1求出a1.
(2)用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式．
(3)对n＝1时的结果进行检验，看是否符合n≥2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n＝1与n≥2两段来写．
利用递推关系求通项
[例3] (1)已知数列{an}满足a1＝，an＋1＝an＋，则an＝________；
(2)若数列{an}满足a1＝，an＋1＝an，则通项an＝________；
(3)若数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋3，则an＝________；
(4)若数列{an}满足a1＝1，an＋1＝，则an＝________.
[解析] (1)由条件知an＋1－an＝＝＝－，
则(a2－a1)＋(a3－a2)＋(a4－a3)＋…＋(an－an－1)
＝＋＋＋…＋－，
即an－a1＝1－，又∵a1＝，
∴an＝1－＋＝－.
(2)由an＋1＝an(an≠0)，得＝，
故an＝··…··a1
＝··…··
＝.
(3)设递推公式an＋1＝2an＋3可以转化为an＋1－t＝2(an－t)，即an＋1＝2an－t，则t＝－3.
故an＋1＋3＝2(an＋3)．
令bn＝an＋3，则b1＝a1＋3＝4，bn≠0，且＝＝2.
所以{bn}是以4为首项，2为公比的等比数列．
所以bn＝4×2n－1＝2n＋1，
即an＝2n＋1－3.
(4)∵an＋1＝，a1＝1，
∴an≠0，
∴＝＋，
即－＝，
又a1＝1，则＝1，
∴是以1为首项，为公差的等差数列．
∴＝＋(n－1)×＝＋，
∴an＝.
[答案] (1)－ (2) (3)2n＋1－3 (4)
[方法技巧]
由递推关系式求通项公式的常用方法
(1)已知a1且an－an－1＝f(n)，可用“累加法”求an.
(2)已知a1且＝f(n)，可用“累乘法”求an.
(3)已知a1且an＋1＝qan＋b，则an＋1＋k＝q(an＋k)(其中k可由待定系数法确定)，可转化为等比数列{an＋k}．
(4)形如an＋1＝(A，B，C为常数)的数列，可通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解．
(5)形如an＋1＋an＝f(n)的数列，可将原递推关系改写成an＋2＋an＋1＝f(n＋1)，两式相减即得an＋2－an＝f(n＋1)－f(n)，然后按奇偶分类讨论即可．
能力练通 抓应用体验的“得”与“失”
1.已知n∈N*，给出4个表达式：①an＝②an＝，③an＝，④an＝.
其中能作为数列：0,1,0,1,0,1,0,1，…的通项公式的是( )
A．①②③ B．①②④
C．②③④ D．①③④
解析：选A 检验知①②③都是所给数列的通项公式．
2.数列1，－，，－，…的一个通项公式是( )
A．an＝(－1)n＋1(n∈N*)
B．an＝(－1)n－1(n∈N*)
C．an＝(－1)n＋1(n∈N*)
D．an＝(－1)n－1(n∈N*)
解析：选D 所给数列各项可写成：，－，，－，…，通过对比各选项，可知选D.
3.已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2－2n＋2，则数列{an}的通项公式为( )
A．an＝2n－3 B．an＝2n＋3
C．an＝ D．an＝
解析：选C 当n＝1时，a1＝S1＝1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－3，由于n＝1时a1的值不适合n≥2的解析式，故{an}的通项公式为an＝
4.设数列{an}满足a1＝1，且an＋1－an＝n＋1，求数列{an}的通项公式．
解：由题意有a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n(n≥2)．
以上各式相加，得an－a1＝2＋3＋…＋n＝＝.
又∵a1＝1，∴an＝(n≥2)．
∵当n＝1时也满足此式，
∴an＝(n∈N*)．
5.若数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝an＋2n，求数列{an}的通项公式．
解：由题意知an＋1－an＝2n，an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2n－1＋2n－2＋…＋2＋1＝＝2n－1.又因为当n＝1时满足此式，所以an＝2n－1.
突破点(二) 数列的单调性
基础联通 抓主干知识的“源”与“流”
数列的分类
分类标准
类型
满足条件
按项数分类
有穷数列
项数有限
无穷数列
项数无限
按项与项间的大小关系分类
递增数列
an＋1＞an
其中n∈N*
递减数列
an＋1＜an
常数列
an＋1＝an
按其他标准分类
有界数列
存在正数M，使|an|≤M
摆动数列
从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项
考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”
利用数列的单调性研究最值问题
[例1] 已知数列{an}的前n项和为Sn，常数λ>0，且λa1an＝S1＋Sn对一切正整数n都成立．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设a1>0，λ＝100.当n为何值时，数列的前n项和最大？
[解] (1)取n＝1，得λa＝2S1＝2a1，
即a1(λa1－2)＝0.
若a1＝0，则Sn＝0，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝0－0＝0，
所以an＝0.
若a1≠0，则a1＝，当n≥2时，2an＝＋Sn,2an－1＝＋Sn－1，两式相减得2an－2an－1＝an，
所以an＝2an－1(n≥2)，从而数列{an}是等比数列，
所以an＝a1·2n－1＝·2n－1＝.
综上，当a1＝0时，an＝0；
当a1≠0时，an＝.
(2)当a1>0且λ＝100时，令bn＝lg，
由(1)知bn＝lg＝2－nlg 2.
所以数列{bn}是单调递减的等差数列(公差为－lg 2)．
则b1>b2>…>b6＝lg＝lg>lg 1＝0，
当n≥7时，bn≤b7＝lg＝lg0⇔数列{an}是单调递增数列；an＋1－an0时，>1⇔数列{an}是单调递增数列；0，且当n＝1时，an＋1－an最小，
∴an＋1－an≥a2－a1＝3＋λ>0，∴λ>－3.
答案：(－3，＋∞)
4.已知数列{an}中，an＝1＋(n∈N*，a∈R，且a≠0)．
(1)若a＝－7，求数列{an}中的最大项和最小项的值；
(2)若对任意的n∈N*，都有an≤a6成立，求a的取值范围．
解：(1)∵an＝1＋(n∈N*，a∈R，且a≠0)，
又∵a＝－7，∴an＝1＋.
结合函数f(x)＝1＋的单调性，
可知1>a1>a2>a3>a4，a5>a6>a7>…>an>1(n∈N*)．
∴数列{an}中的最大项为a5＝2，最小项为a4＝0.
(2)an＝1＋＝1＋.
∵对任意的n∈N*，都有an≤a6成立，结合函数f(x)＝1＋的单调性，知5
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