第二节等差数列及其前n项和
本节主要包括3个知识点：
1.等差数列的性质及基本量的计算；
2.等差数列前n项和及性质的应用；
3.等差数列的判定与证明.
突破点(一) 等差数列的性质及基本量的计算
基础联通 抓主干知识的“源”与“流”
1．等差数列的有关概念
(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数)．
(2)等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A＝，其中A叫做a，b的等差中项．
2．等差数列的有关公式
(1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d.
(2)前n项和公式：Sn＝na1＋d＝.
3．等差数列的常用性质
(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．
(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an.
(3)若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d.
(4)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．
(5)若数列{an}，{bn}是公差分别为d1，d2的等差数列，则数列{pan}，{an＋p}，{pan＋qbn}都是等差数列(p，q都是常数)，且公差分别为pd1，d1，pd1＋qd2.
考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”
等差数列的基本运算
[例1] (1)(2016·东北师大附中摸底考试)在等差数列{an}中，a1＋a5＝10，a4＝7，则数列{an}的公差为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
(2)(2016·惠州调研)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝6，a1＝4，则公差d等于( )
A．1 B.
C．－2 D．3
[解析] (1)∵a1＋a5＝2a3＝10，
∴a3＝5，则公差d＝a4－a3＝2，故选B.
(2)由S3＝＝6，
且a1＝4，得a3＝0，
则d＝＝－2，故选C.
[答案] (1)B (2)C
[方法技巧]
1．等差数列运算问题的通性通法
(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d，然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解．
(2)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了方程的思想．
2．等差数列设项技巧
若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设中间三项为a－d，a，a＋d；若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设中间两项为a－d，a＋d，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元．
等差数列的性质
[例2] (1)在等差数列{an}中，a3＋a9＝27－a6，Sn表示数列{an}的前n项和，则S11＝( )
A．18 B．99
C．198 D．297
(2)已知{an}，{bn}都是等差数列，若a1＋b10＝9，a3＋b8＝15，则a5＋b6＝________.
[解析] (1)因为a3＋a9＝27－a6,2a6＝a3＋a9，
所以3a6＝27，所以a6＝9，
所以S11＝(a1＋a11)＝11a6＝99.
(2)因为{an}，{bn}都是等差数列，
所以2a3＝a1＋a5,2b8＝b10＋b6，
所以2(a3＋b8)＝(a1＋b10)＋(a5＋b6)，
即2×15＝9＋(a5＋b6)，
解得a5＋b6＝21.
[答案] (1)B (2)21
能力练通 抓应用体验的“得”与“失”
1.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何？”其意思为：“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”(“钱”是古代的一种重量单位)这个问题中，甲所得为( )
A.钱 B.钱
C.钱 D.钱
解析：选D 设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，依题意有解得即甲得钱，故选D.
2.设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1＝1，公差d＝2，Sn＋2－Sn＝36，则n＝( )
A．5 B．6
C．7 D．8
解析：选D 由题意知Sn＋2－Sn＝an＋1＋an＋2＝2a1＋(2n＋1)d＝2＋2(2n＋1)＝36，解得n＝8.
3.已知数列{an}为等差数列，且a1＋a7＋a13＝π，则cos(a2＋a12)的值为( )
A. B．－ C. D．－
解析：选D 在等差数列{an}中，因为a1＋a7＋a13＝π，所以a7＝，所以a2＋a12＝，所以cos(a2＋a12)＝－.故选D.
4.设Sn为等差数列{an}的前n项和，a12＝－8，S9＝－9，则S16＝________.
解析：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，
由已知，得
解得
所以S16＝16×3＋×(－1)＝－72.
答案：－72
5.设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知前6项和为36，最后6项的和为180，Sn＝324(n＞6)，求数列{an}的项数及a9＋a10.
解：由题意知a1＋a2＋…＋a6＝36，①
an＋an－1＋an－2＋…＋an－5＝180，②
①＋②得(a1＋an)＋(a2＋an－1)＋…＋(a6＋an－5)＝6(a1＋an)＝216，
∴a1＋an＝36，
又Sn＝＝324，
∴18n＝324，∴n＝18.
∵a1＋an＝36，n＝18，
∴a1＋a18＝36，
从而a9＋a10＝a1＋a18＝36.
突破点(二) 等差数列前n项和及性质的应用
基础联通 抓主干知识的“源”与“流”
等差数列前n项和的性质
(1)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…(m∈N*)也是等差数列，公差为m2d.
(2)S2n－1＝(2n－1)an，S2n＝n(a1＋a2n)＝n(an＋an＋1)．
(3)当项数为偶数2n时，S偶－S奇＝nd；项数为奇数2n－1时，S奇－S偶＝a中，S奇∶S偶＝n∶(n－1)．
(4){an}，{bn}均为等差数列且其前n项和为Sn，Tn，则＝.
(5)若{an}是等差数列，则也是等差数列，其首项与{an}的首项相同，公差是{an}的公差的.
考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”
等差数列前n项和的性质
[例1] 已知{an}为等差数列，若a1＋a2＋a3＝5，a7＋a8＋a9＝10，则a19＋a20＋a21＝________.
[解析] 法一：设数列的公差为d，则a7＋a8＋a9＝a1＋6d＋a2＋6d＋a3＋6d＝5＋18d＝10，所以18d＝5，故a19＋a20＋a21＝a7＋12d＋a8＋12d＋a9＋12d＝10＋36d＝20.
法二：由等差数列的性质，可知S3，S6－S3，S9－S6，…，S21－S18
成等差数列，设此数列公差为D.
所以5＋2D＝10，所以D＝.
所以a19＋a20＋a21＝S21－S18＝5＋6D＝5＋15＝20.
[答案] 20
等差数列前n项和的最值
[例2] 等差数列{an}的首项a1>0，设其前n项和为Sn，且S5＝S12，则当n为何值时，Sn有最大值？
[解] 设等差数列{an}的公差为d，由S5＝S12得5a1＋10d＝12a1＋66d，d＝－a10，n∈N*，所以当n＝8或n＝9时，Sn有最大值．
法二：设此数列的前n项和最大，则即解得即8≤n≤9，
又n∈N*，所以当n＝8或n＝9时，Sn有最大值．
法三：由于Sn＝na1＋d＝n2＋n，
设f(x)＝x2＋x，则函数y＝f(x)的图象为开口向下的抛物线，
由S5＝S12知，抛物线的对称轴为x＝＝(如图所示)，
由图可知，当1≤n≤8时，Sn单调递增；当n≥9时，Sn单调递减．又n∈N*，所以当n＝8或n＝9时，Sn最大．
[方法技巧]
求等差数列前n项和Sn最值的三种方法
(1)函数法：
利用等差数列前n项和的函数表达式Sn＝an2＋bn
，通过配方结合图象借助求二次函数最值的方法求解．
(2)邻项变号法：
①a1>0，d0，且Sp＝Sq(p≠q)，则：
①若p＋q为偶数，则当n＝时，Sn最大；
②若p＋q为奇数，则当n＝或n＝时，Sn最大．
能力练通 抓应用体验的“得”与“失”
1.在等差数列{an}中，a1＝29，S10＝S20，则数列{an}的前n项和Sn的最大值为( )
A．S15 B．S16
C．S15或S16 D．S17
解析：选A ∵a1＝29，S10＝S20，
∴10a1＋d＝20a1＋d，解得d＝－2，
∴Sn＝29n＋×(－2)＝－n2＋30n＝－(n－15)2＋225.
∴当n＝15时，Sn取得最大值．
2.设Sn为等差数列{an}的前n项和，(n＋1)Sn＜nSn＋1(n∈N*)．若＜－1，则( )
A．Sn的最大值是S8 B．Sn的最小值是S8
C．Sn的最大值是S7 D．Sn的最小值是S7
解析：选D 由(n＋1)Sn＜nSn＋1得(n＋1)＜n，整理得an＜an＋1，所以等差数列{an}是递增数列，又＜－1，所以a8＞0，a7＜0，所以数列{an}的前7项为负值，即Sn的最小值是S7.
3.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝10，S20＝30，则S30＝________.
解析：∵S10，S20－S10，S30－S20成等差数列，且S10＝10，S20＝30，S20－S10＝20，∴S30
－30＝20×2－10＝30，∴S30＝60.
答案：60
4.已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且＝，则使得为整数的正整数n的个数是________．
解析：由等差数列前n项和的性质知，＝＝＝＝7＋，
故当n＝1,2,3,5,11时，为整数，
故使得为整数的正整数n的个数是5.
答案：5
5.一个等差数列的前12项的和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为32∶27，则该数列的公差d＝________.
解析：设等差数列的前12项中奇数项的和为S奇，偶数项的和为S偶，等差数列的公差为d.由已知条件，
得解得
又S偶－S奇＝6d，所以d＝＝5.
答案：5
突破点(三) 等差数列的判定与证明
基础联通 抓主干知识的“源”与“流”
等差数列的判定与证明方法
方法
解读
适合题型
定义法
对于数列{an}，an－an－1(n≥2，n∈N*)为同一常数⇔{an}是等差数列
解答题中的证明问题
等差中项法
2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)成立⇔{an}是等差数列
通项公式法
an＝pn＋q(p，q为常数)对任意的正整数n都成立⇔{an}是等差数列
选择、填空题中的判定问题
前n项和公式法
验证Sn＝An2＋Bn(A，B是常数)对任意的正整数n都成立⇔{an}是等差数列
考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”
等差数列的判定与证明
[典例] 已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足：an＋2SnSn－1＝0(n≥2，n∈N*)，a1＝，判断{an}是否为等差数列，并说明你的理由．
[解] 因为an＝Sn－Sn－1(n≥2)，an＋2SnSn－1＝0，
所以Sn－Sn－1＋2SnSn－1＝0(n≥2)．
所以－＝2(n≥2)．
又S1＝a1＝，
所以是以2为首项，2为公差的等差数列．
所以＝2＋(n－1)×2＝2n，故Sn＝.
所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝，
所以an＋1＝，而an＋1－an＝－＝＝.
所以当n≥2时，an＋1－an的值不是一个与n无关的常数，故数列{an}不是等差数列．
能力练通 抓应用体验的“得”与“失”
1．若{an}是公差为1的等差数列，则{a2n－1＋2a2n}是( )
A．公差为3的等差数列
B．公差为4的等差数列
C．公差为6的等差数列
D．公差为9的等差数列
解析：选C 令bn＝a2n－1＋2a2n，则bn＋1＝a2n＋1＋2a2n＋2，故bn＋1－bn＝a2n＋1＋2a2n＋2－(a2n－1＋2a2n)＝(a2n＋1－a2n－1)＋2(a2n＋2－a2n)＝2d＋4d＝6d＝6×1＝6.即{a2n－1＋2a2n}是公差为6的等差数列．
2．已知数列{an}中，a1＝2，an＝2－(n≥2，n∈N*)，设bn＝(n∈N*)．求证：数列{bn}是等差数列．
证明：∵an＝2－，∴an＋1＝2－.
∴bn＋1－bn＝－＝－＝＝1，
∴{bn}是首项为b1＝＝1，公差为1的等差数列．
3．已知公差大于零的等差数列的前n项和为Sn，且满足a3·a4＝117，a2＋a5＝22.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列满足bn＝，是否存在非零实数c使得{bn}为等差数列？若存在，求出c的值；若不存在，请说明理由．
解：(1)∵数列为等差数列，∴a3＋a4＝a2＋a5＝22.
又a3·a4＝117，
∴a3，a4是方程x2－22x＋117＝0的两实根，
又公差d＞0，∴a3＜a4，∴a3＝9，a4＝13，
∴解得
∴数列{an}的通项公式为an＝4n－3.
(2)由(1)知a1＝1，d＝4，
∴Sn＝na1＋×d＝2n2－n，
∴bn＝＝，
∴b1＝，b2＝，b3＝，其中c≠0.
∵数列是等差数列，∴2b2＝b1＋b3，
即×2＝＋，∴2c2＋c＝0，
∴c＝－或c＝0(舍去)，故c＝－.
即存在一个非零实数c＝－，使数列{bn}为等差数列．
[全国卷5年真题集中演练——明规律]
1.(2016·全国乙卷)已知等差数列{an}前9项的和为27，a10＝8，则a100＝( )
A．100 B．99 C．98 D．97
解析：选C ∵{an}是等差数列，设其公差为d，∴S9＝(a1＋a9)＝9a5＝27，∴a5＝3.又∵a10＝8，∴∴∴a100＝a1＋99d＝－1＋99×1＝98.故选C.
2．(2015·新课标全国卷Ⅰ)已知{an}是公差为1的等差数列，Sn为{an}的前n项和，若S8＝4S4，则a10＝( )
A. B. C．10 D．12
解析：选B ∵数列{an}的公差为1，∴S8＝8a1＋×1＝8a1＋28，S4＝4a1＋6.∵S8＝4S4，∴8a1＋28＝4(4a1＋6)，解得a1＝，∴a10＝a1＋9d＝＋9＝.
3．(2013·新课标全国卷Ⅰ)设等差数列{an}的前n项和为Sn，Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m＝( )
A．3 B．4 C．5 D．6
解析：选C 由Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，得am＝Sm－Sm－1＝2，am＋1＝Sm＋1－Sm＝3，所以等差数列的公差为d＝am＋1－am＝3－2＝1，由
得解得选C.
4．(2013·新课标全国卷Ⅱ)等差数列{an}的前n项和为Sn ，已知S10＝0，S15＝25，则nSn 的最小值为________．
解析：由已知解得a1＝－3，d＝，则nSn＝n2a1＋d＝－.由于函数f(x)＝－在x＝处取得极小值，因而检验n＝6时，6S6＝－48，而n＝7时，7S7＝－490(n∈N*)，其前n项和为Sn，若数列{}也为等差数列，则的最大值是( )
A．310 B．212
C．180 D．121
解析：选D 设数列{an}的公差为d，依题意得2＝＋，因为a1＝1，所以2＝＋，化简可得d＝2a1＝2，所以an＝1＋(n－1)×2＝2n－1，Sn＝n＋×2＝n2，所以＝＝2＝2＝2≤121.即的最大值为121.
二、填空题
7．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足－＝1，则数列{an}的公差d是________．
解析：由－＝1得－＝a1＋d－＝＝1，所以d＝2.
答案：2
8．若等差数列{an}的前17项和S17＝51，则a5－a7＋a9－a11＋a13等于________．
解析：因为S17＝×17＝17a9＝51，所以a9＝3.根据等差数列的性质知a5＋a13＝a7＋a11，所以a5－a7＋a9－a11＋a13＝a9＝3.
答案：3
9．在等差数列{an}中，a9＝a12＋6，则数列{an}的前11项和S11等于________．
解析：S11＝＝11a6，设公差为d，由a9＝a12＋6得a6＋3d＝(a6＋6d)＋6，解得a6＝12，所以S11＝11×12＝132.
答案：132
10．在等差数列{an}中，a1＝7，公差为d，前 n项和为Sn ，当且仅当n＝8 时Sn 取得最大值，则d 的取值范围为________．
解析：由题意，当且仅当n＝8时Sn有最大值，可得
即解得－1
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