2018届高考数学（理）大一轮复习教师用书：第六章第三节等比数列及其前n项和（含解析）.doc

第三节等比数列及其前n项和 本节主要包括3个知识点：‎ ‎1.等比数列基本量的计算； 2.等比数列的性质；‎ ‎3.等比数列的判定与证明.‎ 突破点(一)　等比数列基本量的计算 基础联通 抓主干知识的“源”与“流” ‎ ‎1．等比数列的有关概念 ‎(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为＝q.‎ ‎(2)等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒G2＝ab.‎ ‎2．等比数列的有关公式 ‎(1)通项公式：an＝a1qn－1.‎ ‎(2)前n项和公式：Sn＝ ‎3．运用方程的思想求解等比数列的基本量 ‎(1)若已知n，an，Sn，先验证q＝1是否成立，若q≠1，可以通过列方程(组)求出关键量a1和q，问题可迎刃而解．‎ ‎(2)若已知数列{an}中的两项an和am，可以利用等比数列的通项公式，得到方程组计算时两式相除可先求出q，然后代入其中一式求得a1，进一步求得Sn.另外，还可以利用公式an＝am·qn－m直接求得q，可减少运算量．‎ 考点贯通 抓高考命题的“形”与“神” ‎ 求首项a1，公比q或项数n ‎[例1]　(1)(2017·太原模拟)已知等比数列{an}单调递减，若a3＝1，a2＋a4＝，则a1＝(　　)‎ A．2 B．‎4 C. D．2 ‎(2)在等比数列{an}中，a3＝7，前3项之和S3＝21，则公比q的值为(　　)‎ A．1 B．－ C．1或－ D．－1或 ‎[解析]　(1)设等比数列{an}的公比为q，q>0，则a＝a‎2a4＝1，又a2＋a4＝，且{an}单调递减，所以a2＝2，a4＝，则q2＝，q＝，所以a1＝＝4，故选B.‎ ‎(2)根据已知条件得消去a1得＝3，整理得2q2－q－1＝0，解得q＝1或q＝－.‎ ‎[答案]　(1)B　(2)C 求通项或特定项 ‎[例2]　(1)在各项均为正数的等比数列{an}中，若a2＝1，a8＝a6＋‎2a4，则a6的值是________．‎ ‎(2)在等比数列{an}中，若公比q＝4，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式an＝________.‎ ‎[解析]　(1)设等比数列{an}的公比为q，q>0，则a8＝a6＋‎2a4即为a4q4＝a4q2＋‎2a4，解得q2＝2(负值舍去)，又a2＝1，所以a6＝a2q4＝4.‎ ‎(2)由题意知a1＋‎4a1＋‎16a1＝21，解得a1＝1，所以等比数列{an}的通项公式为an＝a1qn－1＝4n－1.‎ ‎[答案]　(1)4　(2)4n－1‎ ‎[方法技巧]‎ 求等比数列通项公式的方法与策略 求等比数列的通项公式，一般先求出首项与公比，再利用an＝a1qn－1求解．但在某些情况下，利用等比数列通项公式的变形an＝amqn－m可以简化解题过程．‎ 求解时通常会涉及等比数列设项问题，常用的设项方法为：‎ ‎(1)通项法 设数列的通项公式an＝a1qn－1(n∈N*)来求解．‎ ‎(2)对称设元法 与有穷等差数列设项方法类似，有穷等比数列设项也要注意对称设元．一般地，连续奇数个项成等比数列，可设为…，，x，xq，…；连续偶数个项成等比数列，可设为…，，，xq，xq3，…(注意：此时公比q2>0，并不适合所有情况)．这样既可以减少未知量的个数，也使得解方程较为方便．‎ 求等比数列的前n项和 ‎[例3]　设数列{an}的前n项和Sn满足6Sn＋1＝9an(n∈N*)．‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)若数列{bn}满足bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.‎ ‎[解]　(1)当n＝1时，由‎6a1＋1＝‎9a1，得a1＝.‎ 当n≥2时，由6Sn＋1＝9an，得6Sn－1＋1＝9an－1，‎ 两式相减得6(Sn－Sn－1)＝9(an－an－1)，‎ 即6an＝9(an－an－1)，所以an＝3an－1.‎ 所以数列{an}是首项为，公比为3的等比数列，其通项公式为an＝×3n－1＝3n－2.‎ ‎(2)因为bn＝＝n－2，‎ 所以{bn}是首项为3，公比为的等比数列，‎ 所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝＝1－n.‎ 能力练通 抓应用体验的“得”与“失” ‎ ‎1.已知等比数列{an}的前三项依次为a－1，a＋1，a＋4，则an＝(　　)‎ A．4×n B．4×n－1‎ C．4×n D．4×n－1‎ 解析：选B　由题意得(a＋1)2＝(a－1)(a＋4)，解得a＝5，故a1＝4，a2＝6，所以q＝，则an＝4×n－1.‎ ‎2.已知数列{an}是公比为q的等比数列，且a1·a3＝4，a4＝8，则a1＋q的值为(　　)‎ A．3 B．2‎ C．3或－2 D．3或－3‎ 解析：选D　由a1·a3＝4，a4＝8，得aq2＝4，a1q3＝8，解得q＝±2.当q＝2时，a1＝1，此时a1＋q＝3；当q＝－2时，a1＝－1，此时a1＋q＝－3.故选D.‎ ‎3.(2017·唐山模拟)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1＋a3＝，a2＋a4＝，则＝(　　)‎ A．4n－1 B．4n－1‎ C．2n－1 D．2n－1‎ 解析：选D　设{an}的公比为q，∵ ‎∴由①②可得＝2，∴q＝，将q＝代入①得a1＝2，∴an＝2×n－1＝，‎ Sn＝＝4，∴＝＝2n－1，选D.‎ ‎4.(2017·枣庄模拟)已知等比数列{an}中，a2＝1，则其前3项的和S3的取值范围是(　　)‎ A．(－∞，－1] B．(－∞，0)∪(1，＋∞)‎ C．[3，＋∞) D．(－∞，－1]∪[3，＋∞)‎ 解析：选D　设等比数列{an}的公比为q，则S3＝a1＋a2＋a3＝a2＝1＋q＋，当q>0时，S3＝1＋q＋≥1＋2 ＝3(当且仅当q＝1时取等号)；当q0，q>1，a3＋a5＝20，a‎2a6＝64，则S5＝(　　)‎ A．31 B．36 ‎ C．42 D．48‎ 解析：选A　由等比数列的性质，得a‎3a5＝a‎2a6＝64，于是由且an>0，q>1，得a3＝4，a5＝‎ ‎16，所以 解得所以S5＝＝31，故选A.‎ ‎3.已知各项均为实数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10＝10，S30＝70，则S40＝(　　)‎ A．150 B．140 ‎ C．130 D．120‎ 解析：选A　在等比数列{an}中，由S10＝10，S30＝70可知q≠－1，‎ 所以S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30构成公比为q′的等比数列．‎ 所以(S20－S10)2＝S10·(S30－S20)，‎ 即(S20－10)2＝10·(70－S20)，‎ 解得S20＝30(负值舍去)．‎ 所以＝＝2＝q′，‎ 所以S40－S30＝2(S30－S20)＝80，S40＝S30＋80＝150.‎ ‎4.(2017·兰州诊断)数列{an}的首项为a1＝1，数列{bn}为等比数列且bn＝，若b10b11＝2 017，则a21＝________.‎ 解析：由bn＝，且a1＝1，得b1＝＝a2.b2＝，a3＝a2b2＝b1b2.b3＝，a4＝a3b3＝b1b2b3，…，an＝b1b2…bn－1，所以a21＝b1b2…b20.因为数列{bn}为等比数列，所以a21＝(b1b20)(b2b19)…(b10b11)＝(b10b11)10＝10＝2 017.‎ 答案：2 017‎ 突破点(三)　等比数列的判定与证明 基础联通 抓主干知识的“源”与“流” ‎ 等比数列的四种常用判定方法 定义法 若＝q(q为非零常数，n∈N*)或＝q(q为非零常数且n≥2，n∈N*)，则{an}是等比数列 中项公式法　‎ 若数列{an}中，an≠0且a＝an·an＋2(n∈N*)，则{an}是等比数列 通项公式法　‎ 若数列{an}的通项公式可写成an＝c·qn－1(c，q均是不为0的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列 前n项和公式法　‎ 若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为常数且k≠0，q≠0,1)，则{an}‎ 是等比数列 考点贯通 抓高考命题的“形”与“神” ‎ 等比数列的判定与证明 ‎[典例]　设数列的前n项和为Sn，n∈N*.已知a1＝1，a2＝，a3＝，且当n≥2时，4Sn＋2＋5Sn＝8Sn＋1＋Sn－1.‎ ‎(1)求a4的值；‎ ‎(2)证明：为等比数列．‎ ‎[解]　(1)当n＝2时，4S4＋5S2＝8S3＋S1，‎ 即4＋5＝8＋1，解得a4＝.‎ ‎(2)证明：由4Sn＋2＋5Sn＝8Sn＋1＋Sn－1(n≥2)，‎ 得4Sn＋2－4Sn＋1＋Sn－Sn－1＝4Sn＋1－4Sn(n≥2)，‎ 即4an＋2＋an＝4an＋1(n≥2)．‎ ‎∵‎4a3＋a1＝4×＋1＝6＝‎4a2，‎ ‎∴4an＋2＋an＝4an＋1，‎ ‎∴＝＝＝＝，‎ ‎∴数列是以a2－a1＝1为首项，为公比的等比数列．‎ ‎[易错提醒]‎ ‎(1)证明一个数列为等比数列常用定义法与中项公式法，其他方法只用于选择、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可．‎ ‎(2)利用递推关系时要注意对n＝1时的情况进行验证．　‎ 能力练通 抓应用体验的“得”与“失” ‎ ‎1．对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是(　　)‎ A．a1，a3，a9成等比数列 B．a2，a3，a6成等比数列 C．a2，a4，a8成等比数列 D．a3，a6，a9成等比数列 解析：选D　由等比数列的性质得，a3·a9＝a≠0，因此a3，a6，a9一定成等比数列，选D.‎ ‎2．在数列{an}中，“an＝2an－1，n＝2,3,4，…”是“{an}是公比为2的等比数列”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选B　当an＝0时，也有an＝2an－1，n＝2,3,4，…，但{an}不是等比数列，因此充分性不成立；当{an}是公比为2的等比数列时，有＝2，n＝2,3,4，…，即an＝2an－1，n＝2,3,4，…，所以必要性成立．故选B.‎ ‎3．已知一列非零向量an满足a1＝(x1，y1)，an＝(xn，yn)＝(xn－1－yn－1，xn－1＋yn－1)(n≥2，n∈N*)，则下列命题正确的是(　　)‎ A．{|an|}是等比数列，且公比为 B．{|an|}是等比数列，且公比为 C．{|an|}是等差数列，且公差为 D．{|an|}是等差数列，且公差为 解析：选A　∵|an|＝＝·＝|an－1|(n≥2，n∈N*)，|a1|＝≠0，＝为常数，∴{|an|}是等比数列，且公比为，选A.‎ ‎4．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＋1＝4an＋2(n∈N*)，若bn＝an＋1－2an，求证：{bn}是等比数列．‎ 证明：∵an＋2＝Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1＋2－4an－2＝4an＋1－4an，‎ ‎∴＝＝＝＝2.‎ ‎∵S2＝a1＋a2＝‎4a1＋2，∴a2＝5.∴b1＝a2－‎2a1＝3.‎ ‎∴数列{bn}是首项为3，公比为2的等比数列．‎ ‎ ‎ ‎[全国卷5年真题集中演练——明规律] ‎ ‎1．(2015·新课标全国卷Ⅱ)已知等比数列{an}满足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，则a3＋a5＋a7＝(　　)‎ A．21 B．‎42 ‎‎ C．63 D．84‎ 解析：选B　∵a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，‎ ‎∴3＋3q2＋3q4＝21.‎ ‎∴1＋q2＋q4＝7，解得q2＝2或q2＝－3(舍去)．‎ ‎∴a3＋a5＋a7＝q2(a1＋a3＋a5)＝2×21＝42.‎ ‎2．(2013·新课标全国卷Ⅱ)等比数列{an}的前n项和为Sn.已知S3＝a2＋‎10a1，a5＝9，则a1＝(　　)‎ A. B．－ C. D．－ ‎ 解析：选C　由题知q≠1，则S3＝＝a1q＋‎10a1，得q2＝9，又a5＝a1q4＝9，则a1＝，故选C.‎ ‎3．(2016·全国乙卷)设等比数列{an}满足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，则a‎1a2…an的最大值为________．‎ 解析：设等比数列{an}的公比为q，则由a1＋a3＝10，a2＋a4＝q(a1＋a3)＝5，知q＝.又a1＋a1q2＝10，所以a1＝8.‎ 故a‎1a2…an＝aq1＋2＋…＋(n－1)＝23n· ‎＝23n－＋＝2－＋n.‎ 记t＝－＋＝－(n2－7n)＝－2＋，‎ 结合n∈N*可知n＝3或4时，t有最大值6.‎ 又y＝2t为增函数，从而a‎1a2…an的最大值为26＝64.‎ 答案：64‎ ‎4．(2016·全国丙卷)已知数列{an}的前n项和Sn＝1＋λan，其中λ≠0.‎ ‎(1)证明{an}是等比数列，并求其通项公式；‎ ‎(2)若S5＝，求λ.‎ 解：(1)证明：由题意得a1＝S1＝1＋λa1，‎ 故λ≠1，a1＝，故a1≠0.‎ 由Sn＝1＋λan，Sn＋1＝1＋λan＋1得an＋1＝λan＋1－λan，‎ 即an＋1(λ－1)＝λan.‎ 由a1≠0，λ≠0得an≠0，‎ 所以＝.‎ 因此{an}是首项为，公比为的等比数列，‎ 于是an＝n－1.‎ ‎(2)由(1)得Sn＝1－n.‎ 由S5＝得1－5＝，‎ 即5＝.‎ 解得λ＝－1.‎ ‎[课时达标检测] 重点保分课时——一练小题夯双基，二练题点过高考 ‎ ‎[练基础小题——强化运算能力]‎ ‎1．(2017·湖北华师一附中月考)在等比数列{an}中，a‎2a‎3a4＝8，a7＝8，则a1＝(　　)‎ A．1 B．±1 ‎ C．2 D．±2‎ 解析：选A　因为数列{an}是等比数列，所以a‎2a‎3a4＝a＝8，所以a3＝2，所以a7＝a3q4＝2q4＝8，所以q2＝2，则a1＝＝1，故选A.‎ ‎2．(2017·安徽皖江名校联考)已知Sn是各项均为正数的等比数列{an}的前n项和，若a2·a4＝16，S3＝7，则a8＝(　　)‎ A．32 B．64 ‎ C．128 D．256‎ 解析：选C　∵a2·a4＝a＝16，∴a3＝4(负值舍去)①，又S3＝a1＋a2＋a3＝＋＋a3＝7②，则联立①②，得3q2－4q－4＝0，解得q＝－或q＝2，∵an>0，∴q＝2，∴a1＝＝1，∴a8＝27＝128.‎ ‎3．等比数列{an}中，已知对任意正整数n，a1＋a2＋a3＋…＋an＝2n－1，则a＋a＋a＋…＋a等于(　　)‎ A.(4n－1) B.(2n－1)‎ C．4n－1 D．(2n－1)2‎ 解析：选A　由题知a1＝1，公比q＝2，故数列{a}是首项为1，公比为4的等比数列，故a＋a＋a＋…＋a＝＝(4n－1)，故选A.‎ ‎4．已知等比数列{an}的各项均为正数，且a1＋‎2a2＝3，a＝‎4a‎3a7，则数列{an}的通项公式an＝________.‎ 解析：设等比数列{an}的公比为q，则q>0.由a＝a‎3a7得a＝‎4a‎3a7＝‎4a＝‎4aq2，所以q2＝，q＝.又a1＋‎2a2＝a1＋‎2a1q＝3，即‎2a1＝3，所以a1＝，所以an＝a1qn－1＝×n－1＝.‎ 答案： ‎5．设Sn是等比数列{an}的前n项和，若＝3，则＝________.‎ 解析：设S2＝k，S4＝3k，由数列{an}为等比数列，得S2，S4－S2，S6－S4为等比数列，∵S2＝k，S4－S2＝2k，∴S6－S4＝4k，∴S6＝7k，∴＝＝.‎ 答案： ‎[练常考题点——检验高考能力]‎ 一、选择题 ‎1．(2017·河南名校联考)在各项均为正数的等比数列{an}中，a1＝3，a9＝a‎2a‎3a4，则公比q的值为(　　)‎ A. B. ‎ C．2 D．3‎ 解析：选D　由a9＝a‎2a‎3a4得a1q8＝aq6，所以q2＝a，因为等比数列{an}的各项都为正数，所以q＝a1＝3.‎ ‎2．(2016·杭州质检)在等比数列{an}中，a‎5a11＝3，a3＋a13＝4，则＝(　　)‎ A．3 B．－ C．3或 D．－3或－ 解析：选C　根据等比数列的性质得化简得3q20－10q10＋3＝0，解得q10＝3或，所以＝＝q10＝3或.‎ ‎3．(2017·长沙模拟)已知{an}为等比数列，a4＋a7＝2，a‎5a6＝－8，则a1＋a10＝(　　)‎ A．7 B．5 ‎ C．－5 D．－7‎ 解析：选D　设等比数列{an}的公比为q，由解得或所以或所以a1＋a10＝a1(1＋q9)＝－7.‎ ‎4．(2016·衡阳三模)在等比数列{an}中，a1＝2，前n项和为Sn，若数列{an＋1}也是等比数列，则Sn＝(　　)‎ A．2n＋1－2 B．3n C．2n D．3n－1‎ 解析：选C　因为数列{an}为等比数列，a1＝2，设其公比为q，则an＝2qn－1，因为数列{an＋1}也是等比数列，所以(an＋1＋1)2＝(an＋1)(an＋2＋1)，即a＋2an＋1＝anan＋2＋an＋an＋2，则an＋an＋2＝2an＋1，即an(1＋q2－2q)＝0，所以q＝1，即an＝2，所以Sn＝2n，故选C.‎ ‎5．(2017·福州质检)已知等比数列{an}的前n项积记为Ⅱn，若a‎3a‎4a8＝8，则Ⅱ9＝(　　)‎ A．512 B．256 ‎ C．81 D．16‎ 解析：选A　由题意知，a‎3a‎4a7q＝a‎3a7(a4q)＝a‎3a‎7a5＝a＝8，Ⅱ9＝a‎1a‎2a3…a9＝(a‎1a9)(a‎2a8)(a‎3a7)(a‎4a6)a5＝a，所以Ⅱ9＝83＝512.‎ ‎6．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了(　　)‎ A．192 里 B．96 里 ‎ C．48 里 D．24 里 解析：选B　设等比数列{an}的首项为a1，公比为q＝，依题意有＝378，解得a1＝192，则a2＝192×＝96，即第二天走了96 里，故选B.‎ 二、填空题 ‎7．已知数列1，a1，a2,9是等差数列，数列1，b1，b2，b3,9是等比数列，则的值为________．‎ 解析：因为1，a1，a2,9是等差数列，所以a1＋a2＝1＋9＝10.又1，b1，b2，b3,9是等比数列，所以b＝1×9＝9，易知b2>0，所以b2＝3，所以＝.‎ 答案： ‎8．设Sn为等比数列{an}的前n项和．若a1＝1，且3S1,2S2，S3成等差数列，则an＝________.‎ 解析：因为3S1,2S2，S3成等差数列，所以4S2＝3S1＋S3，即4(a1＋a2)＝‎3a1＋a1＋a2＋a3.化简，得＝3，即等比数列{an}的公比q＝3，故an＝1×3n－1＝3n－1.‎ 答案：3n－1‎ ‎9．在等比数列中，公比q＝2，前99项的和S99＝30，则a3＋a6＋a9＋…＋a99＝________.‎ 解析：∵S99＝30，∴a1(299－1)＝30.又∵数列a3，a6，a9，…，a99也成等比数列且公比为8，∴a3＋a6＋a9＋…a99＝＝＝×30＝.‎ 答案： ‎10．若一个数列的第m项等于这个数列的前m项的乘积，则称该数列为“m积数列”．若各项均为正数的等比数列{an}是一个“2 016积数列”，且a1＞1，则当其前n项的乘积取最大值时n的值为________．‎ 解析：由题可知a‎1a‎2a3·…·a2 016＝a2 016，‎ 故a‎1a‎2a3·…·a2 015＝1，‎ 由于{an}是各项均为正数的等比数列且a1＞1，‎ 所以a1 008＝1，公比0＜q＜1，‎ 所以a1 007＞1且0＜a1 009＜1，故当数列{an}的前n项的乘积取最大值时n的值为1 007或1 008.‎ 答案：1 007或1 008‎ 三、解答题 ‎11．设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且数列{Sn}是以2为公比的等比数列．‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)求a1＋a3＋…＋a2n＋1.‎ 解：(1)∵S1＝a1＝1，且数列{Sn}是以2为公比的等比数列，∴Sn＝2n－1.‎ 又当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1－2n－2＝2n－2.‎ 当n＝1时a1＝1，不适合上式．∴an＝ ‎(2)a3，a5，…，a2n＋1是以2为首项，4为公比的等比数列，‎ ‎∴a3＋a5＋…＋a2n＋1＝＝.‎ ‎∴a1＋a3＋…＋a2n＋1＝1＋＝.‎ ‎12．已知数列{an}满足a1＝5，a2＝5，an＋1＝an＋6an－1(n≥2)．‎ ‎(1)求证：{an＋1＋2an}是等比数列；‎ ‎(2)求数列{an}的通项公式．‎ 解：(1)证明：∵an＋1＝an＋6an－1(n≥2)，‎ ‎∴an＋1＋2an＝3an＋6an－1＝3(an＋2an－1)(n≥2)．‎ ‎∵a1＝5，a2＝5，‎ ‎∴a2＋‎2a1＝15，‎ ‎∴an＋2an－1≠0(n≥2)，‎ ‎∴＝3(n≥2)，‎ ‎∴数列{an＋1＋2an}是以15为首项，3为公比的等比数列．‎ ‎(2)由(1)得an＋1＋2an＝15×3n－1＝5×3n，‎ 则an＋1＝－2an＋5×3n，‎ ‎∴an＋1－3n＋1＝－2(an－3n)．‎ 又∵a1－3＝2，‎ ‎∴an－3n≠0，‎ ‎∴{an－3n}是以2为首项，－2为公比的等比数列．‎ ‎∴an－3n＝2×(－2)n－1，‎ 即an＝2×(－2)n－1＋3n.‎