第二节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
本节主要包括3个知识点：
1.二元一次不等式(组)表示的平面区域；
2.简单的线性规划问题；
3.线性规划的实际应用.
突破点(一) 二元一次不等式(组)表示的平面区域
基础联通 抓主干知识的“源”与“流”
1．二元一次不等式(组)表示的平面区域
不等式
表示区域
Ax＋By＋C＞0
直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域
不包括边界直线
Ax＋By＋C≥0
包括边界直线
不等式组
各个不等式所表示平面区域的公共部分
2.确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法步骤
考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”
求平面区域的面积
1.求平面区域的面积，要先作出不等式组表示的平面区域，然后根据区域的形状求面积．
2．求平面区域的面积问题，平面区域形状为三角形的居多，尤其当△ABC为等腰直角三角形(A为直角)时，点B到直线AC的距离即△ABC的腰长|AB|.由点到直线的距离公式求得|AB|，面积便可求出．
[例1] 不等式组表示的平面区域的面积为( )
A．4 B．1 C．5 D．无穷大
[解析] 不等式组表示的平面区域如图所示(阴影部分)，△ABC的面积即所求．求出点A，B，C的坐标分别为A(1,2)，B(2,2)，C(3,0)，则△ABC的面积为S＝×(2－1)×2＝1.
[答案] B
[方法技巧]
解决求平面区域面积问题的方法步骤
(1)画出不等式组表示的平面区域；
(2)判断平面区域的形状，并求得直线的交点坐标、图形的边长、相关线段的长(三角形的高、四边形的高)等，若为规则图形则利用图形的面积公式求解；若为不规则图形则利用割补法求解．
[提醒] 求面积时应考虑圆、平行四边形等图形的对称性．
根据平面区域满足的条件求参数
不等式组中的参数影响平面区域的形状，如果不等式组中的不等式含有参数，这时它表示的区域的分界线是一条变动的直线，此时要根据参数的取值范围确定这条直线的变化趋势、倾斜角度、上升还是下降、是否过定点等，确定区域的可能形状，进而根据题目要求求解；如果是一条曲线与平面区域具有一定的位置关系，可以考虑对应的函数的变化趋势，确定极限情况求解；如果目标函数中含有参数，则要根据这个目标函数的特点考察参数变化时目标函数与平面区域的关系，在运动变化中求解．
[例2] 若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是( )
A. B．(0,1]
C. D．(0,1]∪
[解析] 不等式组表示的平面区域如图所示(阴影部分)．由得A，；由得B(1,0)．若原不等式组表示的平面区域是一个三角形，则直线x＋y＝a中a的取值范围是0zC或zA＝zC>zB或zB＝zC>zA，解得a＝－1或a＝2.
5.设x，y满足约束条件则z＝(x＋1)2＋y2的最大值为________．
解析：作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．
(x＋1)2＋y2可看作点(x，y)到点P(－1，0)的距离的平方，由图可知可行域内的点A到点P(－1，0)的距离最大．
解方程组
得A点的坐标为(3,8)，代入z＝(x＋1)2＋y2，得zmax＝(3＋1)2＋82＝80.
答案：80
突破点(三) 线性规划的实际应用
基础联通 抓主干知识的“源”与“流”
解线性规划应用题的一般步骤
考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”
线性规划的实际应用
[典例] 某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为( )
甲
乙
原料限额
A(吨)
3
2
12
B(吨)
1
2
8
A．12万元 B．16万元
C．17万元 D．18万元
[解析] 设每天生产甲、乙产品分别为x吨、y吨，每天所获利润为z万元，则有z＝3x＋4y，作出可行域如图阴影部分所示，
由图形可知，当直线z＝3x＋4y经过点A(2,3)时，z取最大值，最大值为3×2＋4×3＝18.
[答案] D
[易错提醒]
求解线性规划应用题的三个注意点
(1)明确问题中的所有约束条件，并根据题意判断约束条件是否能够取到等号．
(2)注意结合实际问题的实际意义，判断所设未知数x，y的取值范围，特别注意分析x，y是否为整数、是否为非负数等．
(3)正确地写出目标函数，一般地，目标函数是等式的形式．
能力练通 抓应用体验的“得”与“失”
1．某校今年计划招聘女教师a名，男教师b名，若a，b满足不等式组设这所学校今年计划招聘教师最多x名，则x＝( )
A．10 B．12 C．13 D．16
解析：选C 如图所示，画出约束条件所表示的区域，即可行域，作直线b＋a＝0，并平移，结合a，b∈N，可知当a＝6，b＝7时，a＋b取最大值，故x＝6＋7＝13.
2．A，B两种规格的产品需要在甲、乙两台机器上各自加工一道工序才能成为成品．已知A产品需要在甲机器上加工3小时，在乙机器上加工1小时；B产品需要在甲机器上加工1小时，在乙机器上加工3小时．在一个工作日内，甲机器至多只能使用11小时，乙机器至多只能使用9小时．A产品每件利润300元，B产品每件利润400元，则这两台机器在一个工作日内创造的最大利润是________元．
解析：设生产A产品x件，B产品y件，则x，y满足约束条件生产利润为z＝300x＋400y.
画出可行域，如图中阴影部分(包含边界)内的整点，显然z＝300x＋400y在点M或其附近的整数点处取得最大值，
由方程组解得则zmax ＝300×3＋400×2＝1 700.故最大利润是1 700元．
答案：1 700
[全国卷5年真题集中演练——明规律]
1．(2014·新课标全国卷Ⅰ)不等式组的解集记为D.有下面四个命题：
p1：∀(x，y)∈D，x＋2y≥－2；
p2：∃(x，y)∈D，x＋2y≥2；
p3：∀(x，y)∈D，x＋2y≤3；
p4：∃(x，y)∈D，x＋2y≤－1.
其中的真命题是( )
A．p2，p3 B．p1，p4
C．p1，p2 D．p1，p3
解析：选C 画出可行域如图中阴影部分所示，由图可知，当目标函数z＝x＋2y经过可行域内的点A(2，－1)时，取得最小值0，故x＋2y≥0，因此p1，p2是真命题，选C.
2．(2013·新课标全国卷Ⅱ)已知a＞0，x，y满足约束条件若z＝2x＋y的最小值为1，则a＝( )
A. B. C．1 D．2
解析：选B 由已知约束条件，作出可行域如图中△ABC内部及边界部分所示，由目标函数z＝2x＋y的几何意义为直线l：y＝－2x＋z在y轴上的截距，知当直线l过可行域内的点B(1，－2a)时，目标函数z＝2x＋y的最小值为1，则2－2a＝1，a＝，故选B.
3．(2016·全国丙卷)若x，y满足约束条件则z＝x＋y的最大值为________．
解析：
不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．平移直线x＋y＝0，当直线经过A点时，z取得最大值， 由得A1，，zmax＝1＋＝.
答案：
4．(2016·全国乙卷)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3个工时．生产一件产品A的利润为2 100元，生产一件产品B的利润为900 元．该企业现有甲材料150 kg，乙材料90 kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为________元．
解析：设生产A产品x件，B产品y件，由已知可得约束条件为即
目标函数为z＝2 100x＋900y，
由约束条件作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．
作直线2 100x＋900y＝0，即7x＋3y＝0并上下平移，易知当直线经过点M时，z取得最大值，联立解得B(60,100)．
则zmax＝2 100×60＋900×100＝216 000(元)．
答案：216 000
5．(2015·新课标全国卷Ⅰ)若x，y满足约束条件则的最大值为________．
解析：画出可行域如图阴影所示，∵表示过点(x，y)与原点(0,0)的直线的斜率，
∴点(x，y)在点A处时最大．
由得
∴A(1,3)．∴的最大值为3.
答案：3
6．(2012·新课标全国卷)设x，y满足约束条件则z＝x－2y的取值范围为________．
解析：依题意，画出可行域，如图所示，可行域为ABOC，显然，当直线y＝x－过点A(1,2)时，z取得最小值为－3；当直线过点B(3,0)时，z取得最大值为3，综上可知z的取值范围为[－3,3]．
答案：[－3,3]
[课时达标检测] 重点保分课时——一练小题夯双基，二练题点过高考
[练基础小题——强化运算能力]
1．下面给出的四个点中，位于表示的平面区域内的点是( )
A．(0,2) B．(－2,0)
C．(0，－2) D．(2,0)
解析：选C 将四个点的坐标分别代入不等式组验证可知，满足条件的只有(0，－2)．
2．不等式组所表示的平面区域的面积等于( )
A. B. C. D.
解析：选C 平面区域如图中阴影部分所示．解得A(1,1)，易得B(0,4)，C，|BC|＝4－＝.∴S△ABC＝××1＝.
3．若x，y满足则z＝x＋2y的最大值为( )
A．0 B．1 C. D．2
解析：选D 作出不等式组所表示的平面区域，如图所示．作直线x＋2y＝0并上下平移，易知当直线过点A(0,1)时，z＝x＋2y取最大值，即zmax＝0＋2×1＝2.
4．若x，y满足约束条件则(x＋2)2＋(y＋3)2的最小值为( )
A．1 B. C．5 D．9
解析：选B 不等式组表示的可行域如图阴影部分所示，由题意可知点P(－2，－3)到直线x＋y＋2＝0的距离为＝，所以(x＋2)2＋(y＋3)2的最小值为2＝，故选B.
5．设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝3x－y的最大值为________．
解析：根据约束条件作出可行域如图中阴影部分所示，∵z＝3x－y，∴y＝3x－z，当该直线经过点A(2,2)时，z取得最大值，即zmax ＝3×2－2＝4.
答案：4
[练常考题点——检验高考能力]
一、选择题
1．若x，y满足不等式组则z＝3x＋y的最大值为( )
A．11 B．－11 C．13 D．－13
解析：选A 将z＝3x＋y化为y＝－3x＋z，作出可行域如图阴影部分所示，易知当直线y＝－3x＋z经过点D时，z取得最大值．联立得D(4，－1)，此时zmax＝4×3－1＝11，故选A.
2．(2017·河南八市高三质检)已知x，y满足约束条件目标函数z＝6x＋2y的最小值是10，则z的最大值是( )
A．20 B．22 C．24 D．26
解析：选A 由z＝6x＋2y，得y＝－3x＋，作出不等式组所表示可行域的大致图形如图中阴影部分所示，由图可知当直线y＝－3x＋经过点C时，直线的纵截距最小，即z＝6x＋2y取得最小值10，由解得即C(2，－1)，将其代入直线方程－2x＋y＋c＝0，得c＝5，即直线方程为－2x＋y＋5＝0，平移直线3x＋y＝0，当直线经过点D时，直线的纵截距最大，此时z取最大值，由得即D(3,1)，将点D的坐标代入目标函数z＝6x＋2y，得zmax＝6×3＋2＝20，故选A.
3．若x，y满足且z＝y－x的最小值为－4，则k的值为( )
A．2 B．－2 C. D．－
解析：选D 作出线性约束条件的可行域．当k≥0时，如图(1)所示，此时可行域为x轴上方、直线x＋y－2＝0的右上方、直线kx－y＋2＝0的右下方的区域，显然此时z＝y－x无最小值．当k
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