第二节直接证明与间接证明、数学归纳法
本节主要包括3个知识点：
1.直接证明； 2.间接证明；3.数学归纳法.
突破点(一) 直接证明
基础联通 抓主干知识的“源”与“流”
内容
综合法
分析法
定义
利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立.
从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止
思维过程
由因导果
执果索因
框图表示
→→…→
→→…→
书写格式
因为…，所以…或由…，得…
要证…，只需证…，即证…
考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”
综合法
综合法是从已知条件出发，逐步推向结论，综合法的适用范围是：
(1)定义明确的问题，如证明函数的单调性、奇偶性，求证无条件的等式或不等式；
(2)已知条件明确，并且容易通过分析和应用条件逐步逼近结论的题型．
[例1] (2017·武汉模拟)已知函数f(x)＝(λx＋1)ln x－x＋1.
(1)若λ＝0，求f(x)的最大值；
(2)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线x＋y＋1＝0垂直，证明：>0.
[解] (1)f(x)的定义域为(0，＋∞)．
当λ＝0时，f(x)＝ln x－x＋1.
则f′(x)＝－1，令f′(x)＝0，解得x＝1.
当01时，f′(x)0.
综上可知，>0.
[方法技巧] 综合法证题的思路
分析法
分析法是逆向思维，当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接，或证明过程中需要用到的知识不太明确、具体时，往往采用分析法，特别是含有根号、绝对值的等式或不等式，从正面不易推导时，常考虑用分析法．
[例2] 已知a>0，证明 －≥a＋－2.
[证明] 要证 －≥a＋－2，
只需证 ≥－(2－)．
因为a>0，所以－(2－)>0，
所以只需证2≥2，
即2(2－)≥8－4，只需证a＋≥2.
因为a>0，a＋≥2显然成立当且仅当a＝＝1时，等号成立，所以要证的不等式成立．
[方法技巧]
分析法证题的思路
(1)逆向思考是用分析法证题的主要思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件．正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键．
(2)证明较复杂的问题时，可以采用两头凑的办法，即通过分析法找出某个与结论等价(或充分)的中间结论，然后通过综合法证明这个中间结论，从而使原命题得证．
能力练通 抓应用体验的“得”与“失”
1．[考点一]命题“对于任意角θ，cos4θ－sin4θ＝cos 2θ”的证明：“cos4θ－sin4θ＝(cos2θ－sin2θ)(cos2θ＋sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos 2θ”过程应用了( )
A．分析法
B．综合法
C．综合法、分析法综合使用
D．间接证明法
解析：选B 因为证明过程是“从左向右”，即由条件逐步推向结论，故选B.
2．[考点一](2017·广州调研)若a，b，c为实数，且a＜b＜0，则下列命题正确的是( )
A．ac2＜bc2 B．a2＞ab＞b2
C.＜ D.＞
解析：选B a2－ab＝a(a－b)，
∵a＜b＜0，∴a－b＜0，
∴a(a－b)>0，即a2－ab＞0，∴a2＞ab.①
又∵ab－b2＝b(a－b)＞0，∴ab＞b2，②
由①②得a2＞ab＞b2.
3．[考点一]已知实数a1，a2，…，a2 017满足a1＋a2＋a3＋…＋a2 017＝0，且|a1－2a2|＝|a2－2a3|＝…＝|a2 017－2a1|，证明：a1＝a2＝a3＝…＝a2 017＝0.
证明：根据条件知：(a1－2a2)＋(a2－2a3)＋(a3－2a4)＋…＋(a2 017－2a1)＝－(a1＋a2＋a3
＋…＋a2 017)＝0.①
另一方面，令|a1－2a2|＝|a2－2a3|＝|a3－2a4|＝…＝|a2 017－2a1|＝m，
则a1－2a2，a2－2a3，a3－2a4，…，a2 017－2a1中每个数或为m或为－m.
设其中有k个m，(2 017－k)个－m，则
(a1－2a2)＋(a2－2a3)＋(a3－2a4)＋…＋(a2 017－2a1)＝k×m＋(2 017－k)×(－m)＝(2k－2 017)m.②
由①②知：(2k－2 017)m＝0.③
而2k－2 017为奇数，不可能为0，所以m＝0.
于是知：a1＝2a2，a2＝2a3，a3＝2a4，…，a2 016＝2a2 017，a2 017＝2a1.
所以a1＝22 017·a1，即得a1＝0.
从而a1＝a2＝a3＝…＝a2 017＝0.命题得证．
4．[考点二]已知m>0，a，b∈R，求证：2≤.
证明：因为m>0，所以1＋m>0.
所以要证原不等式成立，只需证(a＋mb)2≤(1＋m)·(a2＋mb2)，
即证m(a2－2ab＋b2)≥0，即证m(a－b)2≥0，即证(a－b)2≥0，而(a－b)2≥0显然成立，故原不等式得证．
突破点(二) 间接证明
基础联通 抓主干知识的“源”与“流”
1．反证法
假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．
2．用反证法证明问题的一般步骤
第一步
分清命题“p⇒q”的条件和结论
第二步
作出命题结论q相反的假设綈q
第三步
由p和綈q出发，应用正确的推理方法，推出矛盾结果
第四步
断定产生矛盾结果的原因在于开始所作的假设綈q不真，于是结论q成立，从而间接地证明了命题p⇒q为真
3.常见的结论和反设词
原结论词
反设词
至少有一个
一个都没有
至多有一个
至少有两个
至少有n个
至多有(n－1)个
至多有n个
至少有(n＋1)个
都是
不都是
对任意x成立
存在某个x不成立
对任意x不成立
存在某个x成立
p或q
綈p且綈q
p且q
綈p或綈q
不都是
都是
考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”
证明否定性命题
[例1] 已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋Sn＝2.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求证：数列{an}中任意三项不可能按原来顺序成等差数列．
[解] (1)当n＝1时，a1＋S1＝2a1＝2，则a1＝1.
又an＋Sn＝2，
所以an＋1＋Sn＋1＝2，
两式相减得an＋1＝an，
所以{an}是首项为1，公比为的等比数列，
所以an＝.
(2)证明：假设存在三项按原来顺序成等差数列，记为ap＋1，aq＋1，ar＋1(pb与aa
C．c>a>b D．a>c>b
解析：选A ∵a＝－＝，b＝－＝，c＝－＝，且＋>＋>＋>0，∴a>b>c.
[练常考题点——检验高考能力]
一、选择题
1．已知函数f(x)＝x，a，b为正实数，A＝f，B＝f()，C＝f，则A，B，C的大小关系为( )
A．A≤B≤C B．A≤C≤B
C．B≤C≤A D．C≤B≤A
解析：选A 因为≥≥，又f(x)＝x在R上是单调减函数，故f≤f()≤f，即A≤B≤C.
2．设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，若x1＋x2>0，则f(x1)＋f(x2)的值( )
A．恒为负值 B．恒等于零
C．恒为正值 D．无法确定正负
解析：选A 由f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，可知f(x)是R上的单调递减函数，由x1＋x2>0，可知x1>－x2，f(x1)c≥b
C．c>b>a D．a>c>b
解析：选A ∵c－b＝4－4a＋a2＝(2－a)2≥0，∴c≥b.已知两式作差得2b＝2＋2a2，即b＝1＋a2.∵1＋a2－a＝2＋>0，∴1＋a2>a.∴b＝1＋a2>a.∴c≥b>a，故选A.
4．平面内有n条直线，最多可将平面分成f(n)个区域，则f(n)的表达式为( )
A．n＋1 B．2n
C. D．n2＋n＋1
解析：选C 1条直线将平面分成1＋1个区域；2条直线最多可将平面分成1＋(1＋2)＝4个区域；3条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3)＝7个区域；…；n条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3＋…＋n)＝1＋＝个区域．
5．已知a，b∈R，m＝，n＝b2－b＋，则下列结论正确的是( )
A．m≤n B．m≥n
C．m>n D．mb，则f(f(b))>f(b)>b，与题意不符，
若f(b)0的解集为(－2,1)．
参考上述解法，若关于x的不等式＋
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