2018届高考数学（理）大一轮复习教师用书：第八章第二节空间点、直线、平面之间的位置关系（含解析）.doc

第二节空间点、直线、平面之间的位置关系 突破点(一) 平面的基本性质 基础联通 抓主干知识的“源”与“流” 1．公理 1～3 表示 公理 文字语言 图形语言 符号语言 公理 1 如果一条直线上的两点 在一个平面内，那么这条 直线在此平面内 A∈l B∈l A∈α B∈α ⇒l⊂α 公理 2 过不在一条直线上的三 点，有且只有一个平面 A，B，C 三点不共线⇒有 且只有一个平面α，使 A ∈α，B∈α，C∈α 公理 3 如果两个不重合的平面 有一个公共点，那么它们 有且只有一条过该点的 公共直线 P∈α，且 P∈β⇒α∩β＝l， 且 P∈l 2．公理 2 的三个推论 推论 1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面； 推论 2：经过两条相交直线有且只有一个平面； 推论 3：经过两条平行直线有且只有一个平面． 考点贯通 抓高考命题的“形”与“神” 点、线、面的位置关系 1．证明点共线问题的常用方法 (1)公理法：先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的公共点，再根据公理 3 证明这些点都在交线上； (2)同一法：选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直线上． 本节主要包括 2 个知识点： 1.平面的基本性质； 2.空间两直线的位置关系.2．证明线共点问题的方法 先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过该点． 3．证明点、直线共面问题的常用方法 (1)纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内； (2)辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证 明平面α，β重合． [典例] 已知：空间四边形 ABCD(如图所示)，E，F 分别是 AB， AD 的中点，G，H 分别是 BC，CD 上的点，且 CG＝1 3BC，CH＝1 3DC. 求证： (1)E，F，G，H 四点共面； (2)三直线 FH，EG，AC 共点． [证明] (1)连接 EF，GH， ∵E，F 分别是 AB，AD 的中点， ∴EF∥BD. 又∵CG＝1 3BC，CH＝1 3DC， ∴GH∥BD，∴EF∥GH， ∴E，F，G，H 四点共面． (2)易知 FH 与直线 AC 不平行，但共面， ∴设 FH∩AC＝M， ∴M∈平面 EFHG，M∈平面 ABC. 又∵平面 EFHG∩平面 ABC＝EG， ∴M∈EG， ∴FH，EG，AC 共点． [方法技巧] 平面的基本性质的应用 公理 1 是判断一条直线是否在某个平面内的依据，公理 2 及其推论是判断或证明点、 线共面的依据，公理 3 是证明三线共点或三点共线的依据． 能力练通 抓应用体验的“得”与“失” 1．如图是正方体或四面体，P，Q，R，S 分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的 一个图是( )解析：选 D A、B、C 图中四点一定共面，D 中四点不共面． 2．若空间中 n 个不同的点两两距离都相等，则正整数 n 的取值( ) A．至多等于 3 B．至多等于 4 C．等于 5 D．大于 5 解析：选 B n＝2 时，可以；n＝3 时，为正三角形，可以；n＝4 时，为正四面体，可 以；n＝5 时，为四棱锥，侧面为正三角形，底面为菱形且对角线长与边长相等，这种情况 不可能出现，所以正整数 n 的取值至多等于 4. 3．以下四个命题中，正确命题的个数是( ) ①不共面的四点中，其中任意三点不共线； ②若点 A，B，C，D 共面，点 A，B，C，E 共面，则 A，B，C，D，E 共面； ③若直线 a，b 共面，直线 a，c 共面，则直线 b，c 共面； ④依次首尾相接的四条线段必共面． A．0 B．1 C．2 D．3 解析：选 B ①显然是正确的，可用反证法证明；②中若 A，B，C 三点共线，则 A，B，C，D，E 五点不一定共面；③构造长方体或正方体， 如图显然 b，c 异面，故不正确；④中空间四边形中四条线段不共面．故只 有①正确． 4.如图所示，四边形 ABEF 和四边形 ABCD 都是梯形，BC 綊 1 2AD，BE 綊 1 2FA，G，H 分别为 FA，FD 的中点． (1)证明：四边形 BCHG 是平行四边形； (2)C，D，F，E 四点是否共面？为什么？ 解：(1)证明：由已知 FG＝GA，FH＝HD，可得 GH 綊 1 2AD.又∵BC 綊 1 2AD，∴GH 綊 BC，∴四边形 BCHG 为平行四边形． (2)C，D，F，E 四点共面，证明如下： 由 BE 綊 1 2AF，G 为 FA 的中点知 BE 綊 FG，∴四边形 BEFG 为平行四边形，∴EF∥BG.由(1)知 BG∥CH，∴EF∥CH.∴EF 与 CH 共面．又 D∈FH，∴C，D，F，E 四点共面． 突破点(二) 空间两直线的位置关系 基础联通 抓主干知识的“源”与“流” 1．空间中两直线的位置关系 (1)空间中两直线的位置关系 共面直线 平行 相交 异面直线：不同在任何一个平面内 (2)公理 4 和等角定理 ①公理 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行． ②等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 2．异面直线所成的角 (1)定义：设 a，b 是两条异面直线，经过空间任一点 O 作直线 a′∥a，b′∥b，把 a′ 与 b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线 a 与 b 所成的角(或夹角)． (2)范围： 0，π 2 . 考点贯通 抓高考命题的“形”与“神” 空间两直线位置关系的判定 [例 1] (1)下列结论正确的是( ) ①在空间中，若两条直线不相交，则它们一定平行； ②平行于同一条直线的两条直线平行； ③一条直线和两条平行直线中的一条相交，那么它也和另一条相交； ④空间四条直线 a，b，c，d，如果 a∥b，c∥d，且 a∥d，那么 b∥c. A．①②③ B．②④ C．③④ D．②③ (2)在图中，G，N，M，H 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线 GH， MN 是异面直线的图形有________．(填上所有正确答案的序号) [解析] (1)①错，两条直线不相交，则它们可能平行，也可能异面；②由公理 4 可知正 确；③错，若一条直线和两条平行直线中的一条相交，则它和另一条直线可能相交，也可能异面；④由平行直线的传递性可知正确．故选 B. (2)图①中，直线 GH∥MN；图②中，G，H，N 三点共面，但 M∉平面 GHN，因此直 线 GH 与 MN 异面；图③中，连接 MG，GM∥HN，因此 GH 与 MN 共面；图④中，G，M， N 共面，但 H∉平面 GMN，因此 GH 与 MN 异面．所以在图②④中，GH 与 MN 异面． [答案] (1)B (2)②④ [方法技巧] 判断空间两直线位置关系的思路方法 (1)判断空间两直线的位置关系一般可借助正方体模型，以正方体为主线直观感知并准 确判断． (2)异面直线的判定方法 ①反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设的条件出 发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面． ②定理法：平面外一点 A 与平面内一点 B 的连线和平面内不经过点 B 的直线是异面直 线． 异面直线所成的角 [例 2] 空间四边形ABCD 中，AB＝CD且 AB与CD 所成的角为30°， E，F 分别为 BC，AD 的中点，求 EF 与 AB 所成角的大小． [解] 取 AC 的中点 G，连接 EG，FG，则 EG 綊 1 2AB，FG 綊 1 2CD， 由 AB＝CD 知 EG＝FG， ∴∠GEF(或它的补角)为 EF 与 AB 所成的角，∠EGF(或它的补角) 为 AB 与 CD 所成的角． ∵AB 与 CD 所成的角为 30°， ∴∠EGF＝30°或 150°. 由 EG＝FG 知△EFG 为等腰三角形， 当∠EGF＝30°时，∠GEF＝75°； 当∠EGF＝150°时，∠GEF＝15°. 故 EF 与 AB 所成的角为 15°或 75°. [方法技巧] 用平移法求异面直线所成的角的步骤 (1)一作：即根据定义作平行线，作出异面直线所成的角；(2)二证：即证明作出的角是异面直线所成的角； (3)三求：解三角形，求出作出的角．如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角； 如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角． 能力练通 抓应用体验的“得”与“失” 1．[考点一]下列说法正确的是( ) A．若 a⊂α，b⊂β，则 a 与 b 是异面直线 B．若 a 与 b 异面，b 与 c 异面，则 a 与 c 异面 C．若 a，b 不同在平面α内，则 a 与 b 异面 D．若 a，b 不同在任何一个平面内，则 a 与 b 异面 解析：选 D 由异面直线的定义可知 D 正确． 2．[考点一]l1，l2，l3 是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是( ) A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3 B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3 C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3 共面 D．l1，l2，l3 共点⇒l1，l2，l3 共面 解析：选 B 若 l1⊥l2，l2⊥l3，则 l1，l3 有三种位置关系，可能平行、相交或异面，A 不正确；当 l1∥l2∥l3 或 l1，l2，l3 共点时，l1，l2，l3 可能共面，也可能不共面，C，D 不正 确；当 l1⊥l2，l2∥l3 时，则有 l1⊥l3，故选 B. 3．[考点二]如图，四边形 ABCD 和 ADPQ 均为正方形，它们所在的平 面互相垂直，则异面直线 AP 与 BD 所成的角为________． 解析：如图，将原图补成正方体 ABCDQGHP，连接 GP，AG，则 GP∥BD，所以∠ APG 为异面直线 AP 与 BD 所成的角，在△AGP 中 AG＝GP＝AP，所 以∠APG＝π 3. 答案：π 3 4．[考点一、二]如图所示，三棱锥 PABC 中， PA⊥平面 ABC， ∠BAC＝60°，PA＝AB＝AC＝2，E 是 PC 的中点． (1)求证 AE 与 PB 是异面直线； (2)求异面直线 AE 与 PB 所成角的余弦值． 解：(1)证明：假设 AE 与 PB 共面，设平面为α，∵A∈α，B∈α， E∈α， ∴平面α即为平面 ABE，∴P∈平面 ABE，这与 P∉平面 ABE 矛盾，所以 AE 与 PB 是异面直线． (2)取 BC 的中点 F，连接 EF，AF，则 EF∥PB，所以∠AEF(或其 补角)就是异面直线 AE 与 PB 所成的角． ∵∠BAC＝60°，PA＝AB＝AC＝2，PA⊥平面 ABC，∴AF＝ 3， AE＝ 2，EF＝ 2，cos∠AEF＝AE2＋EF2－AF2 2·AE·EF ＝ 2＋2－3 2× 2× 2 ＝1 4 ， 故异面直线 AE 与 PB 所成角的余弦值为1 4. [全国卷 5 年真题集中演练——明规律] 1.(2016·全国乙卷)平面α过正方体 ABCDA1B1C1D1 的顶点 A，α∥平面 CB1D1，α∩平面 ABCD＝m，α∩平面 ABB1A1＝n，则 m，n 所成角的正弦值为( ) A. 3 2 B. 2 2 C. 3 3 D.1 3 解析：选 A 如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1 的上方接一个同等 大小的正方体 ABCDA2B2C2D2，则过 A 与平面 CB1D1 平行的是平面 AB2D2，即平面α就是平面 AB2D2，平面 AB2D2∩平面 ABB1A1＝AB2， 即直线 n 就是直线 AB2，由面面平行的性质定理知直线 m 平行于直线 B2D2，故 m，n 所成的角就等于 AB2 与 B2D2 所成的角，在等边三角形 AB2D2 中，∠AB2D2＝60°，故其正弦值为 3 2 .故选 A. 2．(2013·新课标全国卷Ⅱ)已知 m，n 为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线 l 满足 l ⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则( ) A．α∥β且 l∥α B．α⊥β且 l⊥β C．α与β相交，且交线垂直于 l D．α与β相交，且交线平行于 l 解析：选 D 由于 m，n 为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，则平面α与平面β必相交， 但未必垂直，且交线垂直于直线 m，n，又直线 l 满足 l⊥m，l⊥n，则交线平行于 l，故选 D. 3．(2016·全国甲卷)α，β是两个平面，m，n 是两条直线，有下列四个命题： ①如果 m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β.②如果 m⊥α，n∥α，那么 m⊥n. ③如果α∥β，m⊂α，那么 m∥β. ④如果 m∥n，α∥β，那么 m 与α所成的角和 n 与β所成的角相等． 其中正确的命题有________．(填写所有正确命题的编号) 解析：对于①，α，β可能平行，也可能相交但不垂直，故错误．对于②，由线面平行 的性质定理知存在直线 l⊂α，n∥l，又 m⊥α，所以 m⊥l，所以 m⊥n，故正确．对于③， 因为α∥β，所以α，β没有公共点．又 m⊂α，所以 m，β没有公共点，由线面平行的定义可 知 m∥β，故正确．对于④，因为 m∥n，所以 m 与α所成的角和 n 与α所成的角相等．因为 α∥β，所以 n 与α所成的角和 n 与β所成的角相等，所以 m 与α所成的角和 n 与β所成的角相 等，故正确． 答案：②③④ [课时达标检测] 重点保分课时——一练小题夯双基，二练题点过高考 [练基础小题——强化运算能力] 1．四条线段顺次首尾相连，它们最多可确定的平面有( ) A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个 解析：选 A 首尾相连的四条线段每相邻两条确定一个平面，所以最多可以确定四个 平面． 2．已知 A，B，C，D 是空间四点，命题甲：A，B，C，D 四点不共面，命题乙：直线 AC 和 BD 不相交，则甲是乙成立的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选 A 若 A，B，C，D 四点不共面，则直线 AC 和 BD 不共面，所以 AC 和 BD 不相交，充分性成立；若直线 AC 和 BD 不相交，若直线 AC 和 BD 平行，则 A，B，C，D 四点共面，必要性不成立，所以甲是乙成立的充分不必要条件． 3．若直线 a⊥b，且直线 a∥平面α，则直线 b 与平面α的位置关系是( ) A．b⊂α B．b∥α C．b⊂α或 b∥α D．b 与α相交或 b⊂α或 b∥α 解析：选 D 结合正方体模型可知 b 与α相交或 b⊂α或 b∥α都有可能． 4.如图，平行六面体 ABCD A1B1C1D1 中既与 AB 共面又与 CC1 共面的棱有________条． 解析：依题意，与 AB 和 CC1 都相交的棱有 BC；与 AB 相交且与 CC1 平行有棱 AA1， BB1；与 AB 平行且与 CC1 相交的棱有 CD，C1D1.故符合条件的棱有 5 条． 答案：5 [练常考题点——检验高考能力] 一、选择题 1．若直线上有两个点在平面外，则( ) A．直线上至少有一个点在平面内 B．直线上有无穷多个点在平面内 C．直线上所有点都在平面外 D．直线上至多有一个点在平面内 解析：选 D 根据题意，两点确定一条直线，那么由于直线上有两个点在平面外，则 直线在平面外，只能是直线与平面相交，或者直线与平面平行，那么可知直线上至多有一 个点在平面内． 2．空间四边形两对角线的长分别为 6 和 8，所成的角为 45°，连接各边中点所得四边 形的面积是( ) A．6 2 B．12 C．12 2 D．24 2 解析：选 A 如图，已知空间四边形 ABCD，对角线 AC＝6，BD ＝8，易证四边形 EFGH 为平行四边形，∠EFG 或∠FGH 为 AC 与 BD 所成的角，大小为 45°，故 S 四边形 EFGH＝3×4×sin 45°＝6 2，故选 A. 3．若空间中四条两两不同的直线 l1，l2，l3，l4，满足 l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结 论一定正确的是( ) A．l1⊥l4 B．l1∥l4 C．l1 与 l4 既不垂直也不平行 D．l1 与 l4 的位置关系不确定 解析：选 D 构造如图所示的正方体 ABCDA1B1C1D1，取 l1 为 AD， l2 为 AA1，l3 为 A1B1，当取 l4 为 B1C1 时，l1∥l4，当取 l4 为 BB1 时，l1 ⊥l4，故排除 A、B、C，选 D. 4．已知直线 a 和平面α，β，α∩β＝l，a⊄α，a⊄β，且 a 在α，β内的 射影分别为直线 b 和 c，则直线 b 和 c 的位置关系是( )A．相交或平行 B．相交或异面 C．平行或异面 D．相交、平行或异面 解析：选 D 依题意，直线 b 和 c 的位置关系可能是相交、平行或 异面． 5.如图，ABCD A1B1C1D1 是长方体，O 是 B1D1 的中点，直线 A1C 交平面 AB1D1 于点 M，则下列结论正确的是( ) A．A，M，O 三点共线 B．A，M，O，A1 不共面 C．A，M，C，O 不共面 D．B，B1，O，M 共面 解析：选 A 连接 A1C1，AC，则 A1C1∥AC，所以 A1，C1，C，A 四点共面，所以 A1C⊂平面 ACC1A1，因为 M∈A1C，所以 M∈平面 ACC1A1，又 M∈平面 AB1D1，所以 M 在平面 ACC1A1 与平面 AB1D1 的 交线上，同理 O 在平面 ACC1A1 与平面 AB1D1 的交线上，所以 A，M， O 三点共线． 6．过正方体 ABCD A1B1C1D1 的顶点 A 作直线 l，使 l 与棱 AB，AD，AA1 所成的角 都相等，这样的直线 l 可以作( ) A．1 条 B．2 条 C．3 条 D．4 条 解析：选 D 如图，连接体对角线 AC1，显然 AC1 与棱 AB，AD， AA1 所成的角都相等，所成角的正切值都为 2.联想正方体的其他体对角 线，如连接 BD1，则 BD1 与棱 BC，BA，BB1 所成的角都相等，∵BB1 ∥AA1，BC∥AD，∴体对角线 BD1 与棱 AB，AD，AA1 所成的角都相等， 同理，体对角线 A1C，DB1 也与棱 AB，AD，AA1 所成的角都相等，过 A 点分别作 BD1，A1C， DB1 的平行线都满足题意，故这样的直线 l 可以作 4 条． 二、填空题 7.如图所示，在空间四边形 ABCD 中，点 E，H 分别是边 AB， AD 的中点，点 F，G 分别是边 BC，CD 上的点，且CF CB ＝CG CD ＝2 3 ，则 下列说法正确的是________．(填写所有正确说法的序号) ①EF 与 GH 平行 ②EF 与 GH 异面 ③EF 与 GH 的交点 M 可能在直线 AC 上，也可能不在直线 AC 上 ④EF 与 GH 的交点 M 一定在直线 AC 上 解析：连接 EH，FG(图略)，依题意，可得 EH∥BD，FG∥BD，故 EH∥FG，所以 E，F，G，H 共面． 因为 EH＝1 2BD，FG＝2 3BD，故 EH≠FG， 所以 EFGH 是梯形，EF 与 GH 必相交， 设交点为 M.因为点 M 在 EF 上， 故点 M 在平面 ACB 上．同理，点 M 在平面 ACD 上， ∴点 M 是平面 ACB 与平面 ACD 的交点， 又 AC 是这两个平面的交线， 所以点 M 一定在直线 AC 上． 答案：④ 8．如图为正方体表面的一种展开图，则图中的 AB，CD，EF，GH 在原正方体中互为 异面直线的有________对． 解析：平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化，则 AB，CD，EF 和 GH 在原 正方体中，显然 AB 与 CD，EF 与 GH，AB 与 GH 都是异面直线，而 AB 与 EF 相交，CD 与 GH 相交，CD 与 EF 平行．故互为异面直线的有 3 对． 答案：3 9．已知 a，b，c 为三条不同的直线，且 a⊂平面α，b⊂平面β，α∩β＝c. ①若 a 与 b 是异面直线，则 c 至少与 a，b 中的一条相交； ②若 a 不垂直于 c，则 a 与 b 一定不垂直； ③若 a∥b，则必有 a∥c； ④若 a⊥b，a⊥c，则必有α⊥β. 其中正确的命题有________．(填写所有正确命题的序号) 解析：①中若 a 与 b 是异面直线，则 c 至少与 a，b 中的一条相交，故①正确；②中平 面α⊥平面β时，若 b⊥c，则 b⊥平面α，此时不论 a，c 是否垂直，均有 a⊥b，故②错误； ③中当 a∥b 时，则 a∥平面β，由线面平行的性质定理可得 a∥c，故③正确；④中若 b∥c， 则 a⊥b，a⊥c 时，a 与平面β不一定垂直，此时平面α与平面β也不一定垂直，故④错误． 答案：①③ 10.如图，在三棱锥 ABCD 中，AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC ＝2，点 M，N 分别为 AD，BC 的中点，则异面直线 AN，CM 所成的 角的余弦值是________．解析：如图所示，连接 DN，取线段 DN 的中点 K，连接 MK，CK.∵M 为 AD 的中点， ∴MK∥AN，∴∠KMC(或其补角)为异面直线 AN，CM 所成的角．∵AB＝AC＝BD＝CD＝ 3，AD＝BC＝2，N 为 BC 的中点，由勾股定理易求得 AN＝DN＝CM＝2 2，∴MK＝ 2. 在 Rt△CKN 中，CK＝  22＋12 ＝ 3.在△CKM 中，由余弦定理，得 cos∠KMC＝  22＋2 22－ 32 2× 2×2 2 ＝7 8 ，所以异面直线 AN，CM 所成的角的余弦值是7 8. 答案：7 8 三、解答题 11.如图所示，A 是△BCD 所在平面外的一点，E，F 分别是 BC， AD 的中点． (1)求证：直线 EF 与 BD 是异面直线； (2)若 AC⊥BD，AC＝BD，求 EF 与 BD 所成的角． 解：(1)证明：假设 EF 与 BD 不是异面直线，则 EF 与 BD 共面， 从而 DF 与 BE 共面，即 AD 与 BC 共面，所以 A，B，C，D 在同一平面内，这与 A 是△BCD 所在平面外的一点相矛盾．故直线 EF 与 BD 是异面直线． (2)取 CD 的中点 G，连接 EG，FG，则 AC∥FG，EG∥BD， 所以相交直线 EF 与 EG 所成的角， 即为异面直线 EF 与 BD 所成的角． 又因为 AC⊥BD，则 FG⊥EG. 在 Rt△EGF 中，由 EG＝FG＝1 2AC，求得∠FEG＝45°，即异面直线 EF 与 BD 所成 的角为 45°. 12.如图，在三棱锥 PABC 中，PA⊥底面 ABC，D 是 PC 的中 点．已知∠BAC＝π 2 ，AB＝2，AC＝2 3，PA＝2.求： (1)三棱锥 PABC 的体积； (2)异面直线 BC 与 AD 所成角的余弦值． 解：(1)S△ABC＝1 2 ×2×2 3＝2 3，三棱锥 PABC 的体积为 V＝1 3S△ABC·PA＝1 3 ×2 3×2 ＝4 3 3 . (2)如图，取 PB 的中点 E，连接 DE，AE，则 ED∥BC，所以 ∠ADE(或其补角)是异面直线 BC 与 AD 所成的角．在△ADE 中， DE＝2，AE＝ 2，AD＝2，cos∠ADE＝22＋22－2 2×2×2 ＝3 4.故异面直线 BC 与 AD 所成角的余弦值为3 4.