2018届高考数学大一轮复习--直线、平面平行的判定与性质(理科附解析)
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资料简介
第三节本节主要包括2个知识点:‎ ‎1.直线与平面平行的判定与性质; ‎2.平面与平面平行的判定与性质.‎ 直线、平面平行的判定与性质 突破点(一) 直线与平面平行的判定与性质 基础联通 抓主干知识的“源”与“流” ‎ 直线与平面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行(线线平行⇒线面平行)‎ l∥a,a⊂α,l⊄α⇒l∥α 性质定理 一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(线面平行⇒线线平行)‎ l∥α,l⊂β,‎ α∩β=b⇒l∥b 考点贯通 抓高考命题的“形”与“神” ‎ 线面平行的判定 ‎[例1] 如图,在三棱台DEFABC中,AB=2DE,点G,H分别为AC,BC的中点.求证:BD∥平面FGH.‎ ‎[证明] 如图,连接DG,CD,设CD∩FG=O,连接OH.‎ 在三棱台DEFABC中,AB=2DE,点G为AC的中点,‎ 可得DF∥GC,DF=GC,‎ 所以四边形DFCG为平行四边形,‎ 所以点O为CD的中点.‎ 又因为点H为BC的中点,‎ 所以OH∥BD.‎ 又因为OH⊂平面FGH,BD⊄平面FGH,‎ 所以BD∥平面FGH.‎ ‎[方法技巧]‎ 判定线面平行的四种方法 ‎(1)利用线面平行的定义(无公共点);‎ ‎(2)利用线面平行的判定定理(a⊄α,b⊂α,a∥b⇒a∥α);‎ ‎(3)利用面面平行的性质定理(α∥β,a⊂α⇒a∥β);‎ ‎(4)利用面面平行的性质(α∥β,a⊄α,a⊄β,a∥α⇒a∥β).‎ 线面平行性质定理的应用 ‎[例2] 如图,四棱锥PABCD的底面是边长为8的正方形,四条侧棱长均为2 .点G,E,F,H 分别是棱 PB,AB,CD,PC上共面的四点,平面GEFH⊥平面ABCD,BC∥平面GEFH.‎ ‎(1)证明:GH∥EF;‎ ‎(2)若EB=2,求四边形GEFH 的面积.‎ ‎[解] (1)证明:因为BC∥平面GEFH,BC⊂平面PBC,且平面PBC∩平面GEFH=GH,‎ 所以GH∥BC.‎ 同理可证EF∥BC,‎ 因此GH∥EF.‎ ‎(2)如图,连接AC,BD交于点O,BD交EF于点K,连接OP,GK.‎ 因为PA=PC,O是AC的中点,所以PO⊥AC,同理可得PO⊥BD.‎ 又BD∩AC=O,且AC,BD都在底面ABCD内,所以PO⊥底面ABCD.‎ 又因为平面GEFH⊥平面ABCD,‎ 且PO⊄平面GEFH,所以PO∥平面GEFH.‎ 因为平面PBD∩平面GEFH=GK,‎ 所以PO∥GK,且GK⊥底面ABCD,‎ 从而GK⊥EF.‎ 所以GK是梯形GEFH的高.‎ 由AB=8,EB=2,得EB∶AB=KB∶DB=1∶4,‎ 从而KB=DB=OB,即K为OB的中点.‎ 再由PO∥GK得GK=PO,‎ 即G是PB的中点,且GH=BC=4.‎ 由已知可得OB=4,PO===6,‎ 所以GK=3.‎ 故四边形GEFH的面积S=·GK=×3=18.‎ ‎[易错提醒]‎ 在应用线面平行的判定定理进行平行转化时,一定注意定理成立的条件,通常应严格按照定理成立的条件规范书写步骤,如:把线面平行转化为线线平行时,必须说清经过已知直线的平面和已知平面相交,这时才有直线与交线平行.‎ 能力练通  抓应用体验的“得”与“失” ‎ ‎1.[考点二]如图所示,四边形ABCD是平行四边形,点P是平面ABCD外一点,M是PC的中点,在DM上取一点G,过G和PA作平面PAHG交平面BDM于GH.‎ 求证:PA∥GH.‎ 证明:如图所示,连接AC交BD于点O,‎ 连接MO,‎ ‎∵四边形ABCD是平行四边形,‎ ‎∴O是AC的中点,又M是PC的中点,∴AP∥OM.‎ 又MO⊂平面BMD,PA⊄平面BMD,∴PA∥平面BMD.‎ ‎∵平面PAHG∩平面BMD=GH,‎ 且PA⊂平面PAHG,∴PA∥GH.‎ ‎2.[考点一]如图,四棱锥PABCD中,AD∥BC,AB=BC=AD,E,F,H分别为线段AD,PC,CD的中点,AC与BE交于O点,G是线段OF上一点.求证:‎ ‎(1)AP∥平面BEF;‎ ‎(2)GH∥平面PAD.‎ 证明:‎ ‎(1)连接EC,‎ ‎∵AD∥BC,BC=AD,‎ ‎∴BC綊AE,‎ ‎∴四边形ABCE是平行四边形,∴O为AC的中点.‎ 又∵F是PC的中点,‎ ‎∴FO∥AP,‎ FO⊂平面BEF,AP⊄平面BEF,‎ ‎∴AP∥平面BEF.‎ ‎(2)连接FH,OH,‎ ‎∵F,H分别是PC,CD的中点,‎ ‎∴FH∥PD,∴FH∥平面PAD.‎ 又∵O是AC的中点,H是CD的中点,‎ ‎∴OH∥AD,∴OH∥平面PAD.‎ 又FH∩OH=H,‎ ‎∴平面OHF∥平面PAD.‎ 又∵GH⊂平面OHF,∴GH∥平面PAD.‎ 突破点(二) 平面与平面平行的判定与性质 基础联通 抓主干知识的“源”与“流” ‎ 平面与平面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行(线面平行⇒面面平行)‎ a∥β,b∥β,a∩b=P,a⊂α,b⊂α⇒α∥β 性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行 α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b⇒a∥b 考点贯通 抓高考命题的“形”与“神” ‎ 面面平行的判定与性质 ‎[典例] 如图所示,在三棱柱ABCA1B‎1C1中,E,F,G,H分别是AB,AC,A1B1,A‎1C1的中点,求证:‎ ‎(1)B,C,H,G四点共面;‎ ‎(2)平面EFA1∥平面BCHG.‎ ‎[证明] (1)∵G,H分别是A1B1,A‎1C1的中点,‎ ‎∴GH是△A1B‎1C1的中位线,‎ ‎∴GH∥B‎1C1.‎ 又∵B‎1C1∥BC,∴GH∥BC,‎ ‎∴B,C,H,G四点共面.‎ ‎(2)∵E,F分别是AB,AC的中点,‎ ‎∴EF∥BC.‎ ‎∵EF⊄平面BCHG,BC⊂平面BCHG,‎ ‎∴EF∥平面BCHG.‎ ‎∵A‎1G綊EB,‎ ‎∴四边形A1EBG是平行四边形,‎ ‎∴A1E∥GB.‎ ‎∵A1E⊄平面BCHG,GB⊂平面BCHG,‎ ‎∴A1E∥平面BCHG.‎ ‎∵A1E∩EF=E,‎ ‎∴平面EFA1∥平面BCHG.‎ ‎[方法技巧]‎ 判定面面平行的四种方法 ‎(1)利用定义:即证两个平面没有公共点(不常用).‎ ‎(2)利用面面平行的判定定理(主要方法).‎ ‎(3)利用垂直于同一条直线的两平面平行(客观题可用).‎ ‎(4)利用平面平行的传递性,即两个平面同时平行于第三个平面,则这两个平面平行(客观题可用). ‎ 能力练通 抓应用体验的“得”与“失” ‎ ‎1.如图所示的几何体ABCDFE中,△ABC,△DFE都是等边三角形,且二者所在平面平行,四边形BCED是边长为2的正方形,且所在平面垂直于平面ABC.‎ ‎(1)求几何体ABCDFE的体积;‎ ‎(2)证明:平面ADE∥平面BCF.‎ 解:(1)取BC的中点O,ED的中点G,连接AO,OF,‎ FG,AG.‎ ‎∵AO⊥BC,AO⊂平面ABC,平面BCED⊥平面ABC,‎ ‎∴AO⊥平面BCED.同理FG⊥平面BCED.‎ ‎∵AO=FG=,‎ ‎∴VABCDFE=×2×2××2=.‎ ‎(2)证明:由(1)知AO∥FG,AO=FG,‎ ‎∴四边形AOFG为平行四边形,∴AG∥OF.‎ 又∵DE∥BC,DE∩AG=G,DE⊂平面ADE,AG⊂平面ADE,FO∩BC=O,FO⊂平面BCF,BC⊂平面BCF,‎ ‎∴平面ADE∥平面BCF.‎ ‎2.一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示.‎ ‎(1)请将字母F,G,H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由);‎ ‎(2)判断平面BEG与平面ACH的位置关系,并证明你的结论.‎ 解:(1)点F,G,H的位置如图所示.‎ ‎(2)平面BEG∥平面ACH,证明如下:‎ 因为ABCD EFGH为正方体,‎ 所以BC∥FG,BC=FG,‎ 又FG∥EH,FG=EH,‎ 所以BC∥EH,BC=EH,‎ 于是四边形BCHE为平行四边形,所以BE∥CH.‎ 又CH⊂平面ACH,BE⊄平面ACH,‎ 所以BE∥平面ACH.同理BG∥平面ACH.‎ 又BE∩BG=B,所以平面BEG∥平面ACH.‎ ‎[全国卷5年真题集中演练——明规律] ‎ ‎1.(2016·全国丙卷)如图,四棱锥PABCD中,PA⊥底面ABCD,AD∥BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M为线段AD上一点,AM=2MD,N为PC的中点.‎ ‎(1)证明MN∥平面PAB;‎ ‎(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.‎ 解:(1)证明:由已知得AM=AD=2.取BP的中点T,连接AT,TN,由N为PC的中点知TN∥BC,TN=BC=2.‎ 又AD∥BC,故TN綊AM,‎ 所以四边形AMNT为平行四边形,于是MN∥AT.‎ 因为MN⊄平面PAB,AT⊂平面PAB,‎ 所以MN∥平面PAB.‎ ‎(2)取BC的中点E,连接AE.‎ 由AB=AC得AE⊥BC,从而AE⊥AD,‎ 且AE== =.‎ 以A为坐标原点,的方向为x轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.‎ 由题意知P(0,0,4),M(0,2,0),C(,2,0),N,‎ ‎=(0,2,-4),=,=.‎ 设n=(x,y,z)为平面PMN的法向量,‎ 则即 可取n=(0,2,1).于是|cos〈n,〉|==.‎ 所以直线AN与平面PMN所成角的正弦值为.‎ ‎2.(2014·新课标全国卷Ⅱ)如图,四棱锥PABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点.‎ ‎(1)证明:PB∥平面AEC;‎ ‎(2)设二面角DAEC为60°,AP=1,AD=,求三棱锥EACD的体积.‎ 解:(1)证明:如图,连接BD交AC于点O,连接EO.‎ 因为平面ABCD为矩形,‎ 所以O为BD的中点.‎ 又E为PD的中点,所以EO∥PB.‎ 因为EO⊂平面AEC,PB⊄平面AEC,‎ 所以PB∥平面AEC.‎ ‎(2)因为PA⊥平面ABCD,平面ABCD为矩形,所以AB,AD,AP两两垂直.‎ 如图,以A为坐标原点,的方向为x轴的正方向,||为单位长,建立空间直角坐标系Axyz,‎ 则D(0, ,0),E,=.‎ 设B(m,0,0)(m>0),则C(m,,0),=(m,,0).‎ 设n1=(x,y,z)为平面ACE的法向量,则 即可取n1=.‎ 又n2=(1,0,0)为平面DAE的法向量,‎ 由题设|cos〈n1,n2〉|=,即 =,解得m=.‎ 因为E为PD的中点,‎ 所以三棱锥EACD的高为.三棱锥EACD的体积V=××××=.‎ ‎[课时达标检测] 重点保分课时——一练小题夯双基,二练题点过高考 ‎ ‎[练基础小题——强化运算能力]‎ ‎1.设α,β是两个不同的平面,m,n是平面α内的两条不同直线,l1,l2是平面β内的两条相交直线,则α∥β的一个充分不必要条件是(  )‎ A.m∥l1且n∥l2 B.m∥β且n∥l2‎ C.m∥β且n∥β D.m∥β且l1∥α 解析:选A 由m∥l1,m⊂α,l1⊂β,得l1∥α,同理l2∥α,又l1,l2相交,所以α∥β,反之不成立,所以m∥l1且n∥l2是α∥β的一个充分不必要条件.‎ ‎2.设m,n是不同的直线,α,β是不同的平面,且m,n⊂α,则“α∥β ”是“m∥β且n∥β ”的(  )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:选A 若m,n⊂α,α∥β,则m∥β且n∥β;反之若m,n⊂α,m∥β且n∥β,则α与β相交或平行,即“α∥β ”是“m∥β且n∥β ”的充分不必要条件.‎ ‎3.下列四个正方体图形中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,P 分别为其所在棱的中点,能得出AB∥平面MNP的图形的序号是(  )‎ A.①③ B.②③ C.①④ D.②④‎ 解析:选C 对于图形①,平面MNP与AB所在的对角面平行,即可得到AB∥平面MNP;对于图形④,AB∥PN,即可得到AB∥平面MNP;图形②③无论用定义还是判定定理都无法证明线面平行.‎ ‎4.已知正方体ABCDA1B‎1C1D1,下列结论中,正确的结论是________(只填序号).‎ ‎①AD1∥BC1;②平面AB1D1∥平面BDC1;③AD1∥DC1;④AD1∥平面BDC1.‎ 解析:连接AD1,BC1,AB1,B1D1,C1D1,BD,因为AB綊C1D1,所以四边形AD‎1C1B为平行四边形,故AD1∥BC1,从而①正确;易证BD∥B1D1,AB1∥DC1,又AB1∩B1D1=B1,BD∩DC1=D,故平面AB1D1∥平面BDC1,从而②正确;由图易知AD1与DC1异面,故③错误;因AD1∥BC1,AD1⊄平面BDC1,BC1⊂平面BDC1,故AD1∥平面BDC1,故④正确.‎ 答案:①②④‎ ‎5.如图所示,在四面体ABCD中,M,N分别是△ACD,△BCD的重心,则四面体的四个面所在平面中与MN平行的是________.‎ 解析:连接AM并延长,交CD于E,连接BN,并延长交CD于F,由重心性质可知,E,F重合为一点,且该点为CD的中点E,连接MN,由==,得MN∥AB.因此,MN∥平面ABC且MN∥平面ABD.‎ 答案:平面ABC、平面ABD ‎[练常考题点——检验高考能力]‎ 一、选择题 ‎1.下列命题中,错误的是(  )‎ A.一条直线与两个平行平面中的一个相交,则必与另一个平面相交 B.平行于同一平面的两个不同平面平行 C.如果平面α不垂直平面β,那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β D.若直线l不平行平面α,则在平面α内不存在与l平行的直线 解析:选D A 中,如果假定直线与另一个平面不相交,则有两种情形:在平面内或与平面平行,不管哪种情形都得出这条直线与第一个平面不能相交,出现矛盾,故A正确;B是两个平面平行的一种判定定理,B正确;C中,如果平面α内有一条直线垂直于平面β,则平面α垂直于平面β(这是面面垂直的判定定理),故C正确;D是错误的,事实上,直线l不平行平面α,可能有l⊂α,则α内有无数条直线与l平行.‎ ‎2.已知直线a,b,平面α,则以下三个命题:‎ ‎①若a∥b,b⊂α,则a∥α;‎ ‎②若a∥b,a∥α,则b∥α;‎ ‎③若a∥α,b∥α,则a∥b.‎ 其中真命题的个数是(  )‎ A.0 B.‎1 C.2 D.3‎ 解析:选A 对于①,若a∥b,b⊂α,则应有a∥α或a⊂α,所以①是假命题;对于②,若a∥b,a∥α,则应有b∥α或b⊂α,因此②是假命题;对于③,若a∥α,b∥α,则应有a∥b或a与b相交或a与b异面,因此③是假命题.综上,在空间中,以上三个命题都是假命题.‎ ‎3.已知直线a,b异面,给出以下命题:‎ ‎①一定存在平行于a的平面α使b⊥α;‎ ‎②一定存在平行于a的平面α使b∥α;‎ ‎③一定存在平行于a的平面α使b⊂α;‎ ‎④一定存在无数个平行于a的平面α与b交于一定点.‎ 则其中正确的是(  )‎ A.①④ B.②③‎ C.①②③ D.②③④‎ 解析:选D 对于①,若存在平面α使得b⊥α,则有b⊥a,而直线a,b未必垂直,因此①不正确;对于②,注意到过直线a,b外一点M分别引直线a,b的平行线a1,b1,显然由直线a1,b1可确定平面α,此时平面α与直线a,b均平行,因此②正确;对于③,注意到过直线b上的一点B作直线a2与直线a平行,显然由直线b与a2可确定平面α,此时平面α与直线a平行,且b⊂α,因此③正确;对于④,在直线b上取一定点N,过点N作直线c与直线a平行,经过直线c的平面(除由直线a与c所确定的平面及直线c与b所确定的平面之外)均与直线a平行,且与直线b相交于一定点N,而N在b上的位置任意,因此④正确.综上所述,②③④正确.‎ ‎4.设l,m,n表示不同的直线,α,β,γ表示不同的平面,给出下列三个命题:‎ ‎①若m∥l,且m⊥α,则l⊥α;‎ ‎②若α∩β=l,β∩γ=m,γ∩α=n,则l∥m∥n;‎ ‎③若α∩β=m,β∩γ=l,γ∩α=n,且n∥β,则l∥m.‎ 其中正确命题的个数是(  )‎ A.0 B.‎1 C.2 D.3‎ 解析:选C ①正确;②中三条直线也可能相交于一点,故错误;③正确,所以正确的命题有2个.‎ ‎5.(2017·襄阳模拟)如图,在正方体ABCD A1B‎1C1D1中,M,N分别是BC1,CD1的中点,则下列说法错误的是(  )‎ A.MN与CC1垂直 B.MN与AC垂直 C.MN与BD平行 D.MN与A1B1平行 解析:选D 如图所示,连接AC,C1D,BD,则MN∥BD,而C‎1C⊥BD,故C‎1C⊥MN,故A、C正确,D错误,又因为AC⊥BD,所以MN⊥AC,B正确.‎ ‎6.如图,矩形ABCD中,E为边AB的中点,将△ADE沿直线DE翻转成△A1DE.若M为线段A‎1C的中点,则在△ADE翻转过程中,正确的命题是(  )‎ ‎①|BM|是定值;‎ ‎②点M在圆上运动;‎ ‎③一定存在某个位置,使DE⊥A‎1C;‎ ‎④一定存在某个位置,使MB∥平面A1DE.‎ A.①②③ B.①②④‎ C.②③④ D.①③④‎ 解析:选B 取DC中点N,连接MN,NB,则MN∥A1D,NB∥DE,∴平面MNB∥平面A1DE,∵MB⊂平面MNB,∴MB∥平面A1DE,④正确;∠A1DE=∠MNB,MN=A1D=定值,NB=DE=定值,根据余弦定理得,MB2=MN2+NB2-2MN·NB·cos ∠MNB,所以MB是定值.①正确;B是定点,所以M是在以B为圆心,MB为半径的圆上,②正确;当矩形ABCD满足AC⊥DE时存在,其他情况不存在,③不正确.所以①②④正确.‎ 二、填空题 ‎7.过三棱柱ABC A1B‎1C1的任意两条棱的中点作直线,其中与平面ABB‎1A1 平行的直线共有________条.‎ 解析:过三棱柱ABC A1B‎1C1的任意两条棱的中点作直线,记AC,BC,A‎1C1,B‎1C1的中点分别为E,F,E1,F1,则直线EF,E‎1F1,EE1,FF1,E‎1F,EF1均与平面ABB‎1A1‎ 平行,故符合题意的直线共有6条.‎ 答案:6‎ ‎8.正方体ABCD A1B‎1C1D1的棱长为‎1 cm,过AC作平行于体对角线BD1的截面,则截面面积为________cm2.‎ 解析:如图所示,截面ACE∥BD1,平面BDD1∩平面ACE=EF,其中F为AC与BD的交点,∴E为DD1的中点,∴S△ACE=××= (cm2).‎ 答案: ‎9.α,β,γ是三个平面,a,b是两条直线,有下列三个条件:‎ ‎①α∥γ,b⊂β;②a∥γ,b∥β;③b∥β,a⊂γ.‎ 如果命题“α∩β=a,b⊂γ,且________,则a∥b”为真命题,则可以在横线处填入的条件是________(填上你认为正确的所有序号).‎ 解析:①α∥γ,α∩β=a,β∩γ=b⇒a∥b(面面平行的性质).‎ ‎②如图所示,在正方体中,α∩β=a,b⊂γ,a∥γ,b∥β,而a,b异面,故②错.③b∥β,b⊂γ,β∩γ=a⇒a∥b(线面平行的性质).‎ 答案:①③‎ ‎10.空间四边形ABCD的两条对棱AC、BD的长分别为5和4,则平行于两条对棱的截面四边形EFGH在平移过程中,周长的取值范围是________.‎ 解析:设==k(0

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