第四节直线、平面垂直的判定与性质
本节主要包括2个知识点：
1.直线、平面垂直的判定与性质；
2.平行与垂直的综合问题.
突破点(一) 直线、平面垂直的判定与性质
基础联通 抓主干知识的“源”与“流”
1．直线与平面垂直
(1)直线和平面垂直的定义：直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．
(2)直线与平面垂直的判定定理与性质定理：
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直
⇒l⊥α
性质定理
垂直于同一个平面的两条直线平行
⇒a∥b
2.平面与平面垂直
(1)平面与平面垂直的定义：两个平面相交， 如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．
(2)平面与平面垂直的判定定理与性质定理：
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直
⇒α⊥β
性质定理
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直
⇒l⊥α
考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”
直线与平面垂直的判定与性质
[例1] 如图所示，在四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．证明：
(1)CD⊥AE；
(2)PD⊥平面ABE.
[证明] (1)在四棱锥PABCD中，
∵PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，
∴PA⊥CD.∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，
∴CD⊥平面PAC.
而AE⊂平面PAC，∴CD⊥AE.
(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.
∵E是PC的中点，
∴AE⊥PC.
由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，
∴AE⊥平面PCD.
而PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD.
∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AB.
又∵AB⊥AD且PA∩AD＝A，
∴AB⊥平面PAD，而PD⊂平面PAD，
∴AB⊥PD.
又∵AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE.
[方法技巧]
证明直线与平面垂直的方法
(1)定义法：若一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，则这条直线垂直于这个平面(不常用)；
(2)判定定理(常用方法)；
(3)若两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面(客观题常用)；
(4)若一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，则它必垂直于另一个平面(客观题常用)；
(5)若两平面垂直，则在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面(常用方法);
(6)若两相交平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面的交线垂直于第三个平面(客观题常用)．
平面与平面垂直的判定与性质
[例2] 如图，四棱锥PABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，AB＝2CD，E，F，G，M，N分别为PB，AB，BC，PD，PC的中点．求证：
(1)CE∥平面PAD；
(2)平面EFG⊥平面EMN.
[证明] (1)法一：如图，取PA的中点H，连接EH，DH.
因为E为PB的中点，
所以EH∥AB，EH＝AB.
又AB∥CD，CD＝AB，
所以EH∥CD，EH＝CD，
因此四边形DCEH是平行四边形．
所以CE∥DH.
又DH⊂平面PAD，CE⊄平面PAD，
所以CE∥平面PAD.
法二：如图，连接CF.
因为F为AB的中点，
所以AF＝AB.
又CD＝AB，
所以AF＝CD.
又AF∥CD，
所以四边形AFCD为平行四边形．
因此CF∥AD.
又CF⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，
所以CF∥平面PAD.
因为E，F分别为PB，AB的中点，所以EF∥PA.
又EF⊄平面PAD，PA⊂平面PAD，
所以EF∥平面PAD.
因为CF∩EF＝F，故平面CEF∥平面PAD.
又CE⊂平面CEF，
所以CE∥平面PAD.
(2)因为E，F分别为PB，AB的中点，
所以EF∥PA.
又AB⊥PA，所以AB⊥EF.
同理可证AB⊥FG.
又EF∩FG＝F，EF⊂平面EFG，FG⊂平面EFG，
因此AB⊥平面EFG.
又M，N分别为PD，PC的中点，
所以MN∥CD.
又AB∥CD，所以MN∥AB，所以MN⊥平面EFG.
又MN⊂平面EMN，
所以平面EFG⊥平面EMN.
[方法技巧]
证明面面垂直的方法
(1)利用面面垂直的定义(不常用)；
(2)可以考虑证线面垂直，即设法先找到其中一个平面的一条垂线，再证这条垂线在另一个平面内或与另一个平面内的一条直线平行(常用方法)．
能力练通 抓应用体验的“得”与“失”
1．[考点一]如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，PB⊥平面ABCD.
(1)若AC＝6，BD＝8，PB＝3，求三棱锥APBC的体积；
(2)若点E是DP的中点，证明：BD⊥平面ACE.
解：(1)∵四边形ABCD为菱形，
∴BD与AC相互垂直平分，
∴底面ABCD的面积S菱形ABCD＝×6×8＝24，
∴S△ABC＝S菱形ABCD＝12.
又PB⊥平面ABCD，且PB＝3，
∴三棱锥APBC的体积VAPBC＝VPABC＝×PB×S△ABC＝12.
(2)证明：如图，设BD与AC相交于点O，连接OE，
∵O为BD的中点，E是DP的中点，
∴OE∥PB.
又PB⊥平面ABCD，
∴OE⊥平面ABCD.
∵BD⊂平面ABCD，
∴OE⊥BD，
由(1)知AC⊥BD，
又AC∩OE＝O，
∴BD⊥平面ACE.
2．[考点一、二]如图，在四棱锥PABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD.E和F分别是CD和PC的中点．求证：
(1)PA⊥底面ABCD；
(2)BE∥平面PAD；
(3)平面BEF⊥平面PCD.
证明：(1)因为平面PAD⊥底面ABCD，
且PA垂直于这两个平面的交线AD，
所以PA⊥底面ABCD.
(2)因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，
所以AB∥DE，且AB＝DE.
所以平面ABED为平行四边形．
所以BE∥AD.
又因为BE⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，
所以BE∥平面PAD.
(3)因为AB⊥AD，而且平面ABED为平行四边形，
所以BE⊥CD，AD⊥CD.
由(1)知PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD.
又PA∩AD＝A，所以CD⊥平面PAD.
又PD⊂平面PAD，所以CD⊥PD.
因为E和F分别是CD和PC的中点，
所以PD∥EF.
所以CD⊥EF.
又EF∩BE＝E，所以CD⊥平面BEF.
因为CD⊂平面PCD，
所以平面BEF⊥平面PCD.
突破点(二) 平行与垂直的综合问题
基础联通 抓主干知识的“源”与“流”
1．平行关系之间的转化
在证明线面、面面平行时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向是由题目的具体条件而定的，不可过于“模式化”．
2．垂直关系之间的转化
在证明线面垂直、面面垂直时，一定要注意判定定理成立的条件．同时抓住线线、线面、面面垂直的转化关系，即：
在证明两平面垂直时，一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线在图中不存在，则可通过作辅助线来解决.
考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”
证明多面体中的平行与垂直关系
[例1] (2016·江苏高考)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1.
求证：(1)直线DE∥平面A1C1F；
(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.
[证明] (1)在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1C1∥AC.
在△ABC中，因为D，E分别为AB，BC的中点，
所以DE∥AC，于是DE∥A1C1.
又因为DE⊄平面A1C1F，A1C1⊂平面A1C1F，
所以直线DE∥平面A1C1F.
(2)在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1A⊥平面A1B1C1.
因为A1C1⊂平面A1B1C1，
所以A1A⊥A1C1.
又因为A1C1⊥A1B1，A1A⊂平面ABB1A1，A1B1⊂平面ABB1A1，A1A∩A1B1＝A1，
所以A1C1⊥平面ABB1A1.
因为B1D⊂平面ABB1A1，
所以A1C1⊥B1D.
又因为B1D⊥A1F，A1C1⊂平面A1C1F，A1F⊂平面A1C1F，A1C1∩A1F＝A1，
所以B1D⊥平面A1C1F.
因为直线B1D⊂平面B1DE，所以平面B1DE⊥平面A1C1F.
平行与垂直关系中的探索性问题
[例2] (2016·北京高考)如图，在四棱锥PABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC.
(1)求证：DC⊥平面PAC；
(2)求证：平面PAB⊥平面PAC；
(3)设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得PA∥平面CEF？说明理由．
[解] (1)证明：因为PC⊥平面ABCD，所以PC⊥DC.
又因为DC⊥AC，且PC∩AC＝C，
所以DC⊥平面PAC.
(2)证明：因为AB∥DC，DC⊥AC，所以AB⊥AC.
因为PC⊥平面ABCD，所以PC⊥AB.
又因为PC∩AC＝C，所以AB⊥平面PAC.
又AB⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAC.
(3)棱PB上存在点F，使得PA∥平面CEF.
理由如下：取PB的中点F，连接EF，CE，CF，如图所示．
因为E为AB的中点，
所以EF∥PA.
又因为PA⊄平面CEF，且EF⊂平面CEF，
所以PA∥平面CEF.
[方法技巧]
平行与垂直关系中探索性问题的类型及解题策略
(1)对命题条件的探索
①先猜后证，即先观察并尝试给出条件，再给出证明；
②先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明条件的充分性；
③把几何问题转化为代数问题，探索出命题成立的条件．
(2)对命题结论的探索
①探索结论是什么，常从条件出发，探索出要求的结论是什么；
②探索结论是否存在，常先假设结论存在，再在这个假设下进行推理论证，寻找与条件相符或矛盾的结论，相符则存在，矛盾则不存在．
平行与垂直关系中的折叠问题
[例3] (2017·江苏扬州模拟)如图1，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，点E，F分别是边CD，CB的中点，AC∩EF＝O.沿EF将△CEF翻折到△PEF，连接PA，PB，PD，得到如图2的五棱锥PABFED，且PB＝.
(1)求证：BD⊥平面POA；
(2)求四棱锥PBFED的体积．
[解] (1)证明：∵点E，F分别是边CD，CB的中点，
∴BD∥EF.
∵ABCD是菱形，∴BD⊥AC，
∴EF⊥AC，
∴翻折后EF⊥AO，EF⊥PO，
∵AO⊂平面POA，PO⊂平面POA，AO∩PO＝O，
∴EF⊥平面POA，
∴BD⊥平面POA.
(2)如图，设AO∩BD＝H，连接BO，
∵ABCD是菱形，∴AB＝AD.
∵∠DAB＝60°，
∴△ABD为等边三角形，
∴BD＝4，BH＝2，HA＝2，HO＝PO＝.
在Rt△BHO中，BO＝＝，
在△PBO中，BO2＋PO2＝10＝PB2，
∴PO⊥BO.
∵PO⊥EF，EF∩BO＝O，EF⊂平面BFED，BO⊂平面BFED，
∴PO⊥平面BFED，
又梯形BFED的面积为S＝(EF＋BD)·HO＝3，
∴四棱锥PBFED的体积V＝S·PO＝×3×＝3.
[方法技巧]
求解折叠问题的关键及注意事项
求解平面图形翻折问题的关键是弄清原有的性质变化与否，即翻折后还在同一个平面上的性质不发生变化，不在同一个平面上的性质发生变化．应注意：
(1)点的变化，点与点的重合及点的位置变化；
(2)线的变化，翻折前后，若线始终在同一平面内，则它们的位置关系不发生变化，若线与线由在一个平面内转变为不在同一个平面内，应注意其位置关系的变化；
(3)长度、角度等几何度量的变化．
能力练通 抓应用体验的“得”与“失”
1．[考点一]如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AB⊥平面BB1C1C，BB1＝2BC，D，E，F分别是CC1，A1C1，B1C1的中点，G在BB1上，且BG＝3GB1.求证：
(1)B1D⊥平面ABD；
(2)平面GEF∥平面ABD.
证明：(1)取BB1的中点为M，连接MD，如图所示．
因为BB1＝2BC，且四边形BB1C1C为平行四边形，
所以四边形CDMB和四边形DMB1C1均为菱形．
故∠CDB＝∠BDM，∠MDB1＝∠B1DC1，
所以∠BDM＋∠MDB1＝90°，
即BD⊥B1D.
又AB⊥平面BB1C1C，B1D⊂平面BB1C1C，
所以AB⊥B1D.
又AB∩BD＝B，
所以B1D⊥平面ABD.
(2)连接MC1，可知G为MB1的中点，
又F为B1C1的中点，
所以GF∥MC1.
又MB綊C1D，
所以四边形BMC1D为平行四边形，
所以MC1∥BD，故GF∥BD.
又BD⊂平面ABD，
所以GF∥平面ABD.
又EF∥A1B1，A1B1∥AB，AB⊂平面ABD，
所以EF∥平面ABD.又EF∩GF＝F，故平面GEF∥平面ABD.
2．[考点一、二]如图，已知三棱柱ABCA′B′C′的侧棱垂直于底面，AB＝AC，∠BAC＝90°，点M，N分别为A′B和B′C′的中点．
(1)证明：MN∥平面AA′C′C；
(2)设AB＝λAA′，当λ为何值时，CN⊥平面A′MN，试证明你的结论．
解：(1)证明：如图，取A′B′的中点E，连接ME，NE.
因为M，N分别为A′B和B′C′的中点，所以NE∥A′C′，ME∥AA′.
又A′C′⊂平面AA′C′C，A′A⊂平面AA′C′C，
所以ME∥平面AA′C′C，NE∥平面AA′C′C，所以平面MNE∥平面AA′C′C，
因为MN⊂平面MNE，
所以MN∥平面AA′C′C.
(2)连接BN，设AA′＝a，则AB＝λAA′＝λa，
由题意知BC＝λa，CN＝BN＝，
因为三棱柱ABCA′B′C′的侧棱垂直于底面，
所以平面A′B′C′⊥平面BB′C′C，
因为AB＝AC，点N是B′C′的中点，
所以A′B′＝A′C′，A′N⊥B′C′，
所以A′N⊥平面BB′C′C，所以CN⊥A′N，
要使CN⊥平面A′MN，只需CN⊥BN即可，
所以CN2＋BN2＝BC2，
即2＝2λ2a2，
解得λ＝，故当λ＝时，CN⊥平面A′MN.
3．[考点一、三]如图所示，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E，F分别在线段BC，AD上，EF∥AB，将矩形ABEF沿EF折起，记折起后的矩形为MNEF，且平面MNEF⊥平面ECDF.
(1)求证：NC∥平面MFD；
(2)若EC＝3，求证：ND⊥FC；
(3)求四面体NEFD体积的最大值．
解：(1)证明：∵平行四边形MNEF和EFDC都是矩形，
∴MN∥EF，EF∥CD，MN＝EF＝CD，∴MN∥CD.
∴四边形MNCD是平行四边形．
∴NC∥MD.
∵NC⊄平面MFD，MD⊂平面MFD，
∴NC∥平面MFD.
(2)证明：连接ED，交FC于点O，如图所示．
∵平面MNEF⊥平面ECDF，且NE⊥EF，平面MNEF∩平面ECDF＝EF，NE⊂平面MNEF，∴NE⊥平面ECDF.
∵FC⊂平面ECDF，∴FC⊥NE.
∵EC＝CD，∴四边形ECDF为正方形，∴FC⊥ED.
又∵ED∩NE＝E，ED，NE⊂平面NED，
∴FC⊥平面NED.
∵ND⊂平面NED，∴ND⊥FC.
(3)设NE＝x，则FD＝EC＝4－x，其中0
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