2018届高考数学（理）大一轮复习教师用书：第九章第四节椭　圆（含解析）.doc

第四节椭　圆 本节主要包括2个知识点： ‎1.椭圆的定义和标准方程； 2.椭圆的几何性质 ‎ ‎ 突破点(一)　椭圆的定义和标准方程 基础联通 抓主干知识的“源”与“流” ‎ ‎1．椭圆的定义 平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F‎1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．‎ 集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝‎2a}，|F‎1F2|＝‎2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：‎ ‎(1)若a>c，则集合P为椭圆．‎ ‎(2)若a＝c，则集合P为线段．‎ ‎(3)若ab>0)上一点P(x0，y0)(y0≠0)和焦点F1(－c,0)，F2(c,0)为顶点的△PF‎1F2中，若∠F1PF2＝θ，则 ‎(1)|PF1|＋|PF2|＝‎2a.‎ ‎(2)‎4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos θ.‎ ‎(3)S△PF‎1F2＝|PF1||PF2|·sin θ，当|y0|＝b，即P为短轴端点时，S△PF‎1F2取最大值，为bc.‎ ‎(4)焦点三角形的周长为2(a＋c)．‎ ‎[例1]　已知△ABC的顶点B，C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是(　　)‎ A．2 B．‎6 C．4 D．12‎ ‎[解析]　由椭圆的方程得a＝.设椭圆的另一个焦点为F，则由椭圆的定义得|BA|＋|BF|＝|CA|＋|CF|＝‎2a，所以△ABC的周长为|BA|＋|BC|＋|CA|＝|BA|＋|BF|＋|CF|＋|CA|＝(|BA|＋|BF|)＋(|CF|＋|CA|)＝‎2a＋‎2a＝‎4a＝4.‎ ‎[答案]　C 求椭圆的标准方程 求椭圆标准方程的两种方法 ‎(1)定义法．根据椭圆的定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程．‎ ‎(2)待定系数法．这种方法是求椭圆方程的常用方法，一般步骤是：‎ ‎[例2]　(1)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点．若△AF1B的周长为4，则C的方程为(　　)‎ A.＋＝1 B.＋y2＝1‎ C.＋＝1 D.＋＝1‎ ‎(2)一个椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，P(2，)是椭圆上一点，且|PF1|，|F‎1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆的方程为(　　)‎ A.＋＝1 B.＋＝1‎ C.＋＝1 D.＋＝1‎ ‎[解析]　(1)由题意及椭圆的定义知‎4a＝4，则a＝，‎ 又e＝＝＝，‎ 所以c＝1，则b2＝2，‎ 故C的方程为＋＝1.‎ ‎(2)设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．由点P(2，)在椭圆上知＋＝1.又|PF1|，|F‎1F2|，|PF2|成等差数列，则|PF1|＋|PF2|＝2|F‎1F2|，即‎2a＝2×‎2c，则＝，又c2＝a2－b2，联立得a2＝8，b2＝6，故椭圆方程为＋＝1.‎ ‎[答案]　(1)A　(2)A ‎[方法技巧]‎ 待定系数法求椭圆方程的思路 求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于a，b的方程组．如果焦点位置不确定，要考虑是否有两解，有时为了解题方便，也可把椭圆方程设为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)的形式．　‎ 能力练通 抓应用体验的“得”与“失” ‎ ‎1.已知椭圆C：＋＝1，M，N是坐标平面内的两点，且M与C的焦点不重合．若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则|AN|＋|BN|＝(　　)‎ A．4 B．‎8 ‎‎ C．12 D．16‎ 解析：选B　设MN的中点为D，椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2，如图，连接DF1，DF2，因为F1是MA的中点，D是MN的中点，所以F1D是△MAN的中位线，则|DF1|＝|AN|，同理|DF2|＝|BN|，所以|AN|＋|BN|＝2(|DF1|＋|DF2|)，因为D在椭圆上，所以根据椭圆的定义知|DF1|＋|DF2|＝4，所以|AN|＋|BN|＝8.‎ ‎2.(2017·浙江金丽衢十二校联考)若椭圆C：＋＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆C上，且|PF1|＝4，则∠F2PF1＝(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选C　由题意得a＝3，c＝，则|PF2|＝‎2a－|PF1|＝2.在△F2PF1中，由余弦定理可得cos∠F2PF1＝＝－.又∵∠F2PF1∈(0，π)，∴∠F2PF1＝.‎ ‎3.已知中心在原点，焦点坐标为(0，±2)的椭圆被直线3x－y－2＝0截得的弦的中点的横坐标为，则该椭圆的方程为________．‎ 解析：根据题意可设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，联立直线与椭圆方程可得，(9b2＋a2)x2－12b2x＋4b2－a2b2＝0，则可得弦的中点的横坐标为，即＝，又a2－b2＝24，解得a2＝27，b2＝3，所以椭圆的方程为＋＝1.‎ 答案：＋＝1‎ ‎4.已知椭圆的焦点在x轴上，一个顶点为A(0，－1)，其右焦点到直线x－y＋2＝0的距离为3，则椭圆的方程为________．‎ 解析：据题意知b＝1，故可设椭圆方程为＋y2＝1.设右焦点为(c,0)(c＞0)，它到已知直线的距离为＝3，解得c＝，所以a2＝b2＋c2＝3，故椭圆的方程为＋y2＝1.‎ 答案：＋y2＝1‎ ‎5.已知椭圆的两焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，P为椭圆上一点，且2|F‎1F2|＝|PF1|＋|PF2|.‎ ‎(1)求此椭圆的方程；‎ ‎(2)若点P在第二象限，∠F‎2F1P＝120°，求△PF‎1F2的面积．‎ 解：(1)依题意得，c＝1，|F‎1F2|＝2.‎ ‎∵2|F‎1F2|＝|PF1|＋|PF2|，‎ ‎∴|PF1|＋|PF2|＝4＝‎2a，∴a＝2，则b2＝3.‎ ‎∵椭圆焦点在x轴上，‎ ‎∴所求椭圆的方程为＋＝1.‎ ‎(2)设P点坐标为(x，y)，x0，∵∠F‎2F1P＝120°，‎ ‎∴PF1所在直线的方程为y＝－(x＋1)．‎ 则解方程组可得 ‎∴S△PF‎1F2＝|F‎1F2|×＝.‎ 突破点(二)　椭圆的几何性质 基础联通 抓主干知识的“源”与“流” ‎ 标准方程 ＋＝1(a＞b＞0)‎ ＋＝1(a＞b＞0)‎ 图形 性 质 范围 ‎－a≤x≤a，－b≤y≤b ‎－b≤x≤b，－a≤y≤a 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：(0,0)‎ 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)‎ A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)‎ 离心率 e＝，且e∈(0,1)‎ a，b，c的关系 c2＝a2－b2‎ 考点贯通 抓高考命题的“形”与“神” ‎ 求椭圆的离心率 椭圆的离心率是一个重要的基本量，在椭圆中有着极其特殊的作用，也是高考常考的知识点，主要考查两类问题：一是求椭圆的离心率；二是求椭圆离心率的取值范围．求解方法有以下三种：‎ ‎(1)直接求出a，c来求解e.通过已知条件列方程组，解出a，c的值．‎ ‎(2)构造a，c的齐次式，解出e.由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解．‎ ‎(3)通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．‎ ‎[例1]　(2016·江苏高考)如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的右焦点，直线y＝与椭圆交于B，C两点，且∠BFC＝90°，则该椭圆的离心率是________．‎ ‎[解析]　将y＝代入椭圆的标准方程，得＋＝1，‎ 所以x＝±a，故B，C.‎ 又因为F(c,0)，所以＝，＝c－a，－.‎ 因为∠BFC＝90°，所以·＝0，‎ 所以＋2＝0，‎ 即c2－a2＋b2＝0，将b2＝a2－c2代入并化简，得a2＝c2，所以e2＝＝，‎ 所以e＝(负值舍去)．‎ ‎[答案]　 ‎[易错提醒]‎ 在解关于离心率e的二次方程时，要注意利用椭圆的离心率e∈(0,1)进行根的取舍，否则将产生增根．‎ 依据椭圆性质求值或范围(最值)‎ 与椭圆有关的最值或取值范围问题的求解方法主要有以下几种：‎ ‎(1)利用数形结合、几何意义，尤其是椭圆的性质，求最值或取值范围．‎ ‎(2)利用函数，尤其是二次函数求最值或取值范围．‎ ‎(3)利用不等式，尤其是基本不等式求最值或取值范围．‎ ‎(4)利用一元二次方程的判别式求最值或取值范围．‎ ‎[例2]　已知动点P(x，y)在椭圆＋＝1上，若A点的坐标为(3,0)，M为平面内一点，||＝1，且·＝0，则||的最小值为________．‎ ‎[解析]　由||＝1，A(3,0)，知点M在以A(3,0)为圆心，1为半径的圆上运动，‎ ‎∵·＝0且P在椭圆上运动，∴PM⊥AM，‎ 即PM为圆A的切线，连接PA(如图)，‎ 则||＝＝，‎ ‎∴当||min＝a－c＝5－3＝2时，||min＝.‎ ‎[答案]　 ‎[易错提醒]‎ 求解与椭圆几何性质有关的参数问题时，要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系．‎ 能力练通 抓应用体验的“得”与“失” ‎ ‎1.设F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，点P在椭圆C上，若线段PF1的中点在y轴上，∠PF‎1F2＝30°，则椭圆的离心率为(　　)‎ A. B. ‎ C. D. 解析：选A　如图，设PF1的中点为M，连接PF2.因为O为F‎1F2的中点，所以OM为△PF‎1F2的中位线．所以OM∥PF2，所以∠PF‎2F1＝∠MOF1＝90°.因为∠PF‎1F2＝30°，所以|PF1|＝2|PF2|，|F‎1F2|＝|PF2|.由椭圆定义得‎2a＝|PF1|＋|PF2|＝3|PF2|，即a＝，‎2c＝|F‎1F2|＝|PF2|，即c＝，则e＝＝·＝.‎ ‎2. [考点一]设F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，M为直线y＝2b上的一点，△F1MF2是等边三角形，则椭圆C的离心率为(　　)‎ A. B. ‎ C. D. 解析：选C　因为△F1MF2是等边三角形，故M(0,2b)，|MF1|＝|F‎1F2|，即＝‎2c，即4b2＋c2＝‎4c2，又b2＝a2－c2，所以4(a2－c2)＋c2＝‎4c2，即‎4a2＝‎7c2，则e2＝＝，故e＝(负值舍去)，故选C.‎ ‎3.已知点F1，F2分别是椭圆x2＋2y2＝2的左、右焦点，点P是该椭圆上的一个动点，那么|＋|的最小值是(　　)‎ A．0 B．1 ‎ C．2 D．2 解析：选C　设P(x0，y0)，由题可知F1(－1,0)，F2(1,0)，则＝(－1－x0，－y0)，＝(1－x0，－y0)，∴＋＝(－2x0，－2y0)，∴|＋|＝＝2＝2.∵点P在椭圆上，∴0≤y≤1，∴当y＝1时，|＋|取最小值为2.‎ ‎4.如图，圆O与离心率为的椭圆T：＋＝1(a>b>0)相切于点M(0,1)，过点M引两条互相垂直的直线l1，l2，两直线与两曲线分别交于点A，C与点B，D(均不重合)．若P为椭圆上任一点，记点P到两直线的距离分别为d1，d2，则d＋d的最大值是(　　)‎ A．4 B．5 ‎ C. D. 解析：选C　易知椭圆C的方程为＋y2＝1，圆O的方程为x2＋y2＝1，设P(x0，y0)，因为l1⊥l2，则d＋d＝PM2＝x＋(y0－1)2，因为＋y＝1，所以d＋d＝4－4y＋(y0－1)2＝－32＋，因为－1≤y0≤1，所以当y0＝－时，d＋d取得最大值，此时点P.‎ ‎5.已知焦点在x轴上的椭圆C：＋y2＝1(a>0)，过右焦点作垂直于x轴的直线交椭圆于A，B两点，且|AB|＝1，则该椭圆的离心率为________．‎ 解析：因为椭圆＋y2＝1(a>0)的焦点在x轴上，所以c＝，又过右焦点且垂直于x轴的直线为x＝c，将其代入椭圆方程中，得＋y2＝1，则y＝± ，又|AB|＝1，所以2＝1，得＝，所以该椭圆的离心率e＝＝(负值舍去)．‎ 答案： ‎[全国卷5年真题集中演练——明规律] ‎ ‎1.(2016·全国乙卷)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选B　不妨设直线l经过椭圆的一个顶点B(0，b)和一个焦点F(c,0)，则直线l 的方程为＋＝1，即bx＋cy－bc＝0.由题意知＝×2b，又a2＝b2＋c2，所以＝，即e＝.故选B.‎ ‎2．(2016·全国丙卷)已知O为坐标原点，F是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点，A，B分别为C的左、右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴．过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选A　如图所示，由题意得A(－a，0)，B(a,0)，F(－c,0)．设E(0，m)，‎ 由PF∥OE，得＝，‎ 则|MF|＝.①‎ 又由OE∥MF，得＝，‎ 则|MF|＝.　　②‎ 由①②得a－c＝(a＋c)，即a＝‎3c，‎ 所以e＝＝.故选A.‎ ‎3．(2013·新课标全国卷Ⅰ)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为(　　)‎ A.＋＝1 B.＋＝1‎ C.＋＝1 D.＋＝1‎ 解析：选D　因为直线AB过点F(3,0)和点(1，－1)，所以直线AB的方程为y＝(x－3)，代入椭圆方程＋＝1消去y，得x2－a2x＋a2－a2b2＝0，所以AB的中点的横坐标为＝1，即a2＝2b2，又a2＝b2＋c2，所以b2＝9，a2＝18，即E的方程为＋＝1.‎ ‎4．(2012·新课标全国卷)设F1，F2是椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，P为直线x＝上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选C　由题意可得|PF2|＝|F‎1F2|，∠PF2x＝2∠PF‎1F2＝60°，所以2＝‎2c，所以‎3a＝‎4c，所以e＝＝.‎ ‎[课时达标检测] 重点保分课时——一练小题夯双基，二练题点过高考 ‎ ‎ [练基础小题——强化运算能力]‎ ‎1．已知椭圆＋＝1(m＞0)的左焦点为F1(－4,0)，则m＝(　　)‎ A．2 B．‎3 ‎‎ C．4 D．9‎ 解析：选B　由左焦点为F1(－4,0)知c＝4.又a＝5，所以25－m2＝16，解得m＝3或－3.又m＞0，故m＝3.‎ ‎2．在平面直角坐标系xOy内，动点P到定点F(－1,0)的距离与P到定直线x＝－4的距离的比值为.则动点P的轨迹C的方程为(　　)‎ A.＋＝1 B.＋＝1‎ C.＋＝1 D.＋＝1‎ 解析：选B　设点P(x，y)，由题意知＝，化简得3x2＋4y2＝12，所以动点P的轨迹C的方程为＋＝1，故选B.‎ ‎3．已知椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在y轴上，离心率为，过点F2的直线交椭圆C于M，N两点，且△MNF1的周长为8，则椭圆C的焦距为(　　)‎ A．4 B．‎2 C．2 D．2 解析：选C　由题意得|MF1|＋|NF1|＋|MN|＝|MF1|＋|NF1|＋|MF2|＋|NF2|＝(|MF1|＋|MF2|)＋(|NF1|＋|NF2|)＝‎2a＋‎2a＝8，解得a＝2，又e＝＝，故c＝，即椭圆C的焦距为2，故选C.‎ ‎4．如图，椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|＝4，∠F1PF2＝120°，则a的值为(　　)‎ A．2 B．‎3 ‎‎ C．4 D．5‎ 解析：选B　由题可知b2＝2，则c＝，故|F‎1F2|＝2，又|PF1|＝4，|PF1|＋|PF2|＝‎2a，则|PF2|＝‎2a－4，由余弦定理得cos 120°＝＝－，化简得‎8a＝24，即a＝3，故选B.‎ ‎5．椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，短轴长为4，则椭圆的方程为________．‎ 解析：由题意可知e＝＝，2b＝4，得b＝2，‎ ‎∴解得 ‎∴椭圆的标准方程为＋＝1.‎ 答案：＋＝1‎ ‎[练常考题点——检验高考能力]‎ 一、选择题 ‎1．已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1，0)，离心率等于，则椭圆C的方程是(　　)‎ ‎ A.＋＝1 B.＋＝1‎ C.＋＝1 D.＋＝1‎ 解析：选D　依题意，设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，所以解得a2＝9，b2＝8.故椭圆C的方程为＋＝1.‎ ‎2．椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A，B，左、右焦点分别为F1，F2，若|AF1|，|F‎1F2|，|F1B|成等差数列，则此椭圆的离心率为(　　)‎ A. B. ‎ C. D.－2‎ 解析：选A　由题意可得2|F‎1F2|＝|AF1|＋|F1B|，即‎4c＝a－c＋a＋c＝‎2a，故e＝＝.‎ ‎3．已知圆C1：x2＋2cx＋y2＝0，圆C2：x2－2cx＋y2＝0，椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)，若圆C1，C2都在椭圆内，则椭圆离心率的取值范围是(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选B　圆C1，C2都在椭圆内等价于圆C2的右顶点(‎2c,0)，上顶点(c，c)在椭圆内部，∴只需又b2＝a2－c2，∴0＜≤.即椭圆离心率的取值范围是 ‎4．已知椭圆＋＝1(a>b>0)上的动点到焦点的距离的最小值为－1.以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x－y＋＝0相切，则椭圆C的方程为(　　)‎ A.＋＝1 B.＋＝1‎ C.＋y2＝1 D.＋＝1‎ 解析：选C　由题意知a－c＝－1，又b＝＝1，由得a2＝2，b2＝1，故c2＝1，椭圆C的方程为＋y2＝1，故选C.‎ ‎5．已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x－4y＝0交椭圆E于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选A　根据椭圆的对称性及椭圆的定义可得A，B两点到椭圆左、右焦点的距离和为‎4a＝2(|AF|＋|BF|)＝8，所以a＝2.又d＝≥，所以1≤b＜2，所以e＝＝＝ .因为1≤b＜2，所以0＜e≤.‎ ‎6．已知F1，F2为椭圆C：＋＝1的左、右焦点，点E是椭圆C上的动点， ·的最大值、最小值分别为(　　)‎ A．9,7 B．8,7 ‎ C．9,8 D．17,8‎ 解析：选B　由题意可知椭圆的左、右焦点坐标分别为F1(－1，0)，F2(1,0)，设E(x，y)，则＝(－1－x，－y)，＝(1－x，－y)，·＝x2－1＋y2＝x2－1＋8－x2＝x2＋7(－3≤x≤3)，所以当x＝0时，·有最小值7，当x＝±3时，·有最大值8，故选B.‎ 二、填空题 ‎7．若椭圆的方程为＋＝1，且此椭圆的焦距为4，则实数a＝________.‎ 解析：由题可知c＝2.①当焦点在x轴上时，10－a－(a－2)＝22，解得a＝4.②当焦点在y轴上时，a－2－(10－a)＝22，解得a＝8.故实数a＝4或8.‎ 答案：4或8‎ ‎8．点P是椭圆＋＝1上一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，且△PF‎1F2的内切圆半径为1，当P在第一象限时，P点的纵坐标为______．‎ 解析：由题意知，|PF1|＋|PF2|＝10，|F‎1F2|＝6，S△PF‎1F2＝(|PF1|＋|PF2|＋|F‎1F2|)×1＝|F‎1F2|·yP＝3yP＝8，所以yP＝.‎ 答案： ‎9．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率等于，其焦点分别为A，B.C为椭圆上异于长轴端点的任意一点，则在△ABC中，的值等于________．‎ 解析：在△ABC中，由正弦定理得＝，因为点C在椭圆上，所以由椭圆定义知|CA|＋|CB|＝‎2a，而|AB|＝‎2c，所以＝＝＝3.‎ 答案：3‎ ‎10.如图，椭圆的中心在坐标原点O，顶点分别是A1，A2，B1，B2，焦点分别为F1，F2，延长B‎1F2与A2B2交于P点，若∠B1PA2为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为________．‎ ‎ 解析：设椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)，∠B1PA2为钝角可转化为，所夹的角为钝角，则(a，－b)·(－c，－b)＜0，即b2＜ac，则a2－c2＜ac，故 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)))2＋－1＞0，即e2＋e－1＞0，e＞或e＜，又0＜e＜1，所以＜e＜1.‎ 答案： 三、解答题 ‎11．如图，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，顶点B的坐标为(0，b)，连接BF2并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连接F‎1C.‎ ‎(1)若点C的坐标为，且BF2＝，求椭圆的方程；‎ ‎(2)若F‎1C⊥AB，求椭圆离心率e的值．‎ 解：设椭圆的焦距为‎2c，则F1(－c,0)，F2(c,0)．‎ ‎(1)因为B(0，b)，所以BF2＝＝a.‎ 又BF2＝，故a＝，即a2＝2.‎ 因为点C在椭圆上，所以＋＝1，解得b2＝1.‎ 故所求椭圆的方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)因为B(0，b)，F2(c,0)在直线AB上，‎ 所以直线AB的方程为＋＝1.‎ 解方程组得 所以点A的坐标为.‎ 又AC垂直于x轴，由椭圆的对称性，可得点C的坐标为.‎ 因为直线F‎1C的斜率为＝，直线AB的斜率为－，且F‎1C⊥AB，所以·＝－1.结合b2＝a2－c2，整理得a2＝‎5c2.故e2＝.因此e＝(负值舍去)．‎ ‎12.已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的半焦距为c，原点O到经过两点(‎ c,0)，(0，b)的直线的距离为c.‎ ‎(1)求椭圆E的离心率；‎ ‎(2)如图，AB是圆M：(x＋2)2＋(y－1)2＝的一条直径，若椭圆E经过A，B两点，求椭圆E的方程．‎ 解：(1)过点(c,0)，(0，b)的直线方程为bx＋cy－bc＝0，‎ 则原点O到该直线的距离d＝＝，‎ 由d＝c，得a＝2b＝2，解得离心率e＝＝.‎ ‎(2)由(1)知，椭圆E的方程为x2＋4y2＝4b2.①‎ 依题意，圆心M(－2,1)是线段AB的中点，且|AB|＝.‎ 易知，AB与x轴不垂直，设其方程为y＝k(x＋2)＋1，代入①得(1＋4k2)x2＋8k(2k＋1)x＋4(2k＋1)2－4b2＝0.‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 则x1＋x2＝－，x1x2＝.‎ 由x1＋x2＝－4，得－＝－4，解得k＝.‎ 从而x1x2＝8－2b2.于是|AB|＝ |x1－x2|‎ ‎＝ ＝ 由|AB|＝，得＝，解得b2＝3.‎ 故椭圆E的方程为x2＋4y2＝12，即＋＝1.‎