2018届高考数学（理）大一轮复习教师用书：第九章第五节双+曲+线（含解析）.doc

第五节双 曲 线 本节主要包括2个知识点：‎ ‎1.双曲线的定义和标准方程；2.双曲线的几何性质.‎ 突破点(一)　双曲线的定义和标准方程 基础联通 抓主干知识的“源”与“流” ‎ ‎1．双曲线的定义 平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F‎1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．‎ 集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝‎2a}，|F‎1F2|＝‎2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.‎ ‎(1)当‎2a|F‎1F2|时，P点不存在．‎ ‎2．标准方程 ‎(1)中心在坐标原点，焦点在x轴上的双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)；‎ ‎(2)中心在坐标原点，焦点在y轴上的双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)．‎ 考点贯通 抓高考命题的“形”与“神” ‎ 双曲线定义的应用 ‎[例1]　(1)已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|等于(　　)‎ A．2　　　　B．‎4　‎　　　C．6　　　　D．8‎ ‎(2)已知圆C：(x－3)2＋y2＝4，定点A(－3，0)，则过定点A且和圆C外切的动圆圆心M的轨迹方程为________．‎ ‎[解析]　(1)由双曲线的方程得a＝1，c＝，‎ 由双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝2.‎ 在△PF‎1F2中，由余弦定理得 ‎|F‎1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos 60°，‎ 即(2)2＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|‎ ‎＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|‎ ‎＝22＋|PF1|·|PF2|.‎ 解得|PF1|·|PF2|＝4.故选B.‎ ‎(2)设动圆M的半径为R，‎ 则|MC|＝2＋R，|MA|＝R，‎ ‎∴|MC|－|MA|＝2，‎ 由双曲线的定义知，M点的轨迹是以A，C为焦点的双曲线的左支，且a＝1，c＝3，‎ ‎∴b2＝8，则动圆圆心M的轨迹方程为x2－＝1(x≤－1)．‎ ‎[答案]　(1)B　(2)x2－＝1(x≤－1)‎ ‎[方法技巧]‎ 双曲线定义的主要应用方面 ‎(1)判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程．‎ ‎(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF1|－|PF2||＝‎2a，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系．　‎ 双曲线的标准方程 双曲线的标准方程的求法 ‎1．定义法 根据双曲线定义，确定a2，b2的值，再结合焦点位置，求出双曲线方程，常用的关系有：‎ ‎①c2＝a2＋b2；‎ ‎②双曲线上任意一点到双曲线两焦点的距离的差的绝对值等于‎2a.‎ ‎2．待定系数法 ‎(1)其一般步骤为：‎ ‎(2)待定系数法求双曲线方程的五种类型 类型一 与双曲线－＝1有公共渐近线的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)‎ 类型二 若已知双曲线的一条渐近线方程为y＝x或y＝－x，则可设双曲线方程为－＝λ(λ≠0)‎ 类型三 与双曲线－＝1共焦点的双曲线方程可设为－＝1(－b20)有共同焦点的双曲线方程可设为－＝1(b20)，‎ 因为双曲线过点P(2,1)，‎ 所以－＝1，又a2＋b2＝3，‎ 解得a2＝2，b2＝1，所以所求双曲线方程是－y2＝1.‎ 法二：设所求双曲线方程为＋＝1(10，b>0)‎ 图形 性质 范围 x≥a或x≤－a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R 对称性 对称轴：坐标轴，对称中心：(0,0)‎ 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0)‎ A1(0，－a)，A2(0，a)‎ 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝，e∈(1，＋∞)‎ a，b，c的关系 c2＝a2＋b2‎ 实虚轴 线段A‎1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A‎1A2|＝‎2a；‎ 线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；‎ a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长 考点贯通 抓高考命题的“形”与“神” ‎ 双曲线的渐近线 求双曲线－＝1(a>0，b>0)或－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程的方法是令右边的常数等于0，即令－＝0，得y＝±x；或令－＝0，得y＝±x.反之，已知渐近线方程为y＝±x，可设双曲线方程为－＝λ(a>0，b>0)．‎ ‎[例1]　(1)已知双曲线的渐近线方程为y＝±x，且经过点A(2，－3)，则双曲线的标准方程为(　　)‎ A.－＝1　　　　　　 B.－＝1‎ C.－＝1 D.－＝1‎ ‎(2)过双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点F作圆O：x2＋y2＝a2的两条切线，切点为A，B，双曲线左顶点为C，若∠ACB＝120°，则双曲线的渐近线方程为(　　)‎ A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x ‎[解析]　(1)若焦点在x轴上，‎ 设所求双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，‎ 因为双曲线的渐近线方程为y＝±x，‎ 所以＝.①‎ 因为A(2，－3)在双曲线上，‎ 所以－＝1.②‎ ‎①②联立，无解．‎ 若焦点在y轴上，设所求双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，因为双曲线的渐近线方程为y＝±x，‎ 所以＝.③‎ 因为A(2，－3)在双曲线上，‎ 所以－＝1.④‎ ‎③④联立，解得a2＝8，b2＝32.‎ 所以所求双曲线的标准方程为－＝1.‎ ‎(2)如图所示，连接OA，OB，设双曲线－＝1(a>0，b>0)的焦距为‎2c(c>0)，则C(－a,0)，F(－c,0)．‎ 由双曲线和圆的对称性知，点A与点B关于x轴对称，则∠ACO＝∠BCO＝∠ACB＝×120°＝60°.‎ 因为|OA|＝|OC|＝a，所以△ACO为等边三角形，‎ 所以∠AOC＝60°.‎ 因为FA与圆O切于点A，所以OA⊥FA，‎ 在Rt△AOF中，∠AFO＝90°－∠AOF＝90°－60°＝30°，‎ 所以|OF|＝2|OA|，即c＝‎2a，‎ 所以b＝＝＝a，‎ 故双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，即y＝±x.‎ ‎[答案]　(1)B　(2)A 双曲线的离心率 ‎1．求双曲线离心率或其范围的方法 ‎(1)求a，b，c的值，由＝＝1＋直接求e.‎ ‎(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解．‎ ‎2．双曲线的形状与e的关系 k＝＝＝＝，e越大，即渐近线的斜率的绝对值就越大，这时双曲线的形状就从狭窄逐渐变得开阔．由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越开阔．‎ ‎[例2]　(1)中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，－2)，则它的离心率为(　　)‎ A. B. C. D. ‎(2)已知点F是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F作垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是(　　)‎ A．(1，＋∞) B．(1,2)‎ C．(2,1＋) D．(1,1＋)‎ ‎[解析]　(1)设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，所以其渐近线方程为y＝±x，因为点(4，－2)在渐近线上，所以＝，根据c2＝a2＋b2，可得＝，解得e2＝，即e＝.‎ ‎(2)若△ABE是锐角三角形，只需∠AEF＜45°，在Rt△AFE中，|AF|＝，|FE|＝a＋c，则＜a＋c，即b2＜a2＋ac，即‎2a2－c2＋ac＞0，则e2－e－2＜0，解得－1＜e＜2，又e＞1，则1＜e＜2，故选B.‎ ‎[答案]　(1)D　(2)B ‎[易错提醒]‎ 求双曲线离心率及其范围时，不要忽略了双曲线的离心率的取值范围是(1，＋∞)这个前提条件，否则很容易产生增解或扩大所求离心率的取值范围．　‎ 求参数或变量的取值范围 ‎[例3]　已知M(x0，y0)是双曲线C：－y2＝1上的一点，F1，F2是C的两个焦点．若·0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C于点P.若点P的横坐标为‎2a，则C的离心率为________．‎ 解析：如图所示，不妨设与渐近线平行的直线l的斜率为，又直线l过右焦点F(c,0)，则直线l的方程为y＝(x－c)．因为点P的横坐标为‎2a，代入双曲线方程得－＝1，化简得y＝－b或y＝b(点P在x轴下方，舍去)，故点P的坐标为(‎2a，－b)，代入直线方程得－b＝(‎2a－c)，化简可得离心率e＝＝2＋.‎ 答案：2＋ ‎ [全国卷5年真题集中演练——明规律] ‎ ‎1.(2016·全国甲卷)已知F1，F2是双曲线E：－＝1的左，右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF‎2F1＝，则E的离心率为(　　)‎ A. B. C. D．2‎ 解析：选A　作出示意图，如图，离心率e＝＝＝，由正弦定理得e＝＝＝＝.故选A.‎ ‎2．(2016·全国乙卷)已知方程－＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是(　　)‎ A．(－1,3) B．(－1，)‎ C．(0,3) D．(0，)‎ 解析：选A　由题意得(m2＋n)(‎3m2‎－n)>0，解得－m20)，其渐近线方程为y＝± x＝±x，即y＝±x，不妨选取右焦点F(，0)到其中一条渐近线x－y＝0的距离求解，得d＝ ‎＝.‎ ‎5．(2015·新课标全国卷Ⅰ)已知F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，P是C的左支上一点，A(0,6)．当△APF周长最小时，该三角形的面积为________．‎ 解析：设双曲线的左焦点为F1，由双曲线方程x2－＝1可知，a＝1，c＝3，故F(3，0)，F1(－3,0)．‎ 当点P在双曲线左支上运动时，由双曲线定义知|PF|－|PF1|＝2，‎ 所以|PF|＝|PF1|＋2，从而△APF的周长为|AP|＋|PF|＋|AF|＝|AP|＋|PF1|＋2＋|AF|.‎ 因为|AF|＝＝15为定值，‎ 所以当(|AP|＋|PF1|)最小时，△APF的周长最小，‎ 由图象可知，此时点P在线段AF1与双曲线的交点处(如图所示)．‎ 由题意可知直线AF1的方程为y＝2x＋6，‎ 由 得y2＋6y－96＝0，‎ 解得y＝2或y＝－8(舍去)，‎ 所以S△APF＝S△AF‎1F－S△PF‎1F ‎＝×6×6－×6×2＝12.‎ 答案：12 ‎6．(2015·新课标全国卷Ⅱ)已知双曲线过点(4，)，且渐近线方程为y＝±x，则该双曲线的标准方程为________．‎ 解析：∵双曲线的渐近线方程为y＝±x，∴可设双曲线的方程为x2－4y2＝λ(λ≠0)．∵双曲线过点(4，)，∴λ＝16－4×()2＝4，∴双曲线的标准方程为－y2＝1.‎ 答案：－y2＝1‎ ‎[课时达标检测] 重点保分课时——一练小题夯双基，二练题点过高考 ‎[练基础小题——强化运算能力]‎ ‎1．已知双曲线－＝1(a>0)的离心率为2，则a＝(　　)‎ A．2 B. C. D．1‎ 解析：选D　因为双曲线的方程为－＝1，所以e2＝1＋＝4，因此a2＝1，a＝1.选D.‎ ‎2．若双曲线－＝1的离心率为，则其渐近线方程为(　　)‎ A．y＝±2x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x 解析：选B　在双曲线中离心率e＝＝ ＝，可得＝，故双曲线的渐近线方程是y＝±x.‎ ‎3．双曲线－＝1的两条渐近线互相垂直，那么它的离心率为(　　)‎ A．2 B. ‎ C. D. 解析：选C　由渐近线互相垂直可知·＝－1，即a2＝b2，即c2＝‎2a2，即c＝a，所以e＝.‎ ‎4．(2016·天津高考)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的焦距为2，且双曲线的一条渐近线与直线2x＋y＝0垂直，则双曲线的方程为(　　)‎ A.－y2＝1 B．x2－＝1‎ C.－＝1 D.－＝1‎ 解析：选A　由焦距为2，得c＝.因为双曲线的一条渐近线与直线2x＋y＝0垂直，所以＝.又c2＝a2＋b2，解得a＝2，b＝1，所以双曲线的方程为－y2＝1.‎ ‎5．(2016·北京高考)双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点．若正方形OABC的边长为2，则a＝________.‎ 解析：不妨令B为双曲线的右焦点，A在第一象限，则双曲线如图所示．‎ ‎∵四边形OABC为正方形，|OA|＝2，‎ ‎∴c＝|OB|＝2，∠AOB＝.‎ ‎∵直线OA是渐近线，方程为y＝x，∴＝tan∠AOB＝1，即a＝b.‎ 又∵a2＋b2＝c2＝8，∴a＝2.‎ 答案：2‎ ‎[练常考题点——检验高考能力]‎ 一、选择题 ‎1．若实数k满足0＜k＜9，则曲线－＝1与曲线－＝1的(　　)‎ A．离心率相等 B．虚半轴长相等 C．实半轴长相等 D．焦距相等 解析：选D　由00)的右焦点是F，左、右顶点分别是A1，A2，过F作A‎1A2的垂线与双曲线交于B, C两点．若A1B⊥A‎2C，则该双曲线的渐近线的斜率为(　　)‎ A．± B．± ‎ C．±1 D．± 解析：选C　由题设易知A1(－a,0)，A2(a,0)，Bc，，C.∵A1B⊥A‎2C，∴·＝－1，整理得a＝b.∵渐近线方程为y＝±x，即y＝±x，∴渐近线的斜率为±1.‎ ‎5．(2017·江南十校联考)已知l是双曲线C：－＝1的一条渐近线，P是l上的一点，F1，F2分别是C的左、右焦点，若·＝0，则点P到x轴的距离为(　　)‎ A. B. ‎ C．2 D. 解析：选C　由题意知F1(－，0)，F2(，0)，不妨设l的方程为y＝x，点P(x0，x0)，由·＝(－－x0，－x0)·(－x0，－x0)＝3x－6＝0，得x0＝±，故点P到x轴的距离为|x0|＝2，故选C.‎ ‎6．已知双曲线－＝1与直线y＝2x有交点，则双曲线离心率的取值范围为(　　)‎ A．(1，) B．(1， ]‎ C．(，＋∞) D．[，＋∞)‎ 解析：选C　∵双曲线的一条渐近线方程为y＝x，则由题意得＞2，∴e＝＝ ＞＝.即双曲线离心率的取值范围为(，＋∞)．‎ 二、填空题 ‎7．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)与椭圆＋＝1有相同的焦点，且双曲线C的渐近线方程为y＝±2x，则双曲线C的方程为________________．‎ 解析：易得椭圆的焦点为(－，0)，(，0)，∴∴a2＝1，b2＝4，∴双曲线C的方程为x2－＝1.‎ 答案：x2－＝1‎ ‎8．过双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左焦点F1作斜率为1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为A，B，若v＝，则双曲线的渐近线方程为____________．‎ 解析：由得x＝－，由 解得x＝，不妨设xA＝－，xB＝，‎ 由＝可得－＋c＝＋，‎ 整理得b＝‎3a.‎ 所以双曲线的渐近线方程为3x±y＝0.‎ 答案：3x±y＝0‎ ‎9．设F1，F2分别是双曲线x2－＝1的左、右焦点，A是双曲线上在第一象限内的点，若|AF2|＝2且∠F1AF2＝45°，延长AF2交双曲线右支于点B，则△F1AB的面积等于______．‎ 解析：由题意可得|AF2|＝2，|AF1|＝4，则|AB|＝|AF2|＋|BF2|＝2＋|BF2|＝|BF1|.又∠F1AF2＝45°，所以△ABF1是以AF1为斜边的等腰直角三角形，则|AB|＝|BF1|＝2，所以其面积为×2×2＝4.‎ 答案：4‎ ‎10．(2016·山东高考)已知双曲线E：－＝1(a＞0，b＞0)，若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|＝3|BC|，则E的离心率是________．‎ 解析：如图，由题意知|AB|＝，|BC|＝‎2c.‎ 又2|AB|＝3|BC|，‎ ‎∴2×＝3×‎2c，‎ 即2b2＝‎3ac，‎ ‎∴2(c2－a2)＝‎3ac，两边同除以a2并整理得2e2－3e－2＝0，解得e＝2(负值舍去)．‎ 答案：2‎ 三、解答题 ‎11．已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，－)．点M(3，m)在双曲线上．‎ ‎(1)求双曲线的方程；‎ ‎(2)求证：·＝0；‎ ‎(3)求△F1MF2的面积．‎ 解：(1)∵e＝，‎ ‎∴双曲线的实轴、虚轴相等．‎ 则可设双曲线方程为x2－y2＝λ.‎ ‎∵双曲线过点(4，－)，‎ ‎∴16－10＝λ，即λ＝6.‎ ‎∴双曲线方程为－＝1.‎ ‎(2)证明：不妨设F1，F2分别为左、右焦点，‎ 则＝(－2－3，－m)，‎ ‎＝(2－3，－m)．‎ ‎∴·＝(3＋2)×(3－2)＋m2＝－3＋m2，‎ ‎∵M点在双曲线上，‎ ‎∴9－m2＝6，即m2－3＝0，‎ ‎∴·＝0.‎ ‎(3)△F1MF2的底|F‎1F2|＝4.‎ 由(2)知m＝±.‎ ‎∴△F1MF2的高h＝|m|＝，‎ ‎∴S△F1MF2＝×4×＝6.‎ ‎12．中心在原点，焦点在x轴上的椭圆与双曲线有共同的焦点F1，F2，且|F‎1F2|＝2，椭圆的长半轴长与双曲线实半轴长之差为4，离心率之比为3∶7.‎ ‎(1)求椭圆和双曲线的方程；‎ ‎(2)若P为这两曲线的一个交点，求cos∠F1PF2的值．‎ 解：(1)由题知c＝，设椭圆方程为＋＝1，双曲线方程为－＝1，则 解得a＝7，m＝3.则b＝6，n＝2.‎ 故椭圆方程为＋＝1，双曲线方程为－＝1.‎ ‎(2)不妨设F1，F2分别为左、右焦点，P是第一象限的一个交点，则|PF1|＋|PF2|＝14，|PF1|－|PF2|＝6，‎ 所以|PF1|＝10，|PF2|＝4.‎ 又|F‎1F2|＝2，‎ 所以cos∠F1PF2＝ ‎＝＝.‎