2018届高考数学（理）大一轮复习教师用书：第九章第八节直线与圆锥曲线（含解析）.doc

第八节直线与圆锥曲线 本节主要包括2个知识点：‎ ‎1.直线与圆锥曲线的位置关系；2.圆锥曲线中弦的问题.‎ 突破点(一)　直线与圆锥曲线的位置关系 基础联通 抓主干知识的“源”与“流” ‎ 判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)＝0，消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的一元方程．‎ 即消去y，得ax2＋bx＋c＝0.‎ ‎(1)当a≠0时，设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的判别式为Δ，则 ‎(2)当a＝0，b≠0时，即得到一个一次方程，则直线l与圆锥曲线C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴平行或重合．‎ 考点贯通 抓高考命题的“形”与“神” ‎ 直线与圆锥曲线位置关系的判定 ‎[例1]　(1)直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1的位置关系为(　　)‎ A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 ‎(2)直线y＝x＋3与双曲线－＝1的交点个数是(　　)‎ A．1 B．‎2 C．1或2 D．0‎ ‎[解析]　(1)直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1恒过定点(1,1)，又点(1,1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交．‎ ‎(2)因为直线y＝x＋3与双曲线的渐近线y＝x平行，所以它与双曲线只有1个交点．‎ ‎[答案]　(1)A　(2)A 由直线与圆锥曲线的位置关系求参数 ‎[例2]　若直线l：y＝(a＋1)x－1与曲线C：y2＝ax恰好有一个公共点，试求实数a的取值集合．‎ ‎[解]　因为直线l与曲线C恰好有一个公共点，‎ 所以方程组有唯一一组实数解，‎ 消去y，得[(a＋1)x－1]2＝ax，‎ 整理得(a＋1)2x2－(‎3a＋2)x＋1＝0　①.‎ ‎(1)当a＋1＝0，即a＝－1时，方程①是关于x的一元一次方程，解得x＝－1，这时，原方程组有唯一解 ‎(2)当a＋1≠0，即a≠－1时，方程①是关于x的一元二次方程，判别式Δ＝(‎3a＋2)2－4(a＋1)2＝a(‎5a＋4)，‎ 令Δ＝0，解得a＝0或a＝－.‎ 当a＝0时，原方程组有唯一解 当a＝－时，原方程组有唯一解 综上，实数a的取值集合是.‎ 能力练通 抓应用体验的“得”与“失” ‎ ‎1.过点(0,1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，这样的直线有(　　)‎ A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 解析：选C　结合图形分析可知(图略)，满足题意的直线共有3条：直线x＝0，过点(0,1)且平行于x轴的直线y＝1，以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线y＝x＋1.‎ ‎2.若直线mx＋ny＝4和圆O：x2＋y2＝4没有交点，则过点(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点个数为(　　)‎ A．至多一个 B．‎2 C．1 D．0‎ 解析：选B　∵直线mx＋ny＝4和圆O：x2＋y2＝4没有交点，∴圆心到直线的距离d＝ ＞2，∴m2＋n2＜4.‎ ‎∴＋＜＋＝1－m2＜1，‎ ‎∴点(m，n)在椭圆＋＝1的内部，‎ ‎∴过点(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点有2个．‎ ‎3.若直线y＝kx＋2与双曲线x2－y2＝6的右支交于不同的两点，则k的取值范围是(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选D　由得(1－k2)x2－4kx－10＝0.设直线与双曲线右支交于不同的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 则 解得－＜k＜－1.即k的取值范围是.‎ ‎4.已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＋＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：‎ ‎(1)有两个不重合的公共点；‎ ‎(2)有且只有一个公共点；‎ ‎(3)没有公共点．‎ 解：将直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组 将①代入②，整理得9x2＋8mx＋‎2m2‎－4＝0.③‎ 方程③根的判别式Δ＝(‎8m)2－4×9×(‎2m2‎－4)＝－‎8m2‎＋144.‎ ‎(1)当Δ>0，即－30.‎ 所以，所以k>或k2，即4>2，‎ 所以k2>，即k>或k0)，A为抛物线上一点(A不同于原点O)，过焦点F作直线平行于OA，交抛物线于P，Q两点．若过焦点F且垂直于x轴的直线交直线OA于B，则|FP|·|FQ|－|OA|·|OB|＝________.‎ 解析：设OA所在的直线的斜率为k，则由得到A，易知B，P，Q的坐标由方程组得到，消去x得，－y－＝0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由根与系数的关系得，y1y2＝－p2，根据弦长公式，|FP|·|FQ|＝ ·|y1|· ·|y2|＝|y1y2|＝p2，而|OA|·|OB|＝ ·＝1＋p2，所以|FP|·|FQ|－|OA|·|OB|＝0.‎ 答案：0‎ ‎4.椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)过点，离心率为，左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆于A，B两点．‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)当△F2AB的面积为时，求直线的方程．‎ 解：(1)因为椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)过点，‎ 所以＋＝1.①‎ 又因为离心率为，所以＝，‎ 所以＝.②‎ 解①②得a2＝4，b2＝3.‎ 所以椭圆C的方程为＋＝1.‎ ‎(2)当直线的倾斜角为时，A，B，‎ S△ABF2＝|AB|·|F‎1F2|＝×3×2＝3≠.‎ 当直线的倾斜角不为时，设直线方程为y＝k(x＋1)，‎ 代入＋＝1得(4k2＋3)x2＋8k2x＋4k2－12＝0.‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 则x1＋x2＝－，x1x2＝，‎ 所以S△ABF2＝|y1－y2|·|F‎1F2|‎ ‎＝|k| ‎＝|k| ‎＝＝，‎ 所以17k4＋k2－18＝0，‎ 解得k2＝1，所以k＝±1，‎ 所以所求直线的方程为x－y＋1＝0或x＋y＋1＝0.‎ ‎5.已知椭圆＋y2＝1上两个不同的点A，B关于直线y＝mx＋对称．求实数m的取值范围．‎ 解：由题意知m≠0，‎ 可设直线AB的方程为y＝－x＋b.‎ 由消去y，得x2－x＋b2－1＝0.‎ 因为直线y＝－x＋b与椭圆＋y2＝1有两个不同的交点，所以Δ＝－2b2＋2＋＞0.①‎ 将线段AB中点代入直线方程y＝mx＋解得b＝－.②‎ 由①②得m＜－或m＞.故m的取值范围为∪.‎ ‎[全国卷5年真题集中演练——明规律] ‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎1．(2013·新课标全国卷Ⅱ)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l过F且与C交于A，B两点．若|AF|＝3|BF|，则l的方程为(　　)‎ A．y＝x－1或y＝－x＋1‎ B．y＝(x－1)或y＝－(x－1)‎ C．y＝(x－1)或y＝－(x－1)‎ D．y＝(x－1)或y＝－(x－1)‎ 解析：选C　法一：如图所示，作出抛物线的准线l1及点A，B到准线的垂线段AA1，BB1，并设直线l交准线于点M.设|BF|＝m，由抛物线的定义可知|BB1|＝m，|AA1|＝|AF|＝‎3m.由BB1∥AA1可知＝，即＝，所以|MB|＝‎2m，则|MA|＝‎6m.故∠AMA1＝30°，得∠AFx＝∠MAA1＝60°，由抛物线的对称性可知∠AFx＝120°时也符合题意．结合选项知选C项．‎ 法二：由|AF|＝3|BF|可知＝3，易知F(1,0)，设B(x0，y0)，则从而可解得A的坐标为(4－3x0，－3y0)．因为点A，B都在抛物线上，所以解得x0＝，y0＝±，所以kl＝＝±.故直线l的方程为y＝(x－1)或y＝－(x－1)．‎ ‎2．(2016·全国甲卷)已知椭圆E：＋＝1的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率为k(‎ k>0)的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA.‎ ‎(1)当t＝4，|AM|＝|AN|时，求△AMN的面积；‎ ‎(2)当2|AM|＝|AN|时，求k的取值范围．‎ 解：设M(x1，y1)，则由题意知y1>0.‎ ‎(1)当t＝4时，E的方程为＋＝1，A(－2,0)．‎ 由已知及椭圆的对称性知，直线AM的倾斜角为.‎ 因此直线AM的方程为y＝x＋2.‎ 将x＝y－2代入＋＝1得7y2－12y＝0.‎ 解得y＝0或y＝，所以y1＝.‎ 因此△AMN的面积S△AMN＝2×××＝.‎ ‎(2)由题意t>3，k>0，A(－，0)．‎ 将直线AM的方程y＝k(x＋)代入＋＝1得(3＋tk2)x2＋2·tk2x＋t2k2－3t＝0.‎ 由x1·(－)＝，得x1＝，‎ 故|AM|＝|x1＋|＝.‎ 由题设，直线AN的方程为y＝－(x＋)，‎ 故同理可得|AN|＝.‎ 由2|AM|＝|AN|，得＝，‎ 即(k3－2)t＝3k(2k－1)．‎ 当k＝时上式不成立，因此t＝.‎ t>3等价于＝