第九节圆锥曲线中的最值、范围、证明问题
本节主要包括3个知识点：
1.圆锥曲线中的最值问题；
2.圆锥曲线中的范围问题；
3.圆锥曲线中的几何证明问题.
突破点(一) 圆锥曲线中的最值问题
圆锥曲线中的最值问题是高考中的热点问题，常涉及不等式、函数的值域问题，综合性比较强，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何方法，即利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数方法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解.
考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”
利用几何性质求最值
[例1] 设P是椭圆＋＝1上一点，M，N分别是两圆：(x＋4)2＋y2＝1和(x－4)2＋y2＝1上的点，则|PM|＋|PN|的最小值、最大值分别为( )
A．9,12 B．8,11
C．8,12 D．10,12
[解析] 如图，由椭圆及圆的方程可知两圆圆心分别为椭圆的两个焦点，由椭圆定义知|PA|＋|PB|＝2a＝10，连接PA，PB分别与圆相交于两点，此时|PM|＋|PN|最小，最小值为|PA|＋|PB|－2R＝8；连接PA，PB并延长，分别与圆相交于两点，此时|PM|＋|PN|最大，最大值为|PA|＋|PB|＋2R＝12，即最小值和最大值分别为8,12.
[答案] C
[方法技巧]
利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解，也叫做几何法．
建立目标函数求最值
[例2] 已知△ABP的三个顶点都在抛物线C：x2＝4y上，F为抛物线C的焦点，点M为AB的中点，＝3.
(1)若|PF|＝3，求点M的坐标；
(2)求△ABP面积的最大值．
[解] (1)由题意知焦点F(0,1)，准线方程为y＝－1.
设P(x0，y0)，由抛物线定义知|PF|＝y0＋1，得y0＝2，
所以P(2，2)或P(－2，2)，
由＝3，得M或M.
(2)设直线AB的方程为y＝kx＋m，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，
由得x2－4kx－4m＝0.
于是Δ＝16k2＋16m>0，x1＋x2＝4k，x1x2＝－4m，
所以AB中点M的坐标为(2k,2k2＋m)．
由＝3，得(－x0,1－y0)＝3(2k,2k2＋m－1)，
所以
由x＝4y0得k2＝－m＋，
由Δ>0，k2≥0，得－f＝.
所以当m＝时，f(m)取到最大值，此时k＝±.
所以△ABP面积的最大值为.
[方法技巧]
(1)当题目中给出的条件有明显的几何特征，考虑用图象性质来求解．
(2)当题目中给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值．求函数最值的常用方法有配方法、判别式法、单调性法、三角换元法等．
利用基本不等式求最值
[例3] (2017·太原模拟)已知椭圆M：＋＝1(a>0)的一个焦点为F(－1,0)，左、右顶点分别为A，B.经过点F的直线l与椭圆M交于C，D两点．
(1)当直线l的倾斜角为45°时，求线段CD的长；
(2)记△ABD与△ABC的面积分别为S1和S2，求|S1－S2|的最大值．
[解] (1)由题意，c＝1，b2＝3，
所以a2＝4，所以椭圆M的方程为＋＝1，
易求直线方程为y＝x＋1，联立方程，得
消去y，得7x2＋8x－8＝0，
设C(x1，y1)，D(x2，y2)，Δ＝288，x1＋x2＝－，x1x2＝－，
所以|CD|＝|x1－x2|＝ ＝.
(2)当直线l的斜率不存在时，直线方程为x＝－1，
此时△ABD与△ABC面积相等，|S1－S2|＝0；
当直线l的斜率存在时，设直线方程为y＝k(x＋1)(k≠0)，
联立方程，得
消去y，得(3＋4k2)x2＋8k2x＋4k2－12＝0，
Δ>0，且x1＋x2＝－，x1x2＝，
此时|S1－S2|＝2||y2|－|y1||＝2|y2＋y1|＝2|k(x2＋1)＋k(x1＋1)|＝2|k(x2＋x1)＋2k|＝，
因为k≠0，上式＝≤＝＝当且仅当k＝±时等号成立，
所以|S1－S2|的最大值为.
[方法技巧]
(1)求最值问题时，一定要注意对特殊情况的讨论．如直线斜率不存在的情况，二次三项式最高次项的系数的讨论等．
(2)利用基本不等式求函数的最值时，关键在于将函数变形为两项和或积的形式，然后用基本不等式求出最值．
能力练通 抓应用体验的“得”与“失”
1.如图所示，已知直线l：y＝kx－2与抛物线C：x2＝－2py(p>0)交于A，B两点，O为坐标原点，＋＝(－4，－12)．
(1)求直线l和抛物线C的方程；
(2)抛物线上一动点P从A到B运动时，求△ABP面积的最大值．
解：(1)由得x2＋2pkx－4p＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－2pk，y1＋y2＝k(x1＋x2)－4＝－2pk2－4.
因为＋＝(x1＋x2，y1＋y2)＝(－2pk，－2pk2－4)＝(－4，－12)，所以解得
所以直线l的方程为y＝2x－2，抛物线C的方程为x2＝－2y.
(2)设P(x0，y0)，依题意，知抛物线过点P的切线与l平行时，△ABP的面积最大，又y′＝－x，所以－x0＝2，故x0＝－2，y0＝－x＝－2，所以P(－2，－2)．
此时点P到直线l的距离d＝＝＝.
由得x2＋4x－4＝0，故x1＋x2＝－4，x1x2＝－4，
所以|AB|＝×＝×＝4.
所以△ABP面积的最大值为＝8.
2.平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，左、右焦点分别是F1，F2.以F1为圆心、以3为半径的圆与以F2为圆心、以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C上．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设椭圆E：＋＝1，P为椭圆C上任意一点．过点P的直线y＝kx＋m交椭圆E于A，B两点，射线PO交椭圆E于点Q.
①求的值；
②求△ABQ面积的最大值．
解：(1)由题意知2a＝4，则a＝2.
又＝，a2－c2＝b2，可得b＝1，
所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)由(1)知椭圆E的方程为＋＝1.
①设P(x0，y0)，＝λ，由题意知Q(－λx0，－λy0)．
因为＋y＝1，
又＋＝1，即＝1，
所以λ＝2，即＝2.
②设A(x1，y1)，B(x2, y2)．
将y＝kx＋m代入椭圆E的方程，
可得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－16＝0，
由Δ>0，可得m2，
∴△ABC面积的最小值是，此时直线AB的方程为y＝x或y＝－x.
突破点(二) 圆锥曲线中的范围问题
圆锥曲线中的范围问题是高考中的热点问题，常涉及不等式的恒成立问题、函数的值域问题，综合性比较强.解决此类问题常用几何法和判别式法.
考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”
利用判别式构造不等关系求范围
[例1] 已知A，B，C是椭圆M：＋＝1(a>b>0)上的三点，其中点A的坐标为(2，0)，BC过椭圆的中心，且·＝0，||＝2||.
(1)求椭圆M的方程；
(2)过点(0，t)的直线l(斜率存在时)与椭圆M交于两点P，Q，设D为椭圆M与y轴负半轴的交点，且||＝||，求实数t的取值范围．
[解] (1)因为||＝2||且BC过(0,0)，则|OC|＝|AC|.
因为·＝0，所以∠OCA＝90°，
即C(，)．
又因为a＝2，设椭圆的方程为＋＝1，
将C点坐标代入得＋＝1，
解得c2＝8，b2＝4.
所以椭圆的方程为＋＝1.
(2)由条件D(0，－2)，当k＝0时，显然－22或λ＝＝＝3－20)的左、右焦点，若P是该椭圆上的一个动点，且·的最大值为1.
(1)求椭圆E的方程；
(2)设直线l：x＝ky－1与椭圆E交于不同的两点A，B，且∠AOB为锐角(O为坐标原点)，求k的取值范围．
解：(1)易知a＝2，c＝，b20，
故y1＋y2＝，y1·y2＝.
又∠AOB为锐角，故·＝x1x2＋y1y2>0，
又x1x2＝(ky1－1)(ky2－1)＝k2y1y2－k(y1＋y2)＋1，
所以x1x2＋y1y2＝(1＋k2)y1y2－k(y1＋y2)＋1＝(1＋k2)·－＋1＝＝>0，所以k20)的离心率为，F
是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．
(1)求E的方程；
(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点．当△OPQ的面积最大时，求l的方程．
解：(1)设F(c,0)，由条件知，＝，得c＝.
又＝，所以a＝2，b2＝a2－c2＝1.
故E的方程为＋y2＝1.
(2)当l⊥x轴时不合题意，故设l：y＝kx－2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)．
将y＝kx－2代入＋y2＝1，
得(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0.
当Δ＝16(4k2－3)>0，即k2>时，
x1,2＝.
从而|PQ|＝|x1－x2|＝.
又点O到直线PQ的距离d＝.
所以△OPQ的面积S△OPQ＝d·|PQ|＝.
设＝t，则t>0，S△OPQ＝＝.
因为t＋≥4，当且仅当t＝2，即k＝±时等号成立，且满足Δ>0.
所以，当△OPQ的面积最大时，l的方程为y＝x－2或y＝－x－2.
2．(2013·新课标全国卷Ⅱ)平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：＋＝1 (a>b>0)右焦点的直线x＋y－＝0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为.
(1)求M的方程；
(2)C，D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD面积的最大值．
解：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，
则＋＝1，＋＝1，＝－1，
由此可得＝－＝1.
因为x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0，＝，所以a2＝2b2.
又由题意知，M的右焦点为(，0)，故a2－b2＝3.
因此a2＝6，b2＝3.所以M的方程为＋＝1.
(2)由解得或
因此|AB|＝.由题意可设直线CD的方程为y＝x＋n，
设C(x3，y3)，D(x4，y4)．
由得3x2＋4nx＋2n2－6＝0.
于是x3,4＝.
因为直线CD的斜率为1，
所以|CD|＝|x4－x3|＝.
由已知，四边形ACBD的面积S＝|CD|·|AB|＝.当n＝0时，S取得最大值，最大值为.
所以四边形ACBD面积的最大值为.
[课时达标检测] 难点增分课时——设计3级训练，考生据自身能力而选
一、全员必做题
1．已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的一个焦点为F2(1,0)，且该椭圆过定点M.
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)设点Q(2,0)，过点F2作直线l与椭圆E交于A，B两点，且＝λ，λ∈[－2，－1]，以QA，QB为邻边作平行四边形QACB，求对角线QC长度的最小值．
解：(1)由题易知c＝1，＋＝1，又a2＝b2＋c2，解得b2＝1，a2＝2，故椭圆E的标准方程为＋y2＝1.
(2)设直线l：x＝ky＋1，由
得(k2＋2)y2＋2ky－1＝0，
Δ＝4k2＋4(k2＋2)＝8(k2＋1)>0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则可得y1＋y2＝，y1y2＝.
＝＋＝(x1＋x2－4，y1＋y2)
＝，
∴||2＝|＋|2＝16－＋，由此可知，||2的大小与k2的取值有关．
由＝λ可得y1＝λy2，λ＝，＝(y1y2≠0)．
从而λ＋＝＋＝＝，
由λ∈[－2，－1]得∈，从而－≤≤－2，解得0≤k2≤.
令t＝，则t∈，∴||2＝8t2－28t＋16＝82－，
∴当t＝时，|QC|min＝2.
2.已知点F为抛物线E：y2＝2px(p>0)的焦点，点A(2，m)在抛物线E上，且|AF|＝3.
(1)求抛物线E的方程；
(2)已知点G(－1,0)，延长AF交抛物线E于点B，证明：以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切．
解：(1)由抛物线的定义得|AF|＝2＋.
因为|AF|＝3，即2＋＝3，解得p＝2，
所以抛物线E的方程为y2＝4x.
(2)证明：设以点F为圆心且与直线GA相切的圆的半径为r.
因为点A(2，m)在抛物线E：y2＝4x上，
所以m＝±2.
由抛物线的对称性，不妨设A(2,2)．
由A(2,2)，F(1,0)可得直线AF的方程为
y＝2(x－1)．
由
得2x2－5x＋2＝0，
解得x＝2或x＝，从而B.
又G(－1,0)，
故直线GA的方程为2x－3y＋2＝0，
从而r＝＝ .
又直线GB的方程为2x＋3y＋2＝0，
所以点F到直线GB的距离
d＝＝＝r.
这表明以点F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切．
3．(2017·合肥模拟)已知中心在原点，焦点在y轴上的椭圆C，其上一点P到两个焦点F1，F2的距离之和为4，离心率为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线y＝kx＋1与曲线C交于A，B两点，求△OAB面积的取值范围．
解：(1)设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，
由条件知，解得a＝2，c＝，b＝1，
故椭圆C的方程为＋x2＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得(k2＋4)x2＋2kx－3＝0，
故x1＋x2＝－，x1x2＝－，
设△OAB的面积为S，
由x1x2＝－0，
∴y＝t＋在t∈[3，＋∞)上单调递增，∴t＋≥，
∴00)的右焦点F(1,0)作直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，设|FA|＝λ|FB|，T(2,0)．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若1≤λ≤2，求△ABT中AB边上中线长的取值范围．
解：(1)∵e＝ ，c＝1，∴a＝，b＝1，
即椭圆C的方程为：＋y2＝1.
(2)①当直线的斜率为0时，显然不成立．
②设直线l：x＝my＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立得(m2＋2)y2＋2my－1＝0，
则y1＋y2＝，y1y2＝，
由|FA|＝λ|FB|，得y1＝－λy2，
∵－λ＋＝＋，
∴－λ＋＋2＝＝，∴m2≤，
又∵AB边上的中线长为 |＋ |
＝
＝
＝ ∈.
2．如图所示，已知直线l过点M(4,0)且与抛物线y2＝2px(p＞0)交于A，B两点，以弦AB为直径的圆恒过坐标原点O.
(1)求抛物线的标准方程；
(2)设Q是直线x＝－4上任意一点，求证：直线QA，QM，QB的斜率依次成等差数列．
解：(1)设直线l的方程为x＝ky＋4，
代入y2＝2px得y2－2kpy－8p＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有y1＋y2＝2kp，y1y2＝－8p，
而AB为直径，O为圆上一点，所以·＝0，
故0＝x1x2＋y1y2＝(ky1＋4)(ky2＋4)－8p＝k2y1y2＋4k(y1＋y2)＋16－8p，
即0＝－8k2p＋8k2p＋16－8p，得p＝2，
所以抛物线方程为y2＝4x.
(2)设Q(－4，t)由(1)知y1＋y2＝4k，y1y2＝－16，
所以y＋y＝(y1＋y2)2－2y1y2＝16k2＋32.
因为kQA＝＝＝，kQB＝＝＝，kQM＝，
所以kQA＋kQB＝＋
＝4×
＝4×
＝＝
＝－＝2kQM.
所以直线QA，QM，QB的斜率依次成等差数列．
三、冲刺满分题
1.已知椭圆C：＋＝1(0
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