第二节二项式定理
本节主要包括2个知识点：
1.二项式的通项公式及应用；2.二项式系数的性质及应用.
突破点(一) 二项式的通项公式及应用
基础联通 抓主干知识的“源”与“流”
1．二项式定理
(1)二项展开式：公式(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)叫做二项式定理．
(2)二项式的通项：Tk＋1＝Can－kbk为展开式的第k＋1项．
2．二项式系数与项的系数
(1)二项式系数：二项展开式中各项的系数C(r∈{0，1，…，n})叫做第r＋1项的二项式系数．
(2)项的系数：项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与二项式系数是两个不同的概念．如(a＋bx)n的展开式中，第r＋1项的系数是Can－rbr.
考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”
求解形如(a＋b)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量
[例1] (1)在二项式5的展开式中，含x4的项的系数是( )
A．10 B．－10 C．－5 D．20
(2)(2017·武汉模拟)5的展开式中的常数项为( )
A．80 B．－80 C．40 D．－40
(3)已知5的展开式中含x的项的系数为30，则a＝( )
A. B．－ C．6 D．－6
(4)8的展开式中的有理项共有________项．
(5)二项式n的展开式中含有非零常数项，则正整数n的最小值为________．
[解析] (1)由二项式定理可知，展开式的通项为C·(－1)rx10－3r，令10－3r＝4，得r＝2，所以含x4项的系数为C(－1)2＝10，故选A.
(2)∵Tr＋1＝C(x2)5－rr＝(－2)rC·x10－5r，由10－5r＝0，得r＝2，∴T3＝(－2)2C＝40.
(3)Tr＋1＝C()5－r·r＝C(－a)rx，由＝，解得r＝1.由C(－a)＝30，得a＝－6.故选D.
(4)8的展开式的通项为Tr＋1＝C·()8－rr＝rCx(r＝0,1,2，…，8)，为使Tr＋1为有理项，r必须是4的倍数，所以r＝0,4,8，故共有3个有理项．
(5)二项展开式的通项是Tr＋1＝Cx3n－3rx－2r＝Cx3n－5r，令3n－5r＝0，得n＝(r＝0,1,2，…，n)，故当r＝3时，n有最小值5.
[答案] (1)A (2)C (3)D (4)3 (5)5
[方法技巧]
二项展开式问题的常见类型及解法
(1)求展开式中的特定项或其系数．可依据条件写出第k＋1项，再由特定项的特点求出k值即可．
(2)已知展开式的某项或其系数求参数．可由某项得出参数项，再由通项公式写出第k＋1项，由特定项得出k值，最后求出其参数．
求解形如(a＋b)m(c＋d)n(m，n∈N*)的展开式中与特定项相关的量
[例2] (1)(1－)6(1＋)4的展开式中x的系数是( )
A．－4 B．－3 C．3 D．4
(2)已知(1＋ɑx)(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则ɑ＝( )
A．－4 B．－3 C．－2 D．－1
[解析 (1)法一：(1－)6的展开式的通项为C·(－)m＝C(－1)mx，(1＋)4的展开式的通项为C·()n＝Cx，其中m＝0,1,2，…，6，n＝0,1,2,3,4.
令＋＝1，得m＋n＝2，于是(1－)6(1＋)4的展开式中x的系数等于C·(－1)0·C＋C
·(－1)1·C＋C·(－1)2·C＝－3.
法二：(1－)6(1＋)4＝[(1－)(1＋)]4(1－)2＝(1－x)4(1－2＋x)．于是(1－)6(1＋)4的展开式中x的系数为C·1＋C·(－1)1·1＝－3.
法三：在(1－)6(1＋)4的展开式中要出现x，可分为以下三种情况：
①(1－)6中选2个(－)，(1＋)4中选0个作积，这样得到的x项的系数为CC＝15；
②(1－)6中选1个(－)，(1＋)4中选1个作积，这样得到的x项的系数为C(－1)1C＝－24；
③(1－)6中选0个(－)，(1＋)4中选2个作积，这样得到的x项的系数为CC＝6.
故x项的系数为15－24＋6＝－3.
(2)展开式中含x2的系数为C＋aC＝5，解得a＝－1.
[答案 (1)B (2)D
[方法技巧]
求解形如(a＋b)n(c＋d)m的展开式问题的思路
(1)若n，m中一个比较小，可考虑把它展开得到多个，如(a＋b)2(c＋d)m＝(a2＋2ab＋b2)(c＋d)m，然后展开分别求解．
(2)观察(a＋b)(c＋d)是否可以合并，如(1＋x)5·(1－x)7＝[(1＋x)(1－x)]5(1－x)2＝(1－x2)5(1－x)2；
(3)分别得到(a＋b)n，(c＋d)m的通项公式，综合考虑．
求解形如(a＋b＋c)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量
[例3] (1)(2017·湖北枣阳模拟)(x2＋x＋y)5的展开式中x5y2的系数为( )
A．10 B．20 C．30 D．60
(2)(2016·安徽安庆二模)将3展开后，常数项是________．
[解析] (1)(x2＋x＋y)5的展开式的通项为Tr＋1＝C(x2＋x)5－r·yr，令r＝2，则T3＝C(x2＋x)3y2，又(x2＋x)3的展开式的通项为C(x2)3－k·xk＝Cx6－k，令6－k＝5，则k＝1，所以(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为CC＝30，故选C.
(2)3＝6展开式的通项是C()6－k·k＝(－2)k·C()6－2k.
令6－2k＝0，得k＝3.
所以常数项是C(－2)3＝－160.
[答案] (1)C (2)－160
[方法技巧]
求形如(a＋b＋c)n展开式中特定项的步骤
第一步，把三项的和a＋b＋c看作(a＋b)与c两项的和；
第二步，根据二项式定理求出[(a＋b)＋c]n的展开式的通项；
第三步，对特定项的次数进行分析，弄清特定项是由(a＋b)n－r的展开式中的哪些项和cr相乘得到的；
第四步，把相乘后的项相加减即可得到特定项．
能力练通 抓应用体验的“得”与“失”
1．[考点一](2017·杭州模拟)6的展开式中，常数项是( )
A．－ B. C．－ D.
解析：选D Tr＋1＝C(x2)6－rr＝rCx12－3r，令12－3r＝0，解得r＝4.所以常数项为4C＝.故选D.
2．[考点一]在4的二项展开式中，如果x3的系数为20，那么ab3＝( )
A．20 B．15 C．10 D．5
解析：选D Tr＋1＝C(ax6)4－r·r＝Ca4－r·brx24－7r，令24－7r＝3，得r＝3，则4ab3＝20，所以ab3＝5.
3．[考点三](2016·厦门联考)在10的展开式中，含x2项的系数为( )
A．10 B．30 C．45 D．120
解析：选C 因为10＝10＝(1＋x)10＋C(1＋x)9＋…＋C10，所以x2项只能在(1＋x)10的展开式中，所以含x2的项为Cx2，系数为C＝45.
4．[考点二](1＋x)8(1＋y)4的展开式中x2y2的系数是( )
A．56 B．84 C．112 D．168
解析：选D (1＋x)8的展开式中x2的系数为C，(1＋y)4的展开式中y2的系数为C，所以x2y2的系数为CC＝168.
5．[考点二](x＋2)2(1－x)5中x7的系数与常数项之差的绝对值为( )
A．5 B．3 C．2 D．0
解析：选A 常数项为C×22×C＝4，x7的系数为C×C(－1)5＝－1，因此x7的系数与常数项之差的绝对值为5.
6．[考点三]5(x>0)的展开式中的常数项为________．
解析：5(x>0)可化为10，因而Tr＋1＝C10－r()10－2r，令10－2r＝0，则r＝5，故展开式中的常数项为C·5＝.
答案：
突破点(二) 二项式系数的性质及应用
基础联通 抓主干知识的“源”与“流”
二项式系数的性质
(1)对称性：当0≤k≤n时，.
(2)二项式系数的最值：二项式系数先增后减，当n为偶数时，第＋1项的二项式系数最大，最大值为Cn；当n为奇数时，第项和第项的二项式系数最大，最大值为.
(3)二项式系数和：C＋C＋C＋…＋C＝2n，C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1.
考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”
二项展开式中系数和的问题
赋值法在求各项系数和中的应用
(1)形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可．
(2)对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．
(3)若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，
奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝，
偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝.
[例1] 二项式(2x－3y)9的展开式中，求：
(1)二项式系数之和；
(2)各项系数之和；
(3)所有奇数项系数之和；
(4)各项系数绝对值之和．
[解] 设(2x－3y)9＝a0x9＋a1x8y＋a2x7y2＋…＋a9y9.
(1)二项式系数之和为C＋C＋C＋…＋C＝29.
(2)各项系数之和为a0＋a1＋a2＋…＋a9，
令x＝1，y＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a9＝(2－3)9＝－1.
(3)由(2)知a0＋a1＋a2＋…＋a9＝－1 ①，
令x＝1，y＝－1，得a0－a1＋a2－…－a9＝59 ②，
得a0＋a2＋a4＋a6＋a8＝，此即为所有奇数项系数之和．
(4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|＝a0－a1＋a2－…－a9，令x＝1，y＝－1，得|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|＝a0－a1＋a2－…－a9＝59，此即为各项系数绝对值之和．
[易错提醒]
(1)利用赋值法求解时，注意各项的系数是指某一项的字母前面的数值(包括符号)；
(2)在求各项的系数的绝对值的和时，首先要判断各项系数的符号，然后将绝对值去掉，再进行赋值．
二项式系数或系数的最值问题
求解二项式系数或系数的最值问题的一般步骤：
第一步，要弄清所求问题是“展开式系数最大”、“二项式系数最大”两者中的哪一个．
第二步，若是求二项式系数的最大值，则依据(a＋b)n中n的奇偶及二次项系数的性质求解．若是求系数的最大值，有两个思路，思路一：由于二项展开式中的系数是关于正整数n的式子，可以看作关于n的数列，通过判断数列单调性的方法从而判断系数的增减性，并根据系数的单调性求出系数的最值；思路二：由于展开式系数是离散型变量，因此在系数均为正值的前提下，求最大值只需解不等式组即可求得答案．
[例2] (1)已知(1＋x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为( )
A．29 B．210 C．211 D．212
(2)在(1＋x)n(x∈N*)的二项展开式中，若只有x5的系数最大，则n＝( )
A．8 B．9 C．10 D．11
[解析] (1)由C＝C，得n＝10，故奇数项的二项式系数和为29.
(2)二项式中仅x5项系数最大，其最大值必为Cn，即得＝5，解得n＝10.
[答案 (1)A (2)C
能力练通 抓应用体验的“得”与“失”
1．[考点一](2017·福建漳州调研)已知(2x－1)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9＋a10x10，则a2＋a3＋…＋a9＋a10的值为( )
A．－20 B．0 C．1 D．20
解析：选D 令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a9＋a10＝1，再令x＝0，得a0＝1，所以a1＋a2＋…＋a9＋a10＝0，又易知a1＝C×21×(－1)9＝－20，所以a2＋a3＋…＋a9＋a10＝20.
2．[考点二](2017·广东肇庆三模)(x＋2y)7的展开式中，系数最大的项是( )
A．68y7 B．112x3y4 C．672x2y5 D．1 344x2y5
解析：选C 设第r＋1项系数最大，
则有
即
即解得
又∵r∈Z，∴r＝5.∴系数最大的项为T6＝Cx2·25y5＝672x2y5.故选C.
3．[考点二]2n(n∈N*)的展开式中只有第6项系数最大，则其常数项为( )
A．120 B．210 C．252 D．45
解析：选B 由已知得，二项式展开式中各项的系数与二项式系数相等．由展开式中只有第6项的系数C最大，可得展开式有11项，即2n＝10，n＝5.10展开式的通项为Tr＋1＝Cx5－rx－＝Cx5－r，令5－r＝0可得r＝6，此时常数项为T7＝C＝210.
4．[考点一]设n的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若M－N＝240，则展开式中含x的项为________．
解析：由已知条件4n－2n＝240，解得n＝4，Tr＋1＝C(5x)4－rr＝(－1)r54－rCx4－，令4－＝1，得r＝2，则展开式中含x的项为T3＝150x.
答案：150x
[全国卷5年真题集中演练——明规律]
1．(2013·新课标全国卷Ⅰ)设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a＝7b，则m＝( )
A．5 B．6 C．7 D．8
解析：选B 根据二项式系数的性质知：(x＋y)2m的二项式系数最大有一项，C＝a，(x＋y)2m＋1的二项式系数最大有两项，C＝C＝b.又13a＝7b，所以13C＝7C，将各选项中m的取值逐个代入验证，知m＝6满足等式，所以选择B.
2．(2016·全国乙卷)(2x＋)5的展开式中，x3的系数是________．(用数字填写答案)
解析：(2x＋)5展开式的通项为Tr＋1＝C(2x)5－r()r＝25－r·C·x5－.令5－＝3，得r＝4.
故x3的系数为25－4·C＝2C＝10.
答案：10
3．(2015·新课标全国卷Ⅱ)(a＋x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a＝________.
解析：设(a＋x)(1＋x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5.
令x＝1，得(a＋1)×24＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5.①
令x＝－1，得0＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5.②
①－②，得16(a＋1)＝2(a1＋a3＋a5)＝2×32，所以a＝3.
答案：3
4．(2014·新课标全国卷Ⅰ)(x－y)(x＋y)8的展开式中x2y7的系数为________．(用数字填写答案)
解析：(x＋y)8中，Tr＋1＝Cx8－ryr，令r＝7，再令r＝6，得
x2y7的系数为C－C＝8－28＝－20.
答案：－20
5．(2014·新课标全国卷Ⅱ)(x＋a)10的展开式中，x7的系数为15，则a＝________.(用数字填写答案)
解析：二项展开式的通项公式为Tr＋1＝Cx10－rar，当10－r＝7时，r＝3，所以T4＝Ca3x7，则Ca3＝15，故a＝.
答案：
[课时达标检测] 重点保分课时——一练小题夯双基，二练题点过高考
[练基础小题——强化运算能力]
1．(x＋2)8的展开式中x6的系数是( )
A．28 B．56 C．112 D．224
解析：选C 通项为Tr＋1＝Cx8－r2r＝2rCx8－r，令8－r＝6，得r＝2，即T3＝22Cx6＝112x6，所以x6的系数是112.
2．若二项式n展开式中的第5项是常数，则自然数n的值为( )
A．6 B．10 C．12 D．15
解析：选C 由二项式n展开式的第5项C()n－44＝16Cx－6是常数项，可得－6＝0，解得n＝12.
3．在x(1＋x)6的展开式中，含x3项的系数是( )
A．30 B．20 C．15 D．10
解析：选C 由题意可知x(1＋x)6的展开式中，含x3项的系数即为(1＋x)6的展开式中的x2项的系数，(1＋x)6的展开式中的x2项为Cx2，所以含x3项的系数为C＝15.
4．若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，则a7＋a6＋…＋a1的值为( )
A．1 B．129 C．128 D．127
解析：选B 令x＝1得a0＋a1＋…＋a7＝27＝128；令x＝0得a0＝(－1)7＝－1，所以a1＋a2＋a3＋…＋a7＝129.
5．(x2－x＋1)10展开式中x3项的系数为( )
A．－210 B．210 C．30 D．－30
解析：选A (x2－x＋1)10＝[x2－(x－1)]10＝C(x2)10－C(x2)9(x－1)＋…－Cx2(x－1)9＋C(x－1)10，所以含x3项的系数为：－CC＋C(－C)＝－210，故选A.
[练常考题点——检验高考能力]
一、选择题
1．二项式10的展开式中的常数项是( )
A．180 B．90 C．45 D．360
解析：选A 10的展开式的通项为Tk＋1＝C·()10－kk＝2kCx5－k，令5－k＝0，得k＝2，故常数项为22C＝180.
2.(1－)4的展开式中x的系数是( )
A．1 B．2 C．3 D．12
解析：选C 根据题意，所给式子的展开式中含x的项有(1－)4展开式中的常数项乘
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,x)＋x))中的x以及(1－)4展开式中的含x2的项乘中的两部分，所以所求系数为1×2＋1＝3，故选C.
3．若(1＋mx)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，且a1＋a2＋…＋a6＝63，则实数m的值为( )
A．1或3 B．－3 C．1 D．1或－3
解析：选D 令x＝0，得a0＝(1＋0)6＝1.令x＝1，得(1＋m)6＝a0＋a1＋a2＋…＋a6.又a1＋a2＋a3＋…＋a6＝63，∴(1＋m)6＝64＝26，∴m＝1或m＝－3.
4．(2017·成都一中模拟)设(x2＋1)(2x＋1)9＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋…＋a11(x＋2)11，则a0＋a1＋a2＋…＋a11的值为( )
A．－2 B．－1 C．1 D．2
解析：选A 令等式中x＝－1可得a0＋a1＋a2＋…＋a11＝(1＋1)(－1)9＝－2，故选A.
5．(2017·银川质检)若(2x＋1)11＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a11(x＋1)11，则a0＋＋＋…＋＝( )
A．0 B．1 C. D．12
解析：选A 令t＝x＋1，则x＝t－1，从而(2t－1)11＝a0＋a1t＋a2t2＋…＋a11t11，而′＝a0t＋t2＋t3＋…＋t12＋c′，即＝a0t＋t2＋t3＋…＋t12＋c，令t＝0，得c＝，令t＝1，得a0＋＋＋…＋＝0.
6．在(1＋x)6(2＋y)4的展开式中，记xmyn项的系数为f(m，n)，则f(4,0)＋f(3,1)＋f(2,2)＋f(1,3)＋f(0,4)＝( )
A．1 240 B．1 289 C．600 D．880
解析：选B (1＋x)6的展开式中，xm的系数为C，(2＋y)4的展开式中，yn的系数为C24－n，则f(m，n)＝C·C·24－n，从而f(4,0)＋f(3,1)＋f(2,2)＋f(1,3)＋f(0,4)＝C·C· 24＋C·C·23＋C·C·22＋C· C·21＋C·C·20＝1 289.
二、填空题
7.6的展开式的第二项的系数为－，则－2x2dx的值为________．
解析：该二项展开式的第二项的系数为Ca5，由Ca5＝－，解得a＝－1，因此－2x2dx＝x2dx＝＝－＋＝.
答案：
8．若n展开式的各项系数的绝对值之和为1 024，则展开式中x的一次项的系数为________．
解析：Tr＋1＝C()n－rr＝(－3)r·Cx，
因为展开式的各项系数绝对值之和为
C＋|(－3)1C|＋(－3)2C＋|(－3)3C|＋…＋|(－3)nC|＝1 024，
所以(1＋3)n＝1 024，解得n＝5，令＝1，解得r＝1，
所以展开式中x的一次项的系数为(－3)1C＝－15.
答案：－15
9．在(1－x)5＋(1－x)6＋(1－x)7＋(1－x)8的展开式中，含x3的项的系数是________．
解析：展开式中含x3项的系数为C(－1)3＋C(－1)3＋C(－1)3＋C(－1)3＝－121.
答案：－121
10．若将函数f(x)＝x5表示为f(x)＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a5(1＋x)5，其中a0，a1，a2，…，a5为实数，则a3＝________.
解析：不妨设1＋x＝t，则x＝t－1，因此有(t－1)5＝a0＋a1t＋a2t2＋a3t3＋a4t4＋a5t5，则a3＝C(－1)2＝10.
答案：10
三、解答题
11．已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，求：
(1)a1＋a2＋…＋a7；
(2)a1＋a3＋a5＋a7；
(3)a0＋a2＋a4＋a6；
(4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|.
解：令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝－1.①
令x＝－1，
则a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝37.②
(1)∵a0＝C＝1，
∴a1＋a2＋a3＋…＋a7＝－2.
(2)(①－②)÷2，得a1＋a3＋a5＋a7＝＝－1 094.
(3)(①＋②)÷2，得a0＋a2＋a4＋a6＝＝1 093.
(4)∵(1－2x)7展开式中a0，a2，a4，a6大于零，而a1，a3，a5，a7小于零，
∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|
＝(a0＋a2＋a4＋a6)－(a1＋a3＋a5＋a7)
＝1 093－(－1 094)＝2 187.
12．已知在n的展开式中，第6项为常数项．
(1)求n；
(2)求含x2的项的系数；
(3)求展开式中所有的有理项．
解：(1)通项公式为Tk＋1＝Cxkx－
＝Ckx.
因为第6项为常数项，
所以k＝5时，＝0，即n＝10.
(2)令＝2，得k＝2，
故含x2的项的系数是C2＝.
(3)根据通项公式，由题意
令＝r(r∈Z)，
则10－2k＝3r，k＝5－r，
∵k∈N，∴r应为偶数，
∴r可取2,0，－2，即k可取2,5,8，
∴第3项，第6项与第9项为有理项，
它们分别为C2x2，C5，C8x－2.
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