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2018届高考数学大一轮复习--离散型随机变量的分布列、均值与方差(理科带解析)

时间:2017-08-25 08:53:18作者:佚名教案来源:网络
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第五节离散型随机变量的分布列、均值与方差
 

突破点(一) 离散型随机变量的分布列
基础联通       抓主干知识的“源”与“流”                     
1.随机变量的有关概念
(1)随机变量:随着试验结果变化而变化的变量,常用字母X,Y,ξ,η,…表示.
(2)离散型随机变量:所有取值可以一一列出的随机变量.
2.离散型随机变量分布列的概念及性质
(1)概念:若离散型随机变量X可能取的不同值为x1,x2,…,xi,…,xn,X取每一个值xi(i=1,2,…,n)的概率P(X=xi)=pi,以表格的形式表示如下:
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
此表称为离散型随机变量X的概率分布列,简称为X的分布列.有时也用等式P(X=xi)=pi,i=1,2,…,n表示X的分布列.
(2)分布列的性质:①pi≥0,i=1,2,3,…,n;②i=1npi=1.
3.常见的离散型随机变量的分布列
(1)两点分布
X 0 1
P 1-p p

若随机变量X的分布列具有上表的形式,则称X服从两点分布,并称p=P(X=1)为成功概率.
(2)超几何分布
在含有M件次品的N件产品中,任取n件,其中恰有X件次品,则P(X=k)=CkMCn-kN-MCnN,k=0,1,2,…,m,其中m=min{M,n},且n≤N,M≤N,n,M,N∈N*.
X 0 1 … m
P C0MCn-0N-MCnN
C1MCn-1N-MCnN
… CmMCn-mN-MCnN


如果随机变量X的分布列具有上表的形式,则称随机变量X服从超几何分布.
考点贯通       抓高考命题的“形”与“神”                      

 
离散型随机变量分布列的性质

离散型随机变量的分布列的性质主要有三方面的作用:
(1)利用“总概率之和为1”可以求相关参数的取值范围或值;
(2)利用“离散型随机变量在一范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率;
(3)可以根据性质判断所得分布列结果是否正确.
[例1] (1)设X是一个离散型随机变量,其分布列为:
X -1 0 1
P 13
2-3q q2
则q的值为(  )
A.1              B.32±336
C.32-336  D.32+336
(2)离散型随机变量X的概率分布规律为P(X=n)=ann+1(n=1,2,3,4),其中a是常数,则P12<X<52的值为(  )
A.23   B.34
C.45   D.56
[解析] (1)由分布列的性质知
2-3q≥0,q2≥0,13+2-3q+q2=1,∴q=32-336.
(2)由11×2+12×3+13×4+14×5×a=1,知45a=1.∴a=54.
故P12<X<52=P(X=1)+P(X=2)=12×54+16×54=56.
[答案 (1)C (2)D

[易错提醒]
利用分布列中各概率之和为1可求参数的值,此时要注意检验,以保证每个概率值均为非负数.

 
求离散型随机变量的分布列

[例2] 某商店试销某种商品20天,获得如下数据:
日销售量(件) 0 1 2 3
频数 1 5 9 5
试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变),设某天开始营业时有该商品3件,当天营业结束后检查存货,若发现存量少于2件,则当天进货补充至3件,否则不进货,将频率视为概率.
(1)求当天商店不进货的概率;
(2)记X为第二天开始营业时该商品的件数,求X的分布列.
[解] (1)P(当天商店不进货)=P(当天商品销售量为0件)+P(当天商品销售量为1件)=120+520=310.
(2)由题意知,X的可能取值为2,3.
P(X=2)=P(当天商品销售量为1件)=520=14,
P(X=3)=P(当天商品销售量为0件)+P(当天商品销售量为2件)+P(当天商品销售量为3件)=120+920+520=34.或PX=3=1-PX=2=1-14=34
所以X的分布列为
X 2 3
P 14
34


[方法技巧]
求离散型随机变量分布列的步骤
(1)找出随机变量X的所有可能取值xi(i=1,2,3,…,n);
(2)求出各取值的概率P(X=xi)=pi;
(3)列成表格并用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确. 

 
超几何分布

1.随机变量是否服从超几何分布的判断
若随机变量X满足如下条件,则X服从超几何分布:第一,该试验是不放回地抽取n次;第二,随机变量X表示抽取到的某类个体的个数(如次品件数或类似事件),反之亦然.
2.超几何分布的特征
(1)考察对象分两类;
(2)已知各类对象的个数;
(3)从中抽取若干个个体,考查某类个体数X的概率分布.
[例3] (2016•天津高考节选)某小组共10人,利用假期参加义工活动.已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.
(1)设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”,求事件A发生的概率;
(2)设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值,求随机变量X的分布列.
[解] (1)由已知,有P(A)=C13C14+C23C210=13.
所以事件A发生的概率为13.
(2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2.
P(X=0)=C23+C23+C24C210=415,
P(X=1)=C13C13+C13C14C210=715,
P(X=2)=C13C14C210=415.
所以随机变量X的分布列为
X 0 1 2
P 415
715
415

[方法技巧]
求超几何分布的分布列的步骤
第一步,验证随机变量服从超几何分布,并确定参数N,M,n的值;
第二步,根据超几何分布的概率计算公式计算出随机变量取每一个值时的概率;
第三步,用表格的形式列出分布列. 

能力练通       抓应用体验的“得”与“失”      
1.[考点一]设某项试验的成功率是失败率的2倍,用随机变量X去描述1次试验的成功次数,则P(X=0)等于(  )
A.0      B.12         C.13        D.23
解析:选C 设X的分布列为
X 0 1
P p 2p
即“X=0”表示试验失败,“X=1”表示试验成功,设失败率为p,则成功率为2p.由p+2p=1,则p=13.
2.[考点一]若P(ξ≤x2)=1-β,P(ξ≥x1)=1-α,其中x1<x2,则P(x1≤ξ≤x2)等于(  )
A.(1-α)(1-β)   B.1-(α+β)
C.1-α(1-β)   D.1-β(1-α)
解析:选B 显然P(ξ>x2)=β,P(ξ<x1)=α.由概率分布列的性质可知P(x1≤ξ≤x2)=1-P(ξ>x2)-P(ξ<x1)=1-α-β.
3.[考点三]一盒中有12个乒乓球,其中9个新的,3个旧的,从盒子中任取3个球来用,用完即为旧的,用完后装回盒中,此时盒中旧球个数X是一个随机变量,则P(X=4)的值为________.
解析:事件“X=4”表示取出的3个球有1个新球,2个旧球,故P(X=4)=C19C23C312=27220.
答案:27220.
4.[考点一、二]设随机变量X的概率分布列为
X 1 2 3 4
P 13
m 14
16

则P(|X-3|=1)=________.
解析:由13+m+14+16=1,解得m=14,
P(|X-3|=1)=P(X=2)+P(X=4)=14+16=512.
答案:512
5.[考点二]一盒中装有9张各写有一个数字的卡片,其中4张卡片上的数字是1,3张卡片上的数字是2,2张卡片上的数字是3.从盒中任取3张卡片.
(1)求所取3张卡片上的数字完全相同的概率;
(2)X表示所取3张卡片上的数字的中位数,求X的分布列.(注:若三个数a,b,c满足a≤b≤c,则称b为这三个数的中位数.)
解:(1)由古典概型中的概率计算公式知所求概率为P=C34+C33C39=584.
(2)X的所有可能值为1,2,3,且P(X=1)=C24C15+C34C39=1742,
P(X=2)=C13C14C12+C23C16+C33C39=4384,
P(X=3)=C22C17C39=112.
故X的分布列为
X 1 2 3
P 1742
4384
112


突破点(二) 离散型随机变量的均值与方差
基础联通     抓主干知识的“源”与“流”                     
1.离散型随机变量的均值与方差
若离散型随机变量X的分布列为
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn

(1)称E(X)=x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn为随机变量X的均值或数学期望,它反映了离散型随机变量取值的平均水平.
(2)称D(X)=i=1n (xi-E(X))2pi为随机变量X的方差,它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度,其算术平方根DX为随机变量X的标准差.
2.均值与方差的性质
(1)E(aX+b)=aE(X)+b,
(2)D(aX+b)=a2D(X)(a,b为常数).
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离散型随机变量均值与方差的计算

1.均值与方差的一般计算步骤
(1)理解X的意义,写出X的所有可能取的值;
(2)求X取各个值的概率,写出分布列;
(3)根据分布列,由均值的定义求出均值E(X),进一步由公式D(X)=i=1n xi-EX2pi=E(X2)-(E(X))2求出D(X).
2.以特殊分布(两点分布、二项分布、超几何分布)为背景的均值与方差的计算
(1)先根据随机变量的特点判断出随机变量服从什么特殊分布;
(2)可以根据特殊分布的概率公式列出分布列,根据计算公式计算出均值和方差;也可以直接应用离散型随机变量服从特殊分布时的均值与方差公式来计算;若X=aξ+b不服从特殊分布,但ξ服从特殊分布,可利用有关性质公式及E(ξ),D(ξ)求均值和方差.
[例1] 某市A,B两所中学的学生组队参加辩论赛,A中学推荐了3名男生、2名女生,B中学推荐了3名男生、4名女生,两校所推荐的学生一起参加集训.由于集训后队员水平相当,从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队.
(1)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率;
(2)某场比赛前,从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛,设X表示参赛的男生人数,求X的分布列、均值和方差.
[解] (1)由题意,参加集训的男、女生各有6名.
参赛学生全从B中学抽取(等价于A中学没有学生入选代表队)的概率为C33C34C36C36=1100.
因此,A中学至少有1名学生入选代表队的概率为1-1100=99100.
(2)根据题意,X的可能取值为1,2,3.
P(X=1)=C13C33C46=15,P(X=2)=C23C23C46=35,
P(X=3)=C33C13C46=15,
所以X的分布列为
X 1 2 3
P 15
35
15


因此,X的均值E(X)=1×P(X=1)+2×P(X=2)+3×P(X=3)=1×15+2×35+3×15=2.
方差D(X)=(1-2)2×15+(2-2)2×35+(3-2)2×15=15+0+15=25.
 
均值与方差在决策中的应用

随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平,方差反映了随机变量稳定于均值的程度,它们从整体和全局上刻画了随机变量,是实际生产中用于方案取舍的重要理论依据.一般先比较均值,若均值相同,再用方差来决定.
[例2] 为回馈顾客,某商场拟通过摸球兑奖的方式对1 000位顾客进行奖励,规定:每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球,球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.
(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元,其余3个均为10元,求:
①顾客所获的奖励额为60元的概率;
②顾客所获的奖励额的分布列及均值;
(2)商场对奖励总额的预算是60 000元,并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成,或标有面值20元和40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡,请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计,并说明理由.
[解] (1)设顾客所获的奖励额为X.
①依题意,得P(X=60)=C11C13C24=12,
即顾客所获的奖励额为60元的概率为12.
②依题意,得X的所有可能取值为20,60.
P(X=60)=12,P(X=20)=C23C24=12,
即X的分布列为
X 20 60
P 12
12

所以顾客所获的奖励额的均值E(X)=20×12+60×12=40元.
(2)根据商场的预算,每个顾客的平均奖励额为60元.所以,先寻找均值为60元的可能方案.对于面值由10元和50元组成的情况,如果选择(10,10,10,50)的方案,因为60元是面值之和的最大值,所以均值不可能为60元;如果选择(50,50,50,10)的方案,因为60元是面值之和的最小值,所以均值也不可能为60元,因此可能的方案是(10,10,50,50),记为方案1.
对于面值由20元和40元组成的情况,同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案,所以可能的方案是(20,20,40,40),记为方案2.
以下是对两个方案的分析:
对于方案1,即方案(10,10,50,50),设顾客所获的奖励额为X1,则X1的分布列为
X1 20 60 100
P 16
23
16

X1的均值E(X1)=20×16+60×23+100×16=60,
X1的方差D(X1)=(20-60)2×16+(60-60)2×23+(100-60)2×16=1 6003.
对于方案2,即方案(20,20,40,40),设顾客所获的奖励额为X2,则X2的分布列为
X2 40 60 80
P 16
23
16

X2的均值E(X2)=40×16+60×23+80×16=60,
X2的方差D(X2)=(40-60)2×16+(60-60)2×23+(80-60)2×16=4003.
由于两种方案的奖励额的均值都符合要求,但方案2奖励额的方差比方案1的小,所以应该选择方案2.
能力练通       抓应用体验的“得”与“失”

1.[考点一]某射击运动员在一次射击比赛中所得环数ξ的分布列如下:
ξ 3 4 5 6
P x 0.1 0.3 y
已知ξ的均值E(ξ)=4.3,则y的值为(  )
A.0.6   B.0.4 
C.0.2   D.0.1
解析:选C 由题意知,x+0.1+0.3+y=1,又E(ξ)=3x+4×0.1+5×0.3+6y=4.3,两式联立解得y=0.2.
2.[考点一]已知X的分布列
X -1 0 1
P 12
13
16

则在下列式子中①E(X)=-13;②D(X)=2327;③P(X=0)=13,正确的个数是(  )
A.0   B.1 
C.2   D.3
解析:选C 由E(X)=(-1)×12+0×13+1×16=-13,知①正确;由D(X)=-1+132×12+0+132×13+1+132×16=59,知②不正确;由分布列知③正确.
3.[考点一]已知离散型随机变量X的概率分布列为
X 1 3 5
P 0.5 m 0.2
则其方差D(X)=(  )
A.1   B.0.6
C.2.44   D.2.4
解析:选C 因为0.5+m+0.2=1,所以m=0.3,所以E(X)=1×0.5+3×0.3+5×0.2=2.4,D(X)=(1-2.4)2×0.5+(3-2.4)2×0.3+(5-2.4)2×0.2=2.44.
4.[考点一]为了整顿道路交通秩序,某地考虑将对行人闯红灯进行处罚,为了更好地了解市民的态度,在普通行人中随机选取了200人进行调查,得到如下数据:
处罚金额x(单位:元) 0 5 10 15 20
会闯红灯的人数y 80 50 40 20 10
(1)若用表中数据所得频率代替概率,则处罚10元时与处罚20元时,行人会闯红灯的概率的差是多少?
(2)若从这5种处罚金额中随机抽取2种不同的金额进行处罚,在两个路口进行试验.
①求这两种金额之和不低于20元的概率;
②若用X表示这两种金额之和,求X的分布列和数学期望.
解:(1)由条件可知,处罚10元会闯红灯的概率与处罚20元会闯红灯的概率的差是40200-10200=320.
(2)①设“两种金额之和不低于20元”的事件为A,从5种金额中随机抽取2种,总的抽选方法共有C25=10种,满足金额之和不低于20元的有6种,故所求概率为P(A)=610=35.
②根据条件,X的可能取值为5,10,15,20,25,30,35,分布列为
X 5 10 15 20 25 30 35
P 110
110
15
15
15
110
110


故E(X)=5×110+10×110+15×15+20×15+25×15+30×110+35×110=20(元).
5.[考点二]某联欢晚会举行抽奖活动,举办方设置了甲、乙两种抽奖方案,方案甲的中奖率为23,中奖可以获得2分;方案乙的中奖率为25,中奖可以获得3分;未中奖则不得分.每人有且只有一次抽奖机会,每次抽奖中奖与否互不影响,晚会结束后凭分数兑换奖品.
(1)若小明选择方案甲抽奖,小红选择方案乙抽奖,记他们的累计得分为X,求X≤3的概率;
(2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖,问:他们选择何种方案抽奖,累计得分的数学期望较大?
解:(1)由已知得,小明中奖的概率为23,小红中奖的概率为25,且两人中奖与否互不影响.
记“这两人的累计得分X≤3”的事件为A,
则事件A包含有“X=0”,“X=2”,“X=3”三个两两互斥的事件,
因为P(X=0)=1-23×1-25=15,P(X=2)=23×1-25=25,P(X=3)=1-23×25=215,
所以P(A)=P(X=0)+P(X=2)+P(X=3)=1115,
即这两人的累计得分X≤3的概率为1115.
(2)设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为X1,都选择方案乙所获得的累计得分为X2,则X1,X2的分布列如下:
X1 0 2 4
P 19
49
49

 
X2 0 3 6
P 925
1225
425


所以E(X1)=0×19+2×49+4×49=83,E(X2)=0×925+3×1225+6×425=125.
因为E(X1)>E(X2),
所以他们都选择方案甲进行抽奖时,累计得分的数学期望较大.
 
[全国卷5年真题集中演练——明规律]                                         
1.(2016•全国乙卷)某公司计划购买2台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200 元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500 元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图:以这100 台机器更换的易损零件数的频率代替1 台机器更换的易损零件数发生的概率,记X表示2 台机器三年内共需更换的易损零件数,n表示购买2 台机器的同时购买的易损零件数.
(1)求X的分布列;
(2)若要求P(X≤n)≥0.5,确定n的最小值;
(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在n=19与n=20之中选其一,应选用哪个?
解:(1)由柱状图及以频率代替概率可得,一台机器在三年内需更换的易损零件数为8,9,10,11的概率分别为0.2,0.4,0.2,0.2.
从而P(X=16)=0.2×0.2=0.04;
P(X=17)=2×0.2×0.4=0.16;
P(X=18)=2×0.2×0.2+0.4×0.4=0.24;
P(X=19)=2×0.2×0.2+2×0.4×0.2=0.24;
P(X=20)=2×0.2×0.4+0.2×0.2=0.2;
P(X=21)=2×0.2×0.2=0.08;
P(X=22)=0.2×0.2=0.04.
所以X的分布列为
X 16 17 18 19 20 21 22
P 0.04 0.16 0.24 0.24 0.2 0.08 0.04

(2)由(1)知P(X≤18)=0.44,P(X≤19)=0.68,
故n的最小值为19.
(3)记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位:元).
当n=19时,
E(Y)=19×200×0.68+(19×200+500)×0.2+(19×200+2×500)×0.08+(19×200+3×500)×0.04=4 040;
当n=20时,
E(Y)=20×200×0.88+(20×200+500)×0.08+(20×200+2×500)×0.04=4 080.
可知当n=19时所需费用的期望值小于当n=20时所需费用的期望值,故应选n=19.
2.(2013•新课标全国卷Ⅱ)经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出1t该产品获利润500元,未售出的产品,每1t亏损300元.根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图,如图所示.经销商为下一个销售季度购进了130 t该农产品.以X(单位:t,100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量,T(单位:元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润.
 
 
(1)将T表示为X的函数;
(2)根据直方图估计利润T不少于57 000元的概率;
(3)在直方图的需求量分组中,以各组的区间中点值代表该组的各个值,并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如:若需求量X∈[100,110)则取X=105,且X=105的概率等于需求量落入[100,110)的频率),求T的数学期望.
解:(1)当X∈[100,130)时,
T=500X-300(130-X)=800X-39 000,
当X∈[130,150]时,T=500×130=65 000,
所以T=800X-39 000,100≤X<130,65 000,130≤X≤150.
(2)由(1)知利润T不少于57 000元当且仅当120≤X≤150.由直方图知需求量X∈[120,150]的频率为0.7,所以下一个销售季度内的利润T不少于57 000元概率的估计值为0.7.
(3)依题意可得T的分布列为
T 45 000 53 000 61 000 65 000
P 0.1 0.2 0.3 0.4

所以E(T)=45 000×0.1+53 000×0.2+61 000×0.3+65 000×0.4=59 400.
[课时达标检测]     难点增分课时——设计3级训练,考生据自身能力而选      
一、全员必做题
1.袋中装着标有数字1,2,3,4,5的小球各2个,从袋中任取3个小球,每个小球被取出的可能性都相等,X表示取出的3个小球上的最大数字,求:
(1)取出的3个小球上的数字互不相同的概率;
(2)随机变量X的分布列及均值E(X).
解:(1)“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A,则P(A)=C35C12C12C12C310=23.
(2)由题意,X所有可能的取值为2,3,4,5.
P(X=2)=C22C12+C12C22C310=130;
P(X=3)=C24C12+C14C22C310=215;
P(X=4)=C26C12+C16C22C310=310;
P(X=5)=C28C12+C18C22C310=815.
所以随机变量X的分布列为
X 2 3 4 5
P 130
215
310
815

E(X)=2×130+3×215+4×310+5×815=133.
2.为推动乒乓球运动的发展,某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名,其中种子选手2名;乙协会的运动员5名,其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.
(1)设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手,且这2名种子选手来自同一个协会”,求事件A发生的概率;
(2)设X为选出的4人中种子选手的人数,求随机变量X的分布列及均值E(X).
解:(1)由已知得,P(A)=C22C23+C23C23C48=635.
所以事件A发生的概率为635.
(2)随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4.
P(X=k)=Ck5C4-k3C48(k=1,2,3,4).
所以,随机变量X的分布列为
X 1 2 3 4
P 114
37
37
114

E(X)=1×114+2×37+3×37+4×114
=114+1214+1814+414=3514=52.
3.国庆节期间,某旅行社组织了14人参加“国家旅游常识”知识竞赛,每人回答3个问题,答对题目个数及对应人数统计结果见下表:
答对题目个数 0 1 2 3
人数 3 2 5 4
根据上表信息解答以下问题:
(1)从14人中任选3人,求3人答对题目个数之和为6的概率;
(2)从14人中任选2人,用X表示这2人答对题目个数之和,求随机变量X的分布列及E(X).
解:(1)记“3人答对题目个数之和为6”为事件A,
事件A包含“3人分别答对2题”,“3人分别答对1,2,3题”和“3人分别答对0,3,3题”.
则P(A)=C35+C12C15C14+C13C24C314=10+40+1814×26=1791,
即3人答对题目个数之和为6的概率为1791.
(2)依题意可知X的所有可能取值为0,1,2,3,4,5,6.
则P(X=0)=C23C214=37×13=391,
P(X=1)=C13C12C214=67×13=691,
P(X=2)=C22+C13C15C214=167×13=1691,
P(X=3)=C13C14+C12C15C214=227×13=2291,
P(X=4)=C25+C12C14C214=187×13=1891,
P(X=5)=C15C14C214=207×13=2091,
P(X=6)=C24C214=67×13=691.
从而X的分布列为
X 0 1 2 3 4 5 6
P 391
691
1691
2291
1891
2091
691

E(X)=0×391+1×691+2×1691+3×2291+4×1891+5×2091+6×691=6+32+66+72+100+3691=31291=247.
1.抛掷甲、乙两枚质地均匀且六个面上分别标有1,2,3,4,5,6的正方体,记上底面上的数字分别为x,y.若[a]表示a的整数部分,如:[2.6]=2,设ξ为随机变量,且ξ=xy.
(1)求P(ξ=0);
(2)求ξ的分布列,并求其均值E(ξ).
解:(1)依题意,实数对(x,y)共有36种情况,使ξ=xy=0的实数对(x,y)有以下15种情况:(1,2),(1,3),(2,3),(1,4),(2,4),(3,4),(1,5),(2,5),(3,5),(4,5),(1,6),(2,6),(3,6),(4,6),(5,6),
所以P(ξ=0)=1536=512.
(2)随机变量ξ的所有可能取值为0,1,2.
ξ=1的情况有以下18种:(1,1),(2,1),(3,1),(2,2),(3,2),(4,2),(5,2),(6,2),(3,3),(4,3),(5,3),(6,3),(4,4),(5,4),(6,4),(5,5),(6,5),(6,6),
所以P(ξ=1)=1836=12.
ξ=2的情况有以下3种:(4,1),(5,1),(6,1),所以P(ξ=2)=336=112.
所以ξ的分布列为
ξ 0 1 2
P 512
12
112

均值E(ξ)=0×512+1×12+2×112=23.
2.某商场中的20件不同的商品中有34是进口商品,其余的是国产商品.在进口商品中有13是高端商品,在国产商品中有35是高端商品.
(1)从该批商品中随机抽取3件,求恰有1件进口高端商品且国产高端商品少于2件的概率;
(2)若销售1件国产高端商品获利80元,1件国产非高端商品获利50元,当销售该批国产商品3件时,获利为ξ元,求ξ的分布列及均值E(ξ).
解:(1)设事件B为“从该批商品中随机抽取3件,恰有1件进口高端商品且国产高端商品少于2件”,事件A1为“抽取的3件商品中,有1件进口高端商品,0件国产高端商品”,事件A2为“抽取的3件商品中,有1件进口高端商品,1件国产高端商品”.
因为这20件商品中,进口高端商品有20×34×13=5(件),国产高端商品有20×14×35=3(件).
所以P(B)=P(A1)+P(A2)=C15C212C320+C15C13C112C320=1738,
即从该批商品中随机抽取3件,恰有1件进口高端商品且国产高端商品少于2件的概率是1738.
(2)由于本批商品中仅有5件国产商品,其中3件是高端商品,故销售该批国产商品3件时,可能有1件高端商品,2件非高端商品,或2件高端商品,1件非高端商品,或3件都是高端商品,于是ξ的可能取值为180,210,240.
P(ξ=180)=C13C22C35=310,P(ξ=210)=C23C12C35=610=35,
P(ξ=240)=C33C35=110.
所以ξ的分布列为
ξ 180 210 240
P 310
35
110

故E(ξ)=180×310+210×35+240×110=204.
三、冲刺满分题
1.袋中装有黑色球和白色球共7个,从中任取2个球都是白色球的概率为17.现有甲、乙两人从袋中轮流摸出1个球,甲先摸,乙后摸,然后甲再摸,……,摸后均不放回,直到有一人摸到白色球后终止.每个球在每一次被摸出的机会都是等可能的,用X表示摸球终止时所需摸球的次数.
(1)求随机变量X的分布列和均值E(X);
(2)求甲摸到白色球的概率.
解析:设袋中白色球共有x个,x∈N*且x≥2,则依题意知C2xC27=17,所以xx-12×17×62×1=17,
即x2-x-6=0,解得x=3(x=-2舍去).
(1)袋中的7个球,3白4黑,随机变量X的所有可能取值是1,2,3,4,5.
P (X=1)=A13A17=37,P(X=2)=A14A13A27=27,P(X=3)=A24A13A37=635,P(X=4)=A34A13A47=335,P(X=5)=A44A13A57=135.
随机变量X的分布列为
X 1 2 3 4 5
P 37
27
635
335
135

所以E(X)=1×37+2×27+3×635+4×335+5×135=2.
(2)记事件A为“甲摸到白色球”,则事件A包括以下三个互斥事件:
A1=“甲第1次摸球时摸出白色球”;
A2=“甲第2次摸球时摸出白色球”;
A3=“甲第3次摸球时摸出白色球”.
依题意知,P(A1)=A13A17=37,P(A2)=A24A13A37=635,P(A3)=A44A13A57=135,
所以甲摸到白色球的概率为P(A)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=37+635+135=2235.
2.某牛奶厂要将一批牛奶用汽车从所在城市甲运至城市乙,已知从城市甲到城市乙只有两条公路,且运费由厂商承担.若厂商恰能在约定日期(×月×日)将牛奶送到,则城市乙的销售商一次性支付给牛奶厂20万元;若在约定日期前送到,每提前一天销售商将多支付给牛奶厂1万元;若在约定日期后送到,每迟到一天销售商将少支付给牛奶厂1万元.为保证牛奶新鲜度,汽车只能在约定日期的前两天出发,且只能选择其中的一条公路运送牛奶,已知下表内的信息:
统计
信息
汽车行
驶路线   在不堵车的情况下到达城市乙所需时间(天) 在堵车的情况下到达城市乙所需时间(天) 堵车的概率 运费(万元)
公路1 2 3 110
1.6
公路2 1 4 12
0.8
(1)记汽车选择公路1运送牛奶时牛奶厂获得的毛收入为ξ(单位:万元),求ξ的分布列和均值E(ξ);
(2)选择哪条公路运送牛奶有可能让牛奶厂获得的毛收入更多?
(注:毛收入=销售商支付给牛奶厂的费用-运费)
解:(1)若汽车走公路1,
不堵车时牛奶厂获得的毛收入ξ=20-1.6=18.4(万元);
堵车时牛奶厂获得的毛收入ξ=20-1.6-1=17.4(万元),
∴汽车走公路1时牛奶厂获得的毛收入ξ的分布列为
ξ 18.4 17.4
P 910
110

E(ξ)=18.4×910+17.4×110=18.3(万元).
(2)设汽车走公路2时牛奶厂获得的毛收入为η,则
不堵车时牛奶厂获得的毛收入η=20-0.8+1=20.2(万元);
堵车时牛奶厂获得的毛收入η=20-0.8-2=17.2(万元).
∴汽车走公路2时牛奶厂获得的毛收入η的分布列为
η 20.2 17.2
P 12
12

E(η)=20.2×12+17.2×12=18.7(万元).
∵E(ξ)<E(η),
∴选择公路2运送牛奶有可能让牛奶厂获得的毛收入更多.

 

 


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