第六节二项分布与正态分布
本节主要包括3个知识点：
1.事件的相互独立性及条件概率；
2.独立重复试验与二项分布； 3.正态分布.
突破点(一) 事件的相互独立性及条件概率
基础联通 抓主干知识的“源”与“流”
1．条件概率
(1)定义
设A，B为两个事件，且P(A)>0，称P(B|A)＝为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率．
(2)性质
①0≤P(B|A)≤1；
②如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．
2．事件的相互独立性
(1)定义
设A，B为两个事件，如果P(AB)＝P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立．
(2)性质
①若事件A与B相互独立，则P(B|A)＝P(B)，P(AB)＝P(A)P(B)．
②如果事件A与B相互独立，那么A与，与B，与也都相互独立．
考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”
求条件概率
解决条件概率问题的步骤
第一步，判断是否为条件概率，若题目中出现“已知”“在……前提下”等字眼，一般为条件概率．题目中若没有出现上述字眼，但已知事件的出现影响所求事件的概率时，也需注意是否为条件概率．若为条件概率，则进行第二步．
第二步，计算概率，这里有两种思路．
思路一：缩减样本空间法计算条件概率．
如求P(A|B)，可分别求出事件B，AB包含的基本事件的个数，再利用公式P(A|B)＝计算．
思路二：直接利用条件概率的计算公式计算条件概率，即先分别计算出P(AB)，P(B)，再利用公式P(A|B)＝计算．
[例1] (1)某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是( )
A．0.8 B．0.75 C．0.6 D．0.45
(2)从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A为“取到的2个数之和为偶数”，事件B为“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)＝( )
A. B. C. D.
(3)如图，EFGH是以O为圆心，半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形OHE(阴影部分)内”，则P(B|A)＝________.
[解析] (1)根据条件概率公式P(B|A)＝，可得所求概率为＝0.8.
(2)P(A)＝＝，P(B)＝＝，又A⊇B，则P(AB)＝P(B)＝，所以P(B|A)＝＝＝.
(3)由题意可得，事件A发生的概率P(A)＝＝＝.事件AB表示“豆子落在△EOH内”，则P(AB)＝＝＝.故P(B|A)＝＝＝.
[答案] (1)A (2)B (3)
[易错提醒]
要注意P(B|A)与P(A|B)的不同：
前者是在A发生的条件下B发生的概率，后者是在B发生的条件下A发生的概率．
事件的相互独立性
1．求相互独立事件的步骤
第一步，先用字母表示出事件，再分析题中涉及的事件，并把题中涉及的事件分为若干个彼此互斥的事件的和；
第二步，求出这些彼此互斥的事件的概率；
第三步，根据互斥事件的概率计算公式求出结果．
此外，也可以从对立事件入手计算概率．
2．相互独立事件概率的求法
与相互独立事件A，B有关的概率的计算公式如下表：
事件A，B相互独立
概率计算公式
A，B同时发生
P(AB)＝P(A)P(B)
A，B同时不发生
P()＝P()P()＝[1－P(A)][1－P(B)]
＝1－P(A)－P(B)＋P(A)P(B)
A，B至少有一个不发生
P＝1－P(AB)＝1－P(A)P(B)
A，B至少有一个发生
P＝1－P()＝1－P()P()＝P(A)＋P(B)－P(A)P(B)
A，B恰有一个发生
P＝P(A＋B)＝P(A)P()＋P()P(B)
＝P(A)＋P(B)－2P(A)P(B)
[例2] (2016·山东高考)甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语．在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分．已知甲每轮猜对的概率是，乙每轮猜对的概率是；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果亦互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求：
(1)“星队”至少猜对3个成语的概率；
(2)“星队”两轮得分之和X的分布列和数学期望E(X)．
解：(1)记事件A：“甲第一轮猜对”，
记事件B：“乙第一轮猜对”，
记事件C：“甲第二轮猜对”，
记事件D：“乙第二轮猜对”，
记事件E：“‘星队’至少猜对3个成语”．
由题意，E＝ABCD＋BCD＋ACD＋ABD＋ABC，由事件的独立性与互斥性，
得P(E)＝P(ABCD)＋P(BCD)＋P(ACD)＋P(ABD)＋P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)P(D)＋P()·P(B)P(C)P(D)＋P(A)P()P(C)P(D)＋P(A)P(B)P()P(D)＋P(A)P(B)P(C)P()＝×××＋2
×＝，
所以“星队”至少猜对3个成语的概率为.
(2)由题意，随机变量X可能的取值为0,1,2,3,4,6.由事件的独立性与互斥性，得
P(X＝0)＝×××＝，
P(X＝1)＝2×＝＝，
P(X＝2)＝×××＋×××＋×××＋×××＝，
P(X＝3)＝×××＋×××＝＝，
P(X＝4)＝2×＝＝，
P(X＝6)＝×××＝＝.
可得随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
4
6
P
所以数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＋6×＝.
能力练通 抓应用体验的“得”与“失”
1．[考点一]抛掷一枚均匀的骰子所得的样本空间为Ω＝{1,2,3,4,5,6}，令事件A＝{2,3,5}，B＝{1,2,4,5,6}，则P(A|B)等于( )
A. B. C. D.
解析：选A 在事件B发生的条件下研究事件A，事件B总共有5种结果，而事件AB只含有其中的2种，所以P(A|B)＝＝.
2．[考点二]两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( )
A. B. C. D.
解析：选B 恰有一个一等品即一个是一等品，另一个不是一等品，则情形为两种，∴P＝×＋×＝.
3．[考点一]甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被击中，则它是被甲击中的概率为( )
A．0.45 B．0.6 C．0.65 D．0.75
解析：选D 设目标被击中为事件B，目标被甲击中为事件A，则由P(B)＝0.6×0.5＋0.4×0.5＋0.6×0.5＝0.8，
得P(A|B)＝＝＝＝0.75.
4．[考点二]事件A，B，C相互独立，如果P(AB)＝，P(C)＝，P(AB)＝，则P(B)＝________，P(B)＝________.
解析：联立由③÷①得P()＝，可得P(C)＝1－P()＝1－＝.将P(C)＝代入②得P()＝，所以P(B)＝1－P()＝，由①可得P(A)＝.所以P(B)＝P()·P(B)＝×＝.
答案：
5．[考点二]为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动．该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算)．有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为，；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为，；两人滑雪时间都不会超过3小时．
(1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；
(2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与数学期望E(ξ)．
解：(1)若两人所付费用相同，则相同的费用可能为0元，40元，80元，
两人都付0元的概率为P1＝×＝，
两人都付40元的概率为P2＝×＝，
两人都付80元的概率为P3＝×1－－＝×＝，则两人所付费用相同的概率为P＝P1＋P2＋P3＝＋＋＝.
(2)由题意得，ξ所有可能的取值为0,40,80,120,160.
P(ξ＝0)＝×＝，
P(ξ＝40)＝×＋×＝，
P(ξ＝80)＝×＋×＋×＝，
P(ξ＝120)＝×＋×＝，
P(ξ＝160)＝×＝，
ξ的分布列为
ξ
0
40
80
120
160
P
E(ξ)＝0×＋40×＋80×＋120×＋160×＝80.
突破点(二) 独立重复试验与二项分布
基础联通 抓主干知识的“源”与“流”
1．独立重复试验
在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验．Ai(i＝1,2，…，n)表示第i次试验结果，则P(A1A2A3…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)．
2．二项分布
在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率是p，此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率．在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)．
考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”
求独立重复试验的概率
[例1] (1)小王通过英语听力测试的概率是，他连续测试3次，那么其中恰有1次获得通过的概率是( )
A. B. C. D.
(2)位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是.质点P移动五次后位于点(2,3)的概率是( )
A.5 B．C5
C．C3 D．CC5
[解析] (1)所求概率P＝C·1·1－3－1＝.
(2)移动五次后位于点(2,3)，
所以质点P必须向右移动两次，向上移动三次．
故其概率为C3·2＝C5＝C5.
[答案] (1)A (2)B
[易错提醒]
(1)“恰好发生k次”与“有指定的k次发生”不同：恰好发生k次的概率为Pn(k)＝Cpk(1－p)n－k，有指定的k次发生的概率为P＝pk(1－p)n－k；
(2)Pn(k)＝Cpk(1－p)n－k恰好是[(1－p)＋p]n的第k＋1项Tk＋1＝C(1－p)n－kpk.
二项分布的简单应用
1．二项分布的简单应用是求n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率．解题的一般思路是：根据题意设出随机变量→分析出随机变量服从二项分布→找到参数n，p→写出二项分布的分布列→将k值代入求解概率．
2．若离散型随机变量X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)，即其均值和方差的求解既可以利用定义，也可以直接代入上述公式．
[例2] 某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖．
(1)求顾客抽奖1次能获奖的概率；
(2)若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，求X的分布列和数学期望．
[解] (1)记事件A1＝{从甲箱中摸出的1个球是红球}，A2＝{从乙箱中摸出的1个球是红球}，
B1＝{顾客抽奖1次获一等奖}，B2＝{顾客抽奖1次获二等奖}，C＝{顾客抽奖1次能获奖}．
由题意知A1与A2相互独立，A12与1A2互斥，B1与B2互斥，且B1＝A1A2，B2＝A12＋1A2，C＝B1＋B2.
因为P(A1)＝＝，P(A2)＝＝，
所以P(B1)＝P(A1A2)＝P(A1)P(A2)＝×＝，
P(B2)＝P(A12＋1A2)＝P(A12)＋P(1A2)
＝P(A1)P(2)＋P(1)P(A2)
＝P(A1)(1－P(A2))＋(1－P(A1))P(A2)
＝×＋×＝.
故所求概率为P(C)＝P(B1＋B2)＝P(B1)＋P(B2)＝＋＝.
(2)顾客抽奖3次可视为3次独立重复试验，
由(1)知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为，
所以X～B.
于是P(X＝0)＝C03＝，
P(X＝1)＝C12＝，
P(X＝2)＝C21＝，
P(X＝3)＝C30＝.
故X的分布列为
X
0
1
2
3
P
数学期望E(X)＝3×＝.
[方法技巧]
求随机变量X的均值与方差时，可首先分析X是否服从二项分布，如果X～B(n，p)，则用公式E(X)＝np；D(X)＝np(1－p)求解，可大大减少计算量．
能力练通 抓应用体验的“得”与“失”
1．[考点一]某人参加一次考试，4道题中解对3道即为及格，已知他的解题正确率为0.4，则他能及格的概率是( )
A．0.18 B．0.28
C．0.37 D．0.48
解析：选A C×0.43×0.6＋C×0.44＝0.179 2≈0.18.
2．[考点一]设事件A在每次试验中发生的概率相同，且在三次独立重复试验中，若事件A至少发生一次的概率为，则事件A恰好发生一次的概率为________．
解析：假设事件A在每次试验中发生说明试验成功，设每次试验成功的概率为p，由题意得，事件A发生的次数X～B(3，p)，则有1－(1－p)3＝，得p＝，则事件A恰好发生一次的概率为C××2＝.
答案：
3．[考点二]有一批产品，其中有12件正品和4件次品，从中有放回地任取3件，若X表示取到次品的次数，则D(X)＝________.
解析：∵X～B，∴D(X)＝3××＝.
答案：
4．[考点二]某智能玩具的外形是正方体，其每一个面(编号分别为①②③④⑤⑥)上都配置有5颗颜色各异的闪光小星星，假设每颗闪光小星星正常发光的概率均为，若一个面上至少有3颗闪光小星星正常发光，则不需要更换这个面，否则需要更换这个面，假定更换一个面需要10元，用η表示更换费用．
(1)求①号面需要更换的概率；
(2)求η的分布列及数学期望．
解：(1)由题意知，①号面需要更换的概率为1－＝.
(2)设需要更换的面的个数为ξ，则ξ～B，
P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝，
P(ξ＝4)＝＝，P(ξ＝5)＝＝，
P(ξ＝6)＝＝，
所以η的分布列为
η
0
10
20
30
40
50
60
P
所以数学期望E(η)＝0×＋10×＋20×＋30×＋40×＋50×＋60×＝30(元)．
(或E(η)＝E(10ξ)＝10E(ξ)＝10×6×＝30(元)．)
5．[考点二]2015年9月3日，抗战胜利70周年纪念活动在北京隆重举行，受到全国人民的瞩目．纪念活动包括纪念大会、阅兵式、招待会和文艺晚会等．据统计，抗战老兵由于身体原因，参加纪念大会、阅兵式、招待会这3个环节(可参加多个，也可都不参加)的情况及其概率如下表所示：
参加纪念活动的环节数
0
1
2
3
概率
(1)若从抗战老兵中随机抽取2名进行座谈，求这2名抗战老兵参加纪念活动的环节数不同的概率；
(2)某医疗部门决定从这些抗战老兵中(其中参加纪念活动的环节数为3的抗战老兵数大于等于3)随机抽取3名进行体检，其中参加纪念活动的环节数为3的抗战老兵有ξ名，求ξ的分布列和数学期望．
解：(1)设“这2名抗战老兵参加纪念活动的环节数不同”为事件M，则“这2名抗战老兵参加纪念活动的环节数相同”为事件，根据题意可知P()＝2＋2＋2＋2＝，由对立事件的概率计算公式可得P(M)＝1－P()＝，即这2名抗战老兵参加纪念活动的环节数不
同的概率为.
(2)根据题意可知随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3，且ξ～B
则P(ξ＝0)＝C×3＝，
P(ξ＝1)＝C××2＝，
P(ξ＝2)＝C×2×＝，
P(ξ＝3)＝C×3＝.
则随机变量ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
P
E(ξ)＝3×＝1.
突破点(三) 正态分布
基础联通 抓主干知识的“源”与“流”
1．正态曲线及性质
(1)正态曲线的定义
函数φμ，σ(x)＝e－，x∈(－∞，＋∞)(其中实数μ和σ(σ＞0)为参数)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．
(2)正态曲线的特点
①曲线位于x轴上方与x轴不相交；
②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；
③曲线在x＝μ处达到峰值；
④曲线与x轴之间的面积为1；
⑤当σ一定时， 曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；
⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定：
2．正态分布
(1)正态分布的定义及表示：
如果对于任何实数a，b(a＜b)，随机变量X满足P(a＜X≤b)＝φμ，σ(x)dx，则称随机变量X服从正态分布，记作X～N(μ，σ2)．
(2)正态分布的三个常用数据：
①P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.682_6；
②P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.954_4；
③P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝0.997_4.
考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”
正态曲线的性质
[例1] (1)已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ
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