3.1比例线段
3.1.1比例的基本性质
教学目标
【知识与技能】
1.理解比例的基本性质.
2.能根据比例的基本性质求比值.
3.能根据条件写出比例式或进行比例式的简单变形.
【过程与方法】
通过例题的学习，培养学生的灵活运用能力.
【情感态度】
建立初步的空间观念，发展形象思维；并通过有趣的图形，培养学生学习数学的兴趣.
【教学重点】
比例的基本性质.
【教学难点】
比例的基本性质及运用.
教学过程
一、情景导入，初步认知
1.举例说明生活中存在大量形状相同，但大小不同的图形.
如：照片、放电影中的底片中的图与银幕的像、不同大小的国旗、两把不同大小但都含有30°角的三角尺等.
2.美丽的蝴蝶身长与双翅展开后的长度之比约为0.618.一些长方形的画框，宽与长之比也设计成0.618,许多美丽的形状都与0.618这个比值有关.你知道0.618这个比值的来历吗？
3.如何求两个数的比值？
【教学说明】说明学习本章节的重要意义.
二、思考探究，获取新知
1.阅读与思考题
(1)什么是两个数的比？2与-3的比；-4与6的比.如何表示？其比值相等吗？用小学学过的方法可说成什么？可写成什么形式？
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(2)比与比例有什么区别？
(3)用字母a,b,c,d表示数，上述四个数成比例可写成怎样的形式？你知道内项、外项和第四比例项的概念吗？
【归纳结论】如果两个数的比值与另两个数的比值相等，就说这四个数成比例.通常我们把a,b,c.d四个实数成比例表示成a∶b=c∶d或，其中a,d叫作比例外项，b,c叫作比例内项.
2.如果四个数a、b、c、d成比例，即，那么吗？反过来呢？
【教学说明】引导学生利用等式的性质一起证明.由此，你能得到比例的基本性质吗？
【归纳结论】比例的基本性质：如果，那么.
3.已知四个数a、b、c、d成比例，即：，下列各式成立吗？若成立，请说明理由. ；；.
分析：
(1)比较条件和结论的形式得到解题思路；
(2)采用设比值较为简单.
【教学说明】这三个小题反映了在比例式的变形中的两种常用方法：一是利用等式的基本性质；二是设比值.
4.根据下列条件，求a∶b的值.
（1）4a=5b,
(2) .
解：（1）∵4a=5b,∴.
（2）∵，∴8a=7b，
∴.
三、运用新知，深化理解
1.已知：x∶(x+1)=(1—x)∶3，求x.
解：根据比例的基本性质得，
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3.已知a∶b∶c=1∶3∶5且a+2b-c=8,求a、b、c.
解：设a=x，则b=3x，c=5x,
∴x+2×3x-5x=8,2x=8,x=4,
∴a=4，b=3×4=12，c=5×4=20.
4.已知x∶y=3∶4，x∶z=2∶3，求x∶y∶z的值.
解：因为x∶y=3∶4=6∶8，
x∶z=2∶3=6∶9，所以x∶y∶z=6∶8∶9.
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7.操场上有一群学生在玩游戏，其中男生与女生的人数比例是3∶2,后来又有6名女同学参加进来，此时男生与女生人数的比为5∶4,求原来有多少名男生和女生？
【教学说明】引导学生用比例的性质解决问题.
四、师生互动、课堂小结
先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.
课后作业
布置作业∶教材P67“习题3.1”中第1题.
教学反思
在处理比例的基本性质前先对比例的项的有关概念进行了讲解，对于比例的内项与外项，我是这样处理的，观察a∶b=c∶d，a，d在比例式的外部，所以称为比例外项，b，c在比例式的内部，所以称为比例内项，这样解释形象直观，学生容易理解.概念教学应该注意讲练结合，通过练习达到对概念的理解.
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3.1.2 成比例线段
教学目标
【知识与技能】
1.掌握比例线段的概念及其性质.
2.会求两条线段的比及判断四条线段是否成比例.
3.知道黄金分割的定义，会判断某一点是否为一条线段的黄金分割点.
【过程与方法】
能够灵活运用比例线段的性质解决问题.
【情感态度】
感知知识的实际应用，增强对知识就是力量的客观认识，进一步加强理论联系实际的学习方法.
【教学重点】
能够灵活运用比例线段的性质解决问题.
【教学难点】
掌握黄金分割的概念，并能解决相关的实际问题.
教学过程
一、情景导入，初步认知
1.1、2、4、8这四个数成比例吗？如何确定四个数成比例？
2.比例基本性质是什么？
【教学说明】复习回顾，引入新课.
二、思考探究，获取新知
1.如下图，在方格纸上（设小方格边长为单位1）有△ABC与△A′B′C′，它们的顶点都在格点上，试求出线段AB,BC,AC,A′B′,B′C′,A′C′的长度，并计算AB与A′B′,BC与B′C′,AC与A′C′的长度的比值.
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【教学说明】注意：(1)两线段是几何图形，可用它的长度比来确定；
(2)度量线段的长，单位有多种，但求比值必须在同一长度单位下，比值一定是正数，比值与采用的长度单位无关.
(3)表示方式与数字的比表示类同，但它也可以表示为AB∶CD.
2.什么是比例线段？
【归纳结论】在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫作成比例线段，简称比例线段.
3.能否将一条线段AB分成不相等的两部分，使较短线段CB与较长线段AC的比等于线段AC与线段AB的比呢？即，使得：.
【教学说明】引导学生用一元二次方程的知识解决问题.
【教学说明】学生通过“计算、证明”等活动，得到并加深对黄金分割的理解.
三、运用新知，深化理解
1.已知四条线段a、b、c、d的长度，试判断它们是否成比例.
（1）a=16cm，b=8cm，c=5cm，d=10cm;
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（2）a=8cm，b=5cm，c=6cm，d=10cm.
（2）由已知得ab≠cd,ac≠bd,ad≠bc，所以a、b、c、d四条线段不成比例.
2.若ac=bd，则下列各式一定成立的是( )
【答案】 B
3.已知C是线段AB的一个黄金分割点，则AC∶AB为（ ）
【答案】 D
6.已知a∶b∶c=4∶3∶2,且a+3b－3c=14.
（1）求a,b,c;
（2）求4a－3b+c的值.
解：（1）设a=4k,b=3k,c=2k.
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∵a+3b－3c=14,∴4k+9k－6k=14,
∴7k=14,∴k=2,∴a=8,b=6,c=4.
（2）4a－3b+c=32－18+4=18.
7.在△ABC中，D是BC上一点，若AB=15 cm，AC=10 cm，且BD∶DC=AB∶AC，BD－DC=2 cm，求BC.
解：略.
8.在比例尺为1︰2000的地图上测得AB两地间的图上距离为5cm，则AB两地间的实际距离为多少米？
解：设两地之间的实际距离为x，则：,
x=5×2000=10000cm=100m
9.在人体躯干(脚底到肚脐的长度)与身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，即比例越接近0.618越给人以美感.张女士的身高为1.65米，身体躯干(脚底到肚脐的高度)为1.00米，那么她应选择约多高的高跟鞋看起来更美.(精确到十分位)
10.已知线段AB，求作线段AB的黄金分割点C，使AC＞BC.
解：作法：
（1）延长线段AB至F，使AB＝BF，分别以A、F为圆心，以大于等于线段AB的长为半径作弧，两弧相交于点G，连接BG，则BG⊥AB，在BG上取点D，使BD＝AB，
（2）连接AD，在AD上截取DE＝DB，
（3）在AB上截取AC＝AE.如图，点C就是线段AB的黄金分割点.
【教学说明】通过例题分析使学生进一步理解比例线段的应用和黄金分割的意义.使学生能更好地掌握本节知识.
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四、师生互动、课堂小结
先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.
课后作业
布置作业∶教材P57“习题3.1”中第2、3、4 题.
教学反思
在学习本节内容之前，学生已理解比例线段的性质，初步掌握了比例线段在几何中的应用.本节课学习的黄金分割是一个新的概念，学生缺少这方面知识的积累，因此教学中在内容选择上，充分利用网络资源，选用大量图文作为背景，通过建筑、艺术、生活中的实例了解黄金分割，体现数学丰富的文化价值.同时，在应用中进一步理解线段的比、成比例线段等相关内容，在实际操作、思考、交流等过程中增强学生的实践意识.这节课的不足之处是教学内容比较多，因为时间关系，有关黄金分割的相关计算和应用学生练习得比较少，部分学生对这种类型的题目掌握不好.另外学生对黄金分割点的证明理解还不到位.
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