22.3.1 几何图形的最大面积.doc

天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ ‎22．3　实际问题与二次函数 第1课时　几何图形的最大面积 ‎1．经历数学建模的基本过程，能分析实际问题中变量之间的二次函数关系．‎ ‎2．会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值．‎ ‎3．能应用二次函数的性质解决图形中最大面积问题．‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 一、情境导入 孙大爷要围成一个矩形花圃．花圃的一边利用足够长的墙，另三边用总长为32米的篱笆恰好围成．围成的花圃是如图所示的矩形ABCD.设AB边的长为x米，矩形ABCD的面积为S平方米．当x为何值时，S有最大值？并求出最大值．‎ 二、合作探究 探究点：最大面积问题 ‎【类型一】利用二次函数求最大面积 ‎ 小李想用篱笆围成一个周长为60米的矩形场地，矩形面积S(单位：平方米)随矩形一边长x(单位：米)的变化而变化．‎ ‎(1)求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；‎ ‎(2)当x是多少时，矩形场地面积S最大？最大面积是多少？‎ 解析：利用矩形面积公式就可确定二次函数．(1)矩形一边长为x，则另一边长为，从而表示出面积；(2)利用配方法求出顶点坐标．‎ 解：(1)根据题意，得S＝·x＝－x2＋30x.自变量x的取值范围是0＜x＜30.‎ ‎(2)S＝－x2＋30x＝－(x－15)2＋225，∵a＝－1＜0，∴S有最大值，即当x＝15(米)时，S最大值＝225平方米．‎ 方法总结：二次函数与日常生活的例子还有很多，体现了二次函数这一数学模型应用的广泛性．解决这类问题关键是在不同背景下学会从所给信息中提取有效信息，建立实际问题中变量间的二次函数关系．‎ ‎【类型二】利用二次函数判断面积取值成立的条件 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ ‎ 用长为32米的篱笆围一个矩形养鸡场，设围成的矩形一边长为x米，面积为y平方米．‎ ‎(1)求y关于x的函数关系式；‎ ‎(2)当x为何值时，围成的养鸡场面积为60平方米？‎ ‎(3)能否围成面积为70平方米的养鸡场？如果能，请求出其边长；如果不能，请说明理由．‎ 解析：(1)先表示出矩形的另一边长，再利用矩形的面积公式表示出函数关系式；(2)已知矩形的面积，可以转化为解一元二次方程；(3)求出y的最大值，与70比较大小，即可作出判断．‎ 解：(1)y＝x(16－x)＝－x2＋16x(0＜x＜16)；‎ ‎(2)当y＝60时，－x2＋16x＝60，解得x1＝10，x2＝6.所以当x＝10或6时，围成的养鸡场的面积为60平方米；‎ ‎(3)方法一：当y＝70时，－x2＋16x＝70，整理得：x2－16x＋70＝0，由于Δ＝256－280＝－24＜0，因此此方程无实数根，所以不能围成面积为70平方米的养鸡场．方法二：y＝－x2＋16x＝－(x－8)2＋64，当x＝8时，y有最大值64，即能围成的养鸡场的最大面积为64平方米，所以不能围成70平方米的养鸡场．‎ 方法总结：与面积有关的函数与方程问题，可通过面积公式列出函数关系式或方程．‎ ‎【类型三】最大面积方案设计 ‎ 施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为6米，宽度OM为12米．现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系(如图所示)．‎ ‎(1)直接写出点M及抛物线顶点P的坐标；‎ ‎(2)求出这条抛物线的函数关系式；‎ ‎(3)施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”CDAB，使A、D点在抛物线上，B、C点在地面OM上．为了筹备材料，需求出“脚手架”三根木杆AB、AD、DC的长度之和的最大值是多少，请你帮施工队计算一下．‎ 解：(1)M(12，0)，P(6，6)．‎ ‎(2)设这条抛物线的函数关系式为y＝a(x－6)2＋6，因为抛物线过O(0，0)，所以a(0－6)2＋6＝0，解得，a＝－，所以这条抛物线的函数关系式为：y＝－(x－6)2＋6，即y＝－x2＋2x.‎ ‎(3)设OB＝m米，则点A的坐标为(m，－m2＋2m)，所以AB＝DC＝－m2＋2m.根据抛物线的轴对称，可得OB＝CM＝m，所以BC＝12－2m，即AD＝12－2m，所以l＝AB＋AD＋DC＝－m2＋2m＋12－2m－m2＋2m＝－m2＋2m＋12＝－(m－3)2＋15.所以当m＝3，即OB＝3米时，三根木杆长度之和l的最大值为15米．‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 三、板书设计 教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，引导学生设计有助于学生设计表格，经历计算、观察、分析、比较的过程，直观地看出变化情况.‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎